中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第18講 圖形的變換（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第18講圖形的變換（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.通過具體實例認識軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)，探索它們的基本性質(zhì)；2.能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；3.探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性質(zhì)及其相關(guān)性質(zhì).4.探索圖形之間的變換關(guān)系（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合）；5.利用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合進行圖案設(shè)計；認識和欣賞軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用.【知識導(dǎo)圖】【考點梳理】考點一、平移變換1.平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大?。疽c詮釋】（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)．2．平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)角相等．【要點詮釋】（1）要注意正確找出“對應(yīng)線段，對應(yīng)角”，從而正確表達基本性質(zhì)的特征；（2）“對應(yīng)點所連的線段平行且相等”，這個基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可作為平移作圖的依據(jù)．考點二、軸對稱變換1．軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應(yīng)點，叫做對稱點.

軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

2．軸對稱變換的性質(zhì)

①關(guān)于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

④如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.

3．軸對稱作圖步驟

①找出已知圖形的關(guān)鍵點，過關(guān)鍵點作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點的對稱點．

②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點即得所作圖形.

４．翻折變換：圖形翻折問題是近年來中考的一個熱點，其實質(zhì)是軸對稱問題，折疊重合部分必全等，折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸，互相重合的兩點（對稱點）連線必被折痕垂直平分.【要點詮釋】翻折的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等，折疊圖形中有相似三角形，常用勾股定理.考點三、旋轉(zhuǎn)變換

1．旋轉(zhuǎn)概念：把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.

２．旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.

３．旋轉(zhuǎn)作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角.

②分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點和旋轉(zhuǎn)中心所連線段,從而作出圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點.

④按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對應(yīng)點.【要點詮釋】１．圖形變換與圖案設(shè)計的基本步驟

①確定圖案的設(shè)計主題及要求；

②分析設(shè)計圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱對基本圖案進行變換，實現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機組合；

④對圖案進行修飾，完成圖案.2．平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱之間的聯(lián)系

一個圖形沿兩條平行直線翻折（軸對稱）兩次相當(dāng)于一次平移，沿不平行的兩條直線翻折兩次相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角等于兩直線交角的2倍.【典型例題】題型一、平移變換例1．操作與探究：

（1）對數(shù)軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對應(yīng)的點向右平移1個單位，得到點P的對應(yīng)點P′．點A，B在數(shù)軸上，對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段A′B′，其中點A，B的對應(yīng)點分別為A′，B′．如圖1，若點A表示的數(shù)是-3，則點A′表示的數(shù)是________；若點B′表示的數(shù)是2，則點B表示的數(shù)是_____；已知線段AB上的點E經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點E′與點E重合，則點E表示的數(shù)是__________．

（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對正方形ABCD及其內(nèi)部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個實數(shù)a，將得到的點先向右平移m個單位，再向上平移n個單位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其內(nèi)部的點，其中點A，B的對應(yīng)點分別為A′，B′．已知正方形ABCD內(nèi)部的一個點F經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點F′與點F重合，求點F的坐標(biāo)．

【思路點撥】（1）根據(jù)題目規(guī)定，以及數(shù)軸上的數(shù)向右平移用加計算即可求出點A′，設(shè)點B表示的數(shù)為a，根據(jù)題意列出方程求解即可得到點B表示的數(shù)，設(shè)點E表示的數(shù)為b，根據(jù)題意列出方程計算即可得解；

（2）先根據(jù)向上平移橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加，向右平移橫坐標(biāo)加，縱坐標(biāo)不變求出平移規(guī)律，然后設(shè)點F的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)平移規(guī)律列出方程組求解即可．【答案與解析】（1）點A′：-3×+1=-1+1=0，

設(shè)點B表示的數(shù)為a，則a+1=2，解得a=3，

設(shè)點E表示的數(shù)為b，則b+1=b，解得b=；

故答案為：0；3；.

（2）根據(jù)題意得，，解得，

設(shè)點F的坐標(biāo)為（x，y），

∵對應(yīng)點F′與點F重合，

∴x+=x，y+2=y，解得x=1，y=4，所以，點F的坐標(biāo)為（1，4）．【總結(jié)升華】耐心細致的讀懂題目信息是解答本題的關(guān)鍵．【變式】如圖，若將邊長為的兩個互相重合的正方形紙片沿對角線翻折成等腰直角三角形后，再抽出一個等腰直角三角形沿移動，若重疊部分的面積是，則移動的距離等于.【答案】根據(jù)題意得：AB∥A′B′，BC∥B′C′，

∴∠A′PC=∠B=90°，

∵∠A=∠CA′P=∠ACP=45°，

∴△A′PC是等腰直角三角形，

∵△A′PC的面積是1cm2，

∴S△A′PC=A′P?PC=1（cm2），

∴A′P=PC=cm，

∴A′C=2cm，

由于原等腰直角三角形的斜邊是2cm，

所以平移的距離是：2-2（cm）．題型二、軸對稱變換例2.如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是射線CB上的一個動點，把△DCE沿DE折疊，點C的對應(yīng)點為C′．（1）若點C′剛好落在對角線BD上時，BC′=；（2）若點C′剛好落在線段AB的垂直平分線上時，求CE的長；（3）若點C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時，求CE的長．【思路點撥】（1）根據(jù)點B，C′，D在同一直線上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，進而利用勾股定理得出答案；（3）利用①當(dāng)點C′在矩形內(nèi)部時，②當(dāng)點C′在矩形外部時，分別求出即可．【答案與解析】解：（1）如圖1，∵點B，C′，D在同一直線上，∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；故答案為：4；（2）如圖2，連接CC′，∵點C′在AB的垂直平分線上，∴點C′在DC的垂直平分線上，∴CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，設(shè)CE=x，易得DE=2x，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，解得：x=2，即CE的長為2；（3）作AD的垂直平分線，交AD于點M，交BC于點N，分兩種情況討論：①當(dāng)點C′在矩形內(nèi)部時，如圖3，∵點C′在AD的垂直平分線上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6﹣2，設(shè)EC=y，則C′E=y，NE=4﹣y，故NC′2+NE2=C′E2，即（6﹣2）2+（4﹣y）2=y2，解得：y=9﹣3，即CE=9﹣3；②當(dāng)點C′在矩形外部時，如圖4，∵點C′在AD的垂直平分線上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6+2，設(shè)EC=z，則C′E=a，NE=z﹣4故NC′2+NE2=C′E2，即（6+2）2+（z﹣4）2=z2，解得：z=9+3，即CE=9+3，綜上所述：CE的長為9±3．【總結(jié)升華】此題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識；利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．【變式】如圖所示，有一塊面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別為AD、BC的邊上中點，將C點折至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ．

