中考數(shù)學二輪復習沖刺第14講 特殊的四邊形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第14講特殊的四邊形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.會識別矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)，會用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定解決問題．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)和判定，會用性質(zhì)和判定解決實際問題【知識導圖】【考點梳理】考點一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對角線矩形對邊平行且相等四個角是直角相等且互相平分①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對稱圖形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形中心對稱圖形正方形四條邊相等四個角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對角線垂直的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形4、對角線相等的菱形是正方形中心、軸對稱等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3、對角線相等的梯形是等腰梯形.軸對稱圖形考點二、中點四邊形相關(guān)問題中點四邊形的概念：把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．若中點四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直；若中點四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對角線相等；若中點四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直且相等．考點三、重心1.線段的中點是線段的重心；三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的2倍.平行四邊形對角線的交點是平行四邊形的重心?！镜湫屠}】題型一、特殊的平行四邊形的應用例1.如圖，設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF、再以對角線AE為邊作笫三個正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的邊長記為a1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，…，an，則an=___________．【變式】長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當n=3時，a的值為________．第一次操作第二次操作第一次操作第二次操作例2．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=6，BD=8，點P是AC延長線上的一個動點，過點P作PE⊥AD，垂足為E，作CD延長線的垂線，垂足為E，則|PE﹣PF|=．題型二、梯形的應用例3．如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．（1）若點F與B重合，求CE的長；（2）若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長；（3）設CE=x，BF=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出結(jié)果可）．【變式】如圖為菱形ABCD與正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD與GH相交于I點，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，則梯形HEDI的面積為（）.Ａ．Ｂ．Ｃ．10-Ｄ．10+題型三、特殊四邊形與其他知識結(jié)合的綜合運用例4.正方形ABCD邊長為2，點E在對角線AC上，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，連接AF，EF．（1）證明：AC⊥AF；（2）設AD2=AE×AC，求證：四邊形AEDF是正方形；（3）當E點運動到什么位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，最小值是多少？例5．如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．

（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；

（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担?.如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4cm，3cm，設正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．

（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當y=3時相應x的值；

（2）記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1-S2是常數(shù)；

（3）當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長．【變式】如圖，E是矩形ABCD邊BC的中點，P是AD邊上一動點，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分別為F，H．

（1）當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PHEF是矩形？請予以證明；

（2）在（1）中，動點P運動到什么位置時，矩形PHEF變?yōu)檎叫?？為什么?/p>

【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共6小題）1．（2022?鄂爾多斯）如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過點C，且點G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長為（）A． B． C． D．32．（2022?廣州）如圖，正方形ABCD的面積為3，點E在邊CD上，且CE＝1，∠ABE的平分線交AD于點F，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（）A． B． C．2﹣ D．3．（2022?紹興）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)是對角線BD上的動點，且BE＝DF，M，N分別是邊AD，邊BC上的動點．下列四種說法：①存在無數(shù)個平行四邊形MENF；②存在無數(shù)個矩形MENF；③存在無數(shù)個菱形MENF；④存在無數(shù)個正方形MENF．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022?隨州）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，AP⊥EF分別交BD，EF于O，P兩點，M，N分別為BO，DO的中點，連接MP，NF，沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板．則在剪開之前，關(guān)于該圖形，下列說法正確的有（）①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②四邊形MPEB是菱形；③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的．A．只有① B．①② C．①③ D．②③5．（2022?湘西州）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面積為32，則CD的長為（）A．4 B．4 C．8 D．86．（2022?綿陽）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5+，則四邊形EFGH的周長為（）A．4（2+） B．4（+1） C．8（+） D．4（++2）二．填空題（共9小題）7．（2022?青海）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線交AD，BC于點E，F(xiàn)，若AB＝3，BC＝4，則圖中陰影部分的面積為．8．（2022?遼寧）如圖，CD是△ABC的角平分線，過點D分別作AC，BC的平行線，交BC于點E，交AC于點F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長是．9．（2022?西寧）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，點E在AB邊上，AE＝5．若點P是矩形ABCD邊上一點，且與點A，E構(gòu)成以AE為腰的等腰三角形，則等腰三角形AEP的底邊長是．10．（2022?攀枝花）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．且點A在△BCF內(nèi)部．給出以下結(jié)論：①四邊形ADFE是平行四邊形；②當∠BAC＝150°時，四邊形ADFE是矩形；③當AB＝AC時，四邊形ADFE是菱形；④當AB＝AC，且∠BAC＝150°