（1）求MP的長；

（2）求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于.【答案】（1）解：連接BP、PC，由折法知點P是點C關(guān)于折痕BQ的對稱點．

∴BQ垂直平分PC，BC=BP．

又∵M、N分別為AD、BC邊上的中點，且四邊形ABCD是正方形，

∴BP=PC．

∴BC=BP=PC．

∴△PBC是等邊三角形．

∵PN⊥BC于N，BN=NC=BC=，∠BPN=×∠BPC=30°，

∴PN=，MP=MN-PN=．

（2）證明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．

在Rt△BCQ中，QC=BC?tan30°=1×=，

∴PQ=．

∴以PQ為邊的正方形的面積為．例3.已知：矩形紙片中，AB=26厘米，厘米，點E在AD上，且厘米，點P是AB邊上一動點，按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點P與點E重合，展開紙片得折痕（如圖（1）所示）；步驟二，過點P作交所在的直線于點Q，連結(jié)QE（如圖（2）所示）；（1）無論點P在AB邊上任何位置，都有PQQE（填“＞”、“=”、“＜”號）（2）如圖（3）所示，將矩形紙片放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進行操作：①當(dāng)點P在A點時，與交于點點的坐標(biāo)是（，）；②當(dāng)厘米時，與交于點，點的坐標(biāo)是（，）；③當(dāng)厘米時，在圖（3）中畫出，（不要求寫畫法）并求出與的交點的坐標(biāo)；（3）點P在在運動過程中，與形成一系列的交點，…觀察，猜想：眾多的交點形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達式.（A）BCDEN（A）BCDENO612182461218ABCDPEMNBC（P） （1） （2） （3）【思路點撥】（1）根據(jù)折疊的特點可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．

（2）過點E作EG⊥Q3P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．設(shè)Q3G=x，則Q3E=Q3P=x+6．利用Rt△Q3EG中的勾股定理可知x=9，Q3P=15．即Q3（12，15）．

（3）根據(jù)上述的點的軌跡可猜測這些點形成的圖象是一段拋物線，利用待定系數(shù)法可解得函數(shù)關(guān)系式：y=x2+3（0≤x≤26）．

【答案與解析】（1）由折疊的特點可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．

（2）①（0，3）；②（6，6）．

③畫圖，如圖所示．

過點E作EG⊥Q3P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．

∴GP=6，EG=12．

設(shè)Q3G=x，則Q3E=Q3P=x+6．

在Rt△Q3EG中，∵EQ32=EG2+Q3G2

∴x=9．

∴Q3P=15．

∴Q3（12，15）（3）這些點形成的圖象是一段拋物線．

函數(shù)關(guān)系式：y=x2+3（0≤x≤26）．【總結(jié)升華】本題是一道幾何與函數(shù)綜合題，它以“問題情境--建立模型--解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，通過動點P在AB上的移動構(gòu)造探究性問題，讓學(xué)生在“操作、觀察、猜想、建模、驗證”活動過程中，提高動手能力，培養(yǎng)探究精神，發(fā)展創(chuàng)新思維．題型三、旋轉(zhuǎn)變換例4.已知，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，點P是射線CB上一點（點P不與點B、C重合），線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點M.（1）如圖①，當(dāng)AC=BC，點P在線段CB上時，線段PB、CM的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖②，當(dāng)AC=BC，點P在線段CB的延長線時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（3）如圖③，若，點P在線段CB的延長線上，CM=2，AP=13，求△ABP的面積．【思路點撥】（1）作出△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，和等腰三角形的性質(zhì)再用中位線即可；（2）作出△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，和等腰三角形的性質(zhì)，再用中位線即可；（3）同（1）（2）的方法作出輔助線，利用平行線中的基本圖形“A”得出比例式，用勾股定理求出x，最后用三角形的面積公式即可．【答案與解析】解：（1）如圖1，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB'C'，∴B'Q=BP，AB'=AB，連接BB'，∵AC⊥BC，∴點C在BB'上，且CB'=CB，依題意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，故答案為：BP=2CM；（2）BP=2CM仍然成立，理由：如圖2，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB'C'，連接B'Q，∴B'Q=BP，AB'=AB，連接BB'，∵AC⊥BC，∴點C在BB'上，且CB'=CB，依題意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，（3）如圖3，設(shè)BC=2x，則AC=5x，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB'C'，連接B'Q，∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC'延長BC交C'Q于N，∴四邊形ACNC'是正方形，∴C'N=CN=AC=5x，∴BN=CN+BC=7x∵CM∥QN，∴∵CM=2，∴∴QN=7，∴BP=B'Q=C'N+QN﹣B'C'=5x+7﹣2x=3x+7，∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，根據(jù)勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2=132∴x=1或x=﹣（舍），∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，∴S△ABP=BP×AC=×10×5=25．【總結(jié)升華】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，也是本題的難點．例5.如圖①，小慧同學(xué)把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點^按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后．她提出了如下問題：問題①：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是_______________?請你解答上述兩個問題．【思路點撥】求出正方形OABC翻轉(zhuǎn)時點O的軌跡弧長,再求面積即可.要理解的是第4次旋轉(zhuǎn)，頂點O沒有移動.【答案與解析】解：問題①：如圖，正方形紙片經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動所形成的圖形是三段圓弧，所以頂點O在此運動過程中經(jīng)過的路程為.頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線圍成圖形的面積為.正方形紙片經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動經(jīng)過的路程為：.問題②：∵正方形紙片每經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動經(jīng)過的路程均為：.又，而是正方形紙片第4+1次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動經(jīng)過的路程.∴正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過81次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是.【總結(jié)升華】本題涉及到分類歸納，圖形的翻轉(zhuǎn)，扇形弧長和面積.【變式】如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個底角為60°．正方形ABCD的邊長為1，它的一邊AD在MN上，且頂點A與M重合．現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾，翻滾到有一個頂點與Q重合即停止?jié)L動．(1)請在所給的圖中，用尺規(guī)畫出點A在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖；(2)求正方形在整個翻滾過程中點A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．【答案】(1)點A在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖如圖：(2)弧AA1與AD，A1D圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為1）=；弧A1A2與A1D，DN，A2N圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為）＋正方形的面積（邊長為1）=；弧A2A3與A2N，NA3圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為1）=；其他三塊小面積分別與以上三塊相同.∴點A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S為：.【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共8小題）1．（2022?臺灣）如圖1為一張正三角形紙片ABC，其中D點在AB上，E點在BC上．今以DE為折線將B點往右折后，BD、BE分別與AC相交于F點、G點，如圖2所示．若AD＝10，AF＝16，DF＝14，BF＝8，則CG的長度為多少？（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)三角形ABC是正三角形，可得∠A＝∠B＝60°，△AFD∽△BFG，即可求出FG＝7，而AD＝10，DF＝14，BF＝8，可得AB＝32＝AC，故CG＝AC﹣AF﹣FG＝9．【解答】解：∵三角形ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠AFD＝∠BFG，∴△AFD∽△BFG，∴＝，即＝，∴FG＝7，∵AD＝10，DF＝14，BF＝8，∴AB＝32，∴AC＝32，∴CG＝AC﹣AF﹣FG＝32﹣16﹣7＝9；故選：C．【點評】本題考查等邊三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，證明△AFD∽△BFG，從而求出FG的長度．2．（2022?丹東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，對角線AC與BD交于點O，點E是AD的中點，連接OE，△ABD的周長為12cm，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．OE∥AB B．四邊形ABCD是中心對稱圖形 C．△EOD的周長等于3cm D．若∠ABC＝90°，則四邊形ABCD是軸對稱圖形【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理判斷各個選項即可．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵對角線AC與BD交于點O，點E是AD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥AB，∴A選項結(jié)論正確，不符合題意；∵四邊形ABCD是中心對稱圖形，∴B選項結(jié)論正確，不符合題意；∵△ABD的周長為12cm，∴△EOD的周長等于6cm，∴C選項結(jié)論錯誤，符合題意；若∠ABC＝90°，則四邊形ABCD是矩形，是軸對稱圖形，∴D選項結(jié)論正確，不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，中心對稱圖形、軸對稱圖形、矩形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，中心對稱圖形、軸對稱圖形、矩形的判定與性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022?資陽）如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E是直線BC上一動點．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（）A． B． C． D．【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點A關(guān)于直線BC的對稱點A'，再連接A'O，運用兩點之間線段最短得到A'O為所求最小值，再運用勾股定理求線段A'O的長度即可．【解答】解：如圖所示，作點A關(guān)于直線BC的對稱點A'，連接A'O，其與BC的交點即為點E，再作OF⊥AB交AB于點F，∵A與A'關(guān)于BC對稱，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，當(dāng)且僅當(dāng)A'，O，E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，點O為對角線的交點，∴，∵A與A'關(guān)于BC對稱，∴AB＝BA'＝4，∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OFA'中，，故選：D．【點評】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，并運用勾股定理求線段長度是解題關(guān)鍵．4．（2022?黔西南州）在如圖所示的Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB的中點，把紙片沿著CD折疊，點B到點E的位置，連接AE．若AE∥DC，∠B＝α，則∠EAC等于（）A．α B．90°﹣α C．α D．90°﹣2α【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出CD＝BD＝AD＝ED，∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α，求出∠EAD＝∠AED＝180°﹣2α，∠CAD＝90°﹣α，即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是斜邊AB的中點，∴CD＝BD＝AD，由折疊的性質(zhì)得：BD＝ED，∠B＝∠CED，∴CD＝BD＝AD＝ED，∴∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α，∴∠EDC＝180°﹣∠DCE﹣∠CED＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∵AE∥DC，∴∠AED＝∠EDC＝180°﹣2α，∵ED＝AD，∴∠EAD＝∠AED＝180°﹣2α，∵∠B＝α，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝90°﹣α，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，故選：B．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022?牡丹江）下列圖形是黃金矩形的折疊過程：第一步，如圖（1），在一張矩形紙片一端折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步，如圖（2），把正方形折成兩個相等的矩形再把紙片展平；第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖（3）中所示的AD處；第四步，如圖（4），展平紙片，折出矩形BCDE就是黃金矩形．則下列線段的比中：①，②，③，④，比值為的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．②③【分析】設(shè)MN＝2a，則BC＝DE＝2a，AC＝a，根據(jù)折疊的性質(zhì)和正方形，矩形的性質(zhì)分別計算相應(yīng)線段的長，再計算①②③④中的比值即可解答．【解答】解：①設(shè)MN＝2a，則BC＝DE＝2a，AC＝a，在Rt△ABC中，AB＝＝＝a，如圖（3），由折疊得：AD＝AB＝a，∴CD＝AD﹣AC＝AB﹣AC＝a﹣a，∴＝＝；②＝＝；③∵四邊形MNCB是正方形，∴CN＝MN＝2a，∴ND＝a+a，∴＝＝＝；④＝＝；綜上，比值為的是①③；故選：B．【點評】本題考查了黃金矩形的定義、勾股定理、翻折變換，分母有理化等知識，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，利用參數(shù)表示相應(yīng)線段的長是解本題的關(guān)鍵，屬于中考創(chuàng)新題目．6．（2022?呼和浩特）如圖．△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點B的對應(yīng)點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD＝α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（）A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因為∠BCD＝α，所以∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，由三角形內(nèi)角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝．所以∠E＝．再由三角形內(nèi)角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，∵∠BCD＝α，∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝．∴∠E＝．∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．故選：C．【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等相關(guān)內(nèi)容，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠E和∠ECF的角度是解題關(guān)鍵．7．（2022?綏化）如圖，線段OA在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A點坐標(biāo)為（2，5），線段OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OA'，則點A'的坐標(biāo)為（）A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）【分析】過點A作AB⊥x軸于點B，過點A′作A′C⊥x軸于點C，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：過點A作AB⊥x軸于點B，過點A′作A′C⊥x軸于點C，如圖，∵A點坐標(biāo)為（2，5），∴OB＝2，AB＝5．由題意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．∴∠AOB+∠A′OC＝90°．∵∠A′OC+∠A′＝90°，∴∠A′＝∠AOB．在△A′OC和△OAB中，，∴△A′OC≌△OAB（AAS）．∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，∴A′（﹣5，2）．故選：A．【點評】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)的變化，點的坐標(biāo)的特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．8．（2022?營口）如圖，在矩形ABCD中，點M在AB邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使點B落在AD邊上的點E處，連接EC，過點B作BF⊥EC，垂足為F，若CD＝1，CF＝2，則線段AE的長為（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．【分析】證明△EDC≌△CFB（AAS），得DE＝CF＝2，即可得CE＝＝＝BC＝AD，故AE＝AD﹣DE＝﹣2．【解答】解：∵BC＝CE，∠EDC＝∠CFB＝90°，∠DEC＝∠BCF，∴△EDC≌△CFB（AAS），∴DE＝CF＝2，∴CE＝＝＝＝BC＝AD，∴AE＝AD﹣DE＝﹣2，故選：A．【點評】本題考查矩形中的翻折問題，涉及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，能熟練應(yīng)用勾股定理列方程解決問題．二．填空題（共5小題）9．（2022?大連）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（1，2），將線段OA向右平移4個單位長度，得到線段BC，點A的對應(yīng)點C的坐標(biāo)是（5，2）．【分析】根據(jù)橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減求解即可．【解答】解：將線段OA向右平移4個單位長度，得到線段BC，點A的對應(yīng)點C的坐標(biāo)是（1+4，2），即（5，2），故答案為：（5，2）．【點評】本題主要考查坐標(biāo)與圖形變化—平移，解題的關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的平移規(guī)律：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．10．（2022?臨沂）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點A，B的坐標(biāo)分別是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)為（﹣1，0），則點B的對應(yīng)點B'的坐標(biāo)是（1，﹣3）．【分析】由A點的平移判斷出B點的平移最后得出坐標(biāo)即可．【解答】解：由題意知，點A從（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2個單位，再向左平移1個單位（或者先向左平移1個單位，再向下平移2個單位），即B點（2，﹣1），平移后的對應(yīng)點為B'（1，﹣3），故答案為：（1，﹣3）．【點評】本題主要考查平移的知識，根據(jù)A點的平移情況得出B點的對應(yīng)點是解題的關(guān)鍵．11．（2022?遼寧）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點A（3，2），B（5，2），將線段AB平移得到線段CD，點A的對應(yīng)點C的坐標(biāo)是（﹣1，2），則點B的對應(yīng)點D的坐標(biāo)是（1，2）．【分析】根據(jù)點A、C的坐標(biāo)確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律解答即可．【解答】解：∵點A（3，2）的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為（﹣1，2），∴平移規(guī)律為向左平移4個單位，∴B（5，2）的對應(yīng)點D的坐標(biāo)為（1，2）．故答案為：（1，2）．【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．12．（2022?淄博）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點A（﹣3，4）的對應(yīng)點是A1（2，5），則點B（﹣4，2）的對應(yīng)點B1的坐標(biāo)是（1，3）．【分析】根據(jù)點A（﹣3，4）的對應(yīng)點是A1（2，5），可得點A向右平移5個單位，向上平移1個單位至A1，進而可以解決問題．【解答】解：∵點A（﹣3，4）的對應(yīng)點是A1（2，5），∴點B（﹣4，2）的對應(yīng)點B1的坐標(biāo)是（1，3）．故答案為：（1，3）．【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，解決本題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)．13．（2022?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點A1（1，1）；把點A1向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點A2（﹣1，3）；把點A2向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點A3（﹣4，0）；把點A3向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點A4（0，﹣4），…；按此做法進行下去，則點A10的坐標(biāo)為（﹣1，11）．【分析】根據(jù)題目規(guī)律，依次求出A5、A6……A10的坐標(biāo)即可．【解答】解：由圖象可知，A5（5，1），將點A5向左平移6個單位、再向上平移6個單位，可得A6（﹣1，7），將點A6向左平移7個單位，再向下平移7個單位，可得A7（﹣8，0），將點A7向右平移8個單位，再向下平移8個單位，可得A8（0，﹣8），將點A8向右平移9個單位，再向上平移9個單位，可得A9（9，1），將點A9向左平移10個單位，再向上平移10個單位，可得A10（﹣1，11），故答案為：（﹣1，11）．【點評】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共5小題）14．（2022?寧夏）如圖，是邊長為1的小正方形組成的8×8方格，線段AB的端點在格點上．建立平面直角坐標(biāo)系，使點A、B的坐標(biāo)分別為（2，1）和（﹣1，3）．（1）畫出該平面直角坐標(biāo)系xOy；（2）畫出線段AB關(guān)于原點O成中心對稱的線段A1B1；（3）畫出以點A、B、O為其中三個頂點的平行四邊形．（畫出一個即可）【分析】（1）根據(jù)其中一個點的坐標(biāo)，即可確定原點位置；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，即可畫出線段A1B1；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可畫出圖形．【解答】解：（1）如圖，即為所求；（2）如圖，線段A1B1即為所求；（3）如圖，平行四邊形AOBD即為所求（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的判定，作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022?哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點和線段EF的端點均在小正方形的頂點上．（1）在方格紙中畫出△ADC，使△ADC與△ABC關(guān)于直線AC對稱（點D在小正方形的頂點上）；（2）在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點G，點H均在小正方形的頂點上），且平行四邊形EFGH的面積為4，連接DH，請直接寫出線段DH的長．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得△ADC；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)即可畫出圖形，利用勾股定理可得DH的長．【解答】解：（1）如圖，△ADC即為所求；（2）如圖，?EFGH即為所求；由勾股定理得，DH＝＝5．【點評】本題主要考查了作圖﹣軸對稱變換，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識，準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．16．（2022?黑龍江）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．（1）將△ABC先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標(biāo)；（2）畫出△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C1，并寫出點A2的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點A1旋轉(zhuǎn)到點A2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A1，B1的對應(yīng)點A2，B2即可；（3）利用勾股定理求出A1C1，再利用弧長公式求解．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，點A1的坐標(biāo)（﹣5，3）；（2）如圖，△A2B2C1即為所求，點A2的坐標(biāo)（2，4）；（3）∵A1C1＝＝5，∴點A1旋轉(zhuǎn)到點A2的過程中所經(jīng)過的路徑長＝＝．【點評】本題考查作圖﹣平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．17．（2022?錦州）如圖，在△ABC中，，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點，連接DE，DF．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，將∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，當(dāng)射線DP交AB于點G，射線DQ交BC于點N時，連接FE并延長交射線DP于點M，判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)DP⊥AB時，求DN的長．【分析】（1）連接AF，可得AF⊥BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)中位線定理可得，即可得證；（2）證明△DNF∽△DME，根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；（3）連接AF，過點C作CH⊥AB于H，證明△AGD∽△AHC，可得，勾股定理求得GE，AG，根據(jù)，∠EMG＝∠ADG，可得，進而求得MG，根據(jù)MD＝MG+GD求得MD，根據(jù)（2）的結(jié)論，即可求解．【解答】（1）證明：如圖1，連接AF，∵，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點，∴，AF⊥BC，∴，∴；（2）解：，理由如下：連接AF，如圖2，∵，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點，∴，∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴∠DEF＝∠C，∵，∴∠DFC＝∠C，∴∠DFC＝∠DEF，∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，∴∠DFN＝∠DEM，∵將∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，∴∠EDF＝∠PDQ，∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，∴∠FDN＝∠EDM，∴△DNF∽△DME，∴，∴；（3）解：如圖，連接AF，過點C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中，，∴，∵，∴，∵DP⊥AB，∴△AGD∽△AHC，∴，∴，Rt△GED中，，Rt△AGD中，，∴，∵EF∥AD，∴∠EMG＝∠ADG，∴，∴，∴，∵△DNF∽△DME，∴，∴．【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．（2022?鞍山）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D在直線AC上，連接BD，將DB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DE，連接BE，CE．（1）求證：BC＝AB；（2）當(dāng)點D在線段AC上（點D不與點A，C重合）時，求的值；（3）過點A作AN∥DE交BD于點N，若AD＝2CD，請直接寫出的值．【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，進而得出結(jié)論；（2）證明△ABD∽△CBE，進而得出結(jié)果；（3）當(dāng)點D在線段AC上時，作BF⊥AC，交CA的延長線于F，作AG⊥BD于G，設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的長，根據(jù)△DAG∽△DBF求得AQ，進而求得AN，進一步得出結(jié)果；當(dāng)點D在AC的延長線上時，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，同樣方法求得結(jié)果．【解答】（1）證明：如圖1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝＝60°，BC＝2BH，∴sin60°＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝30°，由（1）得，，同理可得，∠DBE＝30°，，∴∠ABC＝∠DBE，＝，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴；（3）解：如圖2，當(dāng)點D在線段AC上時，作BF⊥AC，交CA的延長線于F，作AG⊥BD于G，設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，由（1）得，CE＝，在Rt△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a?cos60°＝，BF＝3a．sin60°＝，在Rt△BDF中，DF＝AD+AF＝2a+a＝，BD＝＝＝a，∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴，∴＝，∴AG＝，∵AN∥DE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴AN＝＝a＝a，∴＝，如圖3，當(dāng)點D在AC的延長線上時，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，由（1）得，CE＝＝4，作BR⊥CA，交CA的延長線于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝，∴BD＝＝2a，∴，∴AQ＝，∴AN＝＝a，∴＝＝，綜上所述：或．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類和較強的計算能力．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共5小題）1．（2023?偃師市一模）課外活動課上，小明用矩形ABCD玩折紙游戲，如圖，第一步，把矩形ABCD沿EF對折，折出折痕EF，并展開；第二步，將紙片折疊，使點A落在EF上A'點，若AB＝2，則折痕BG的長等于（）﹣A． B． C．2 D．4【分析】由矩形性質(zhì)可得∠BAG＝90°，由折疊性質(zhì)可得∠A′EB＝90°，A′B＝AB＝2，∠ABG＝∠A′BG，由題意可得點E為AB中點，AE＝BE＝1，從而可得∠BA′E＝30°，可得∠A′BE＝60°，可得∠ABG＝∠A′BG＝30°，BG＝AB，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，AB＝2，∴∠BAG＝90°，由折疊性質(zhì)可得：∠A′EB＝90°，A′B＝AB＝2，∠ABG＝∠A′BG，由題意可得：點E為AB中點，∴AE＝BE＝1，在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，∴∠BA′E＝30°，∴∠A′BE＝60°，∴∠ABG＝∠A′BG＝30°，∴BG＝AB＝，故選：B．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出∠ABG＝30°．2．（2023?瓊山區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，點B的對應(yīng)點E落在CD上，且DE＝EF，則四邊形ABCE的面積為（）A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣1【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝EF＝AD＝1，AE＝AB，可求AE的長，即可求解．【解答】解：∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，∴BC＝EF＝AD＝1，AE＝AB，∵DE＝EF＝1，∴AE＝＝AB，∴EC＝﹣1，∴四邊形ABCE的面積＝×（+﹣1）×1＝﹣，故選：C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?深圳模擬）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是AB邊延長線上一點，BE＝2，F(xiàn)是AB邊上一點，將△CEF沿CF翻折，使點E的對應(yīng)點G落在AD邊上，連接EG交折痕CF于點H，則FH的長是（）A． B． C．1 D．【分析】由翻折得CG＝CE，GF＝EF，CF垂直平分EG，可根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”證明Rt△CDG≌Rt△CBE，得DG＝BE＝2，則AG＝2，而AE＝AB+BE＝6，即可根據(jù)勾股定理求得EG＝2，再由AG2+AF2＝FG2，且AF＝6﹣EF，得22+（6﹣EF）2＝EF2，則EF＝，由×2FH＝××2＝S△EFG，求得FH＝，于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，∴AB＝AD＝CD＝CB＝4，∠D＝∠A＝∠ABC，∴∠D＝∠CBE＝90°，由翻折得CG＝CE，GF＝EF，CF垂直平分EG，在Rt△CDG和Rt△CBE中，，∴Rt△CDG≌Rt△CBE（HL），∴DG＝BE＝2，∴AG＝AD﹣DG＝4﹣2＝2，∵AE＝AB+BE＝4+2＝6，∴EG＝＝＝2，∵AG2+AF2＝FG2，且AF＝6﹣EF，∴22+（6﹣EF）2＝EF2，解得EF＝，∵EG?FH＝EF?AG＝S△EFG，∴×2FH＝××2，解得FH＝，故選：B．【點評】此題重點考查正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地求出EG和EF的長度是解題的關(guān)鍵．4．（2023?青島模擬）如圖，將△ABC先向下平移1個單位，再繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△A1B1C1，頂點A落到了點A1（5，3）處，則點B的對應(yīng)點B1的坐標(biāo)是（）A．（3，0） B．（3，2） C．（2，2） D．（1，2）【分析】根據(jù)要求作出圖形即可．【解答】解：如圖，△A1B1C1即為所求，B1（2，2），故選：C．【點評】本題考查作圖坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，平移等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形，屬于中考?？碱}型5．（2023?青島模擬）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E是BC邊的中點，將△DCE沿DE折疊得到△DEF，點F落在EG邊上，連接CF．現(xiàn)有如下5個結(jié)論：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③S△BEF＝；④GB＝2AG．在以上4個結(jié)論中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【分析】根據(jù)HL證明兩三角形Rt△ADG≌Rt△FDG即可判斷①；根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠EFC+∠EFB＝90°，得∠BFC＝90°，所以BF⊥CF，即可判斷②；根據(jù)折疊的性質(zhì)和線段中點的定義可得CE＝EF＝BE＝3，設(shè)AG＝x，表示出GF、BG，根據(jù)點E是BC的中點求出BE、EF，從而得到GE的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可判斷④；先求△BEG的面積，根據(jù)△BEF和△BEG等高，可知＝＝，S△BEF＝×6＝，即可判斷③．【解答】解：由折疊得：△DCE≌△DFE，∴DF＝DC，∠DFE＝∠DCE，EC＝EF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°，∴∠A＝∠DFG＝90°，AD＝DF，∵DG＝DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），∴AG＝FG，∴AG+EC＝FG+EF＝GE，故①正確；∵點E是BC邊的中點，∴BE＝CE，∴BE＝EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC，∠EBF＝∠EFB，∵∠ECF+∠EFC+∠EBF+∠EFB＝180°，∴∠EFC+∠EFB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BF⊥CF，故②正確；設(shè)AG＝x，則BG＝6﹣x，由Rt△ADG≌Rt△FDG得：AG＝FG，∵點E是BC邊上的中點，∴EF＝CE＝BE＝3，在Rt△BEG中，根據(jù)勾股定理得：BG2+BE2＝EG2，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得：x＝2，AG＝2，∴BG＝4，∴GB＝2AG，故④正確，∵S△BEG＝BE?BG＝×3×4＝6，∵△BEF和△BEG等高，∴＝＝，∴S△BEF＝×6＝，故③錯誤．故選：C．【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在矩形ABCD中，E為邊AB上一點，將△ADE沿DE折疊，使點A的對應(yīng)點F恰好落在邊BC上，連接AF交DE于點G．若BF?AD＝12，則AF的長度為2．【分析】連接BG，由矩形的性質(zhì)可得BG＝AF＝AG＝FG，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．【解答】解：連接BG，在矩形ABCD中，AD∥BC，∠DAF＝∠AFB，∴AE＝EF，AD＝DF，∴DE垂直平分AF于點G，∵∠ABF＝90°，∴BG＝AF＝AG＝FG，∴∠GBA＝∠GAB，∠BGF＝2∠BAG＝2∠ADE＝∠FDA，∴△GBF∽△DAF，∴，∴AF?BG＝12，∴AF2＝12，∴AF＝2．故答案為：2．【點評】此題考查的是翻折變換，矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．7．（2023?延安一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，點E為線段CD的中點，動點F從點C出發(fā)，沿C→B→A的方向在CB和BA上運動，將矩形沿EF折疊，點C的對應(yīng)點為C'，當(dāng)點C'恰好落在矩形的對角線上時，點F運動的距離為1或．【分析】分點C'落在對角線BD上和點C'落在對角線AC上兩種情況分別進行討論求解，即可得出點F運動的距離．【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)點C'落在對角線BD上時，連接CC'，如圖1所示：∵將矩形沿EF折疊，點C的對應(yīng)點為點C'，且點恰好落在矩形的對角線上，∴CC'⊥EF，∵點E為線段CD的中點，∴CE＝ED＝EC'，∴∠CC′D＝90°，即CC'⊥BD，∴EF∥BD，∴點F是BC的中點，∵在矩形ABCD中，AD＝2，∴BC＝AD＝2，∴CF＝1，∴點F運動的距離為1；②當(dāng)點C'落在對角線AC上時，作FH⊥CD于H，則CC'⊥EF，四邊形CBFH為矩形，如圖2所示：在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，∠B＝∠BCD＝90°，AB∥CD，∴BC＝AD＝2，tan∠BAC＝，∴∠BAC＝30°，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝60°，∴∠FEH＝60°，∵四邊形CBFH為矩形，∴HF＝BC＝2，∴EH＝＝＝，∵EC＝CD＝，∴BF＝CH＝CE﹣EH＝﹣＝，∴點F運動的距離為；綜上所述：點F運動的距離為1或；故答案為：1或．【點評】本題考查了幾何變換綜合題，需要利用翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，熟記翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023?武漢模擬）如圖，D是△ABC內(nèi)一點，∠BDC＝90°，BD＝CD，AB＝20，AC＝21，AD＝，則BC的長是．【分析】將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△ADE，利用SAS證明△ADC≌△EDB，得BE＝AC＝21，設(shè)EH＝x，則BH＝21﹣x，利用勾股定理列方程即可解決問題．【解答】解：如圖所示，將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△ADE，∴∠ADE＝∠BDC＝90°，AD＝DE，∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠BDC，∴∠ADC＝∠BDE，又∵BD＝CD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝21，∵△EDB可視為△ADC旋轉(zhuǎn)90°而得，∴BE⊥AC，設(shè)BE與AC的交點為H，在△ABE中，AB＝20，AE＝AD＝13，BE＝21，設(shè)EH＝x，則BH＝21﹣x，由勾股定理得，AB2﹣BH2＝AH2＝AE2﹣EH2，即202﹣（21﹣x）2＝132﹣x2，解得x＝5，∴BH＝16，AH＝＝12，CH＝21﹣12＝9，∴BC＝＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2023?澄邁縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，1），（3，0），（2，﹣1）．點M從坐標(biāo)原點O出發(fā)，第一次跳躍到點M1，使得點M1與點O關(guān)于點A成中心對稱；第二次跳躍到點M2，使得點M2與點M1關(guān)于點B成中心對稱；第三次跳躍到點M3，使得點M3與點M2關(guān)于點C成中心對稱；第四次跳躍到點M4，使得點M4與點M3關(guān)于點A成中心對稱；…，依此方式跳躍，點M2022的坐標(biāo)是（0，0）．【分析】畫出圖形，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【解答】解：如圖，由題意，M1（2，2），M2（4，﹣2），M3（0，0），發(fā)現(xiàn)3次應(yīng)該循環(huán)，∵2022÷3＝674，∴M2022的坐標(biāo)與M3的坐標(biāo)相同，即M2022（0，0）．故答案為：（0，0）．【點評】本題考查了中心對稱及點的坐標(biāo)的規(guī)律變換，解答本題的關(guān)鍵是求出前幾次跳躍后點的坐標(biāo)，總結(jié)出一般規(guī)律．10．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠A＝120°，點F、點N分別為CD、AB的中點，點E在邊AD上運動，將△EDF沿EF折疊，使得點D落在D'處，連接BD′，點M為BD'中點，則MN的最小值是．【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得MN＝，可知當(dāng)AD′取得最小值時，MN取得最小值，根據(jù)折疊可知D′在以點F為圓心，DF的長為半徑的半圓弧上運動，當(dāng)點D′運動到線段AF上時，此時AD′取得最小值，最小值為AF﹣D′F，過點F作FH⊥AD于點H，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)可得HD的長，根據(jù)勾股定理求出FH的長，再在Rt△AFH中，根據(jù)勾股定理求出AF的長，進一步可得AD′的最小值，即可求出MN的最小值．【解答】解：連接AD′，∵點N為AB的中點，點M為BD′的中點，∴MN為△BAD′的中位線，∴MN＝，∴當(dāng)AD′取得最小值時，MN取得最小值，在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵AB＝4，AD＝6，∠A＝120°，∴CD＝4，∠D＝60°，∵點F為線段CD的中點，∴DF＝CF＝2，根據(jù)折疊可知D′F＝DF＝2，∴點D′在以點F為圓心，DF的長為半徑的半圓弧上運動，當(dāng)點D′運動到線段AF上時，此時AD′取得最小值，最小值為AF﹣D′F，過點F作FH⊥AD于點H，如圖所示：則∠FHD＝90°，∴∠HFD＝30°，∴DH＝DF＝1，在Rt△DHF中，根據(jù)勾股定理，得FH＝，∵AD＝6，∴AH＝6﹣1＝5，在Rt△AFH中，根據(jù)勾股定理，得AF＝＝，∴AD′的最小值為﹣2，∴MN的最小值為，故答案為：．【點評】本題考查了翻折變換，線段最小值問題，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，找出線段AD′最小時點D′的位置是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）11．（2023?西安一模）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的位置如圖所示，請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A'B'C'，其中A'、B'、C'分別是A、B、C的對應(yīng)點，并寫出點A'、B'、C'的坐標(biāo)．【分析】利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征寫出點A'、B'、C'的坐標(biāo)，然后描點即可．【解答】解：如圖，△A'B'C'為所作，A′（2，3），B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：先確定圖形的關(guān)鍵點；再利用軸對稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點的對稱點；然后按原圖形中的方式順次連接對稱點．12．（2023?雁塔區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中：（1）將△ABC向上平移3個單位，再向右平移2個單位得到△A1B1C1，畫出點A的對應(yīng)點A1的坐標(biāo)（0，1）；并在坐標(biāo)系中畫出平移后的△A1B1C1；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）利用點平移的坐標(biāo)變換規(guī)律得到點A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點即可；（2）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△ABC的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作，點A1的坐標(biāo)為（0，1）；故答案為：（0，1）；（2）△ABC的面積＝5×4﹣×5×3﹣×1×3﹣×4×2＝7．【點評】本題考查了作圖﹣平移變換：作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這幾個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形．13．（2023?定遠縣校級一模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點三角形ABC和格點O（網(wǎng)格線的交點，叫做格點）．（1）作△ABC關(guān)于點O的中心對稱圖形△A1B1C1；（點A，B，C的對應(yīng)點分別為A1，B1，C1）（2）將△A1B1C1先向上平移5個單位長度，再向左平移1個單位長度，得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；（點A1，B1，C1的對應(yīng)點分別為A2，B2，C2）（3）連接OA，OC2，則∠AOC2＝90°．【分析】（1）根據(jù)題意找到點A1，B1，C1，再連線即可．（2）根據(jù)題意找到A2，B2，C2，再連線即可．（3）由OA＝，OC2＝，AC2＝5，可得，則∠AOC2＝90°．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．（3）∵OA＝，OC2＝，AC2＝5，且，∴，∴∠AOC2＝90°．故答案為：90．【點評】本題考查作圖﹣平移變換、中心對稱、勾股定理，熟練掌握中心對稱及平移的性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023?石家莊模擬）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的8×11的網(wǎng)格中，給出了以格點（網(wǎng)格線的交點）為端點的線段AB．（1）以點A為中心，將AB逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AB1，畫出線段AB1；（2）連接BB1，以點B1為中心，將△ABB1縮小0.5倍得到△A2B2B1，畫出△A2B2B1；（3）若△ABB1的面積為S，則△A2B2B1的面積為．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出B點的對應(yīng)點B1即可；（2）延長B1B2到B2使或在B1B上截取，同理得A2即可；（3）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）解：如圖所示；（2）如圖所示；（3）由題意可知，△ABB1∽△A2B2B1，且相似比為，故面積比為，∵△ABB1的面積為S，∴△A2B2B1的面積為，故答案為：．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖和位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；然后根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；最后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．15．（2023?廬江縣模擬）（1）如圖1，過等邊△ABC的頂點A作AC的垂線l，點P為l上點（不與點A重合），連接CP，將線段CP繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連接QB．①求證：AP＝BQ；②連接PB并延長交直線CQ于點D．若PD⊥CQ，AC＝，求PB的長；（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB＝45°，將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，連接CD，若AC＝1，BC＝3，求CD長．【分析】（1）①由“SAS”證得△ACP≌△BCQ（SAS）可得AP＝BQ；②連接PQ，BQ，由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，可得△CPQ是等邊三角形，根據(jù)PD⊥CQ，可知DP是CQ的垂直平分線，BC＝BQ，證明△ACP≌△BCQ（SAS），得AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，即得AC＝BC＝BQ＝AP＝，可得CP＝＝2，在Rt△CDP中，CD＝CP＝1，PD＝CD＝，由∠CBQ＝∠CAP＝90°，BC＝BQ，可得∠CBD＝45°＝∠BCQ，故BD＝CD＝1，從而PB＝PD﹣BD＝﹣1；（2）在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE＝90°，AC＝AE，連接BE，由△ACE是等腰直角三角形，AC＝1，可得CE＝AC＝，∠ACE＝45°，又∠ACB＝45°，知∠BCE＝90°，BE＝＝，證明△ABE≌△ADC（SAS），即得BE＝CD＝．【解答】（1）①證明：AP＝BQ，理由如下：在等邊△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴∠ACB＝∠PCQ，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ；解：②連接PQ，BQ，如圖：由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等邊三角形．∵PD⊥CQ，∴CD＝DQ．∴DP是CQ的垂直平分線，∴BC＝BQ．在等邊△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠PCQ．∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ．∵CP＝CQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS）．∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°．∴AC＝BC＝BQ＝AP＝．∵∠CAP＝90°，∴CP＝＝2．在Rt△CDP中，∠CPD＝90°﹣∠PCQ＝30°，∴CD＝CP＝1，PD＝CD＝．∵∠CBQ＝∠CAP＝90°，BC＝BQ，∴∠BCQ＝45°．∵∠CDB＝90°，∴∠CBD＝45°＝∠BCQ．∴BD＝CD＝1．∴PB＝PD﹣BD＝﹣1；（2）解：將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，則∠CAE＝90°，AC＝AE，連接BE，如圖：∵△ACE是等腰直角三角形，AC＝1，∴CE＝AC＝，∠ACE＝45°．∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝90°．在Rt△BCE中，BE＝＝＝．∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE．即∠BAE＝∠DAC，∵AB＝AD，AE＝AC，∴△ABE≌△ADC（SAS）．∴BE＝CD．∴CD＝．【點評】本題主要考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形性質(zhì)及應(yīng)用，全等三角形判定與性質(zhì)，直角三角形判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．16．（2023?天涯區(qū)一模）已知D是等邊三角形ABC中AB邊上一點，將CB沿直線CD翻折得到CE，連接EA并延長交直線CD于點F．（1）如圖1，若∠BCD＝40°，直接寫出∠CFE的度數(shù)；（2）如圖1，若CF＝10，AF＝4，求AE的長；（3）如圖2，連接BF，當(dāng)點D在運動過程中，請?zhí)骄烤€段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形及翻折的性質(zhì)可求出∠ACE的值以及∠CAE＝∠E，在△ACE根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠E的值，然后在△CEF中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解∠CFE的值即可；（2）方法同（1）先求出∠CFE＝60°，然后在CF上截取FH，使FH＝EF，連接EH，BF，如圖1，可知△EFH是等邊三角形，根據(jù)∠ABF＝180°﹣∠CFB﹣∠BCF﹣∠ABC＝60°﹣∠BCF，∠CEH＝∠AEC﹣60°＝120°﹣∠BCF﹣60°＝60°﹣∠BCF，得到∠ABF＝∠CEH，證明△ABF≌△CEH（SAS），最后根據(jù)AE＝EF﹣AF＝FH﹣AF計算求解即可；（3）由（2）可得AF+BF＝CF，證明過程同（2）．【解答】解：（1）由等邊三角形及翻折的性質(zhì)得BC＝CE＝AC，∠ACB＝∠B＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ECF＝40°，∴∠CAE＝∠E，∠ACD＝∠ACB﹣∠BCF＝20°，∴∠ACE＝∠ECF﹣∠ACD＝20°，∴，∵∠CFE＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∴∠CFE的度數(shù)為60°；（2）由（1）可得∠CFE＝180°﹣∠E﹣∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠BCF，∵，∠ACE＝∠ECF﹣∠ACF＝∠BCF﹣（60°﹣∠BCF）＝2∠BCF﹣60°，∴，∴∠CFE＝180°﹣120°+∠BCF﹣∠BCF＝60°，如圖1，在CF上截取FH，使FH＝EF，連接EH，BF．由題意知BF＝EF，∠CFB＝∠CFE＝60°，∴△EFH是等邊三角形，∵∠ABF＝180°﹣∠CFB﹣∠BCF﹣∠ABC＝60°﹣∠BCF，∠CEH＝∠AEC﹣60°＝120°﹣∠BCF﹣60°＝60°﹣∠BCF，∴∠ABF＝∠CEH，在△ABF和△CEH中，∴△ABF≌△CEH（SAS），∴CH＝AF＝4，∴FH＝CF﹣CH＝6，∴AE＝EF﹣AF＝2，∴AE的長為2；（3）距離：AF+BF＝CF；理由：由（2）可得，點D在運動過程中，∠CFE＝60°是定值，如圖2，在CF上截取FH，使FH＝EF，連接EH，∴同理（2）可知△EFH是等邊三角形，∵∠ABF＝180°﹣∠CFB﹣∠BCF﹣∠ABC＝60°﹣∠BCF，∠CEH＝∠AEC﹣60°＝120°﹣∠BCF﹣60°＝60°﹣∠BCF，∴∠ABF＝∠CEH，在△ABF和△CEH中，，∴△ABF≌△CEH（SAS），∴CH＝AF，∴CF＝FH+CH＝BF+AF，∴AF+BF＝CF．【點評】本題主要考查了等邊三角的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握知識并正確的作輔助線是解題的關(guān)鍵．【名校自招練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?長壽區(qū)自主招生）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．科克曲線 B．笛卡爾心形線 C．趙爽弦圖 D．斐波那契螺旋線【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：A．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2．（2022?溫江區(qū)校級自主招生）在平面直角坐標(biāo)系中，點Q（﹣3，7）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）【分析】直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等即可得出答案．【解答】解：點Q（﹣3，7）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（3，7）．故選：B．【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號是解題關(guān)鍵．3．（2022?南陵縣自主招生）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，P為△ABC內(nèi)一點，分別連接PA、PB、PC，當(dāng)∠APB＝∠BPC＝∠CPA時，，則BC的值為（）A．1 B． C． D．2【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PBP'＝60°，BP＝BP'，∠BPA＝∠BP'A'＝120°，AP＝A'P'，AB＝A'B＝2BC，∠A'BP'＝∠ABP，可證CP+PP'+A'P'＝CP+PB+AP＝A'C＝，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解．【解答】解：如圖，將△BPA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP'A'，連接PP'，過點A'作A'N⊥BC，交CB的延長線于N，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，由旋轉(zhuǎn)可得：∠PBP'＝60°，BP＝BP'，∠BPA＝∠BP'A'＝120°，AP＝A'P'，AB＝A'B＝2BC，∠A'BP'＝∠ABP，∴△BPP'是等邊三角形，∴BP＝BP'＝PP'，∠BPP'＝∠BP'P＝60°，∵∠BPC+∠BPP'＝180°，∠BP'A'+∠BP'P＝180°，∴點C，點P，點P'三點共線，點P，點P'，點A'三點共線，∴點C，點P，點P'，點A'四點共線，∴CP+PP'+A'P'＝CP+PB+AP＝A'C＝，∵∠A'BC＝∠A'BP'+∠PBP'+∠PBC＝∠ABP+∠PBC+60°＝120°，∴∠A'BN＝60°，∵AN⊥BN，∴∠BA'N＝30°，∴BN＝A'B＝BC，AN＝BN＝BC，∵A'C2＝CN2+A'N2，∴21＝4BC2+3BC2，∴BC＝（負值舍去），故選：C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）下列關(guān)于數(shù)字變換的圖案中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解即可．【解答】解：A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：A．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．解題的關(guān)鍵是軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．5．（2022?甌海區(qū)校級自主招生）如圖，將△ABC沿DE折疊，使點A與BC邊的中點F重合，下列結(jié)論中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四邊形ADEF＝AF?DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】設(shè)AF與DE相交于點G，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠DAE＝∠DFE，DE是AF的垂直平分線，AE＝EF，根據(jù)已知可得EF不是△ABC的中位線，即可判斷①，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，即可判斷②，根據(jù)S四邊形ADEF＝S△ADF+S△AEF，即可判斷③，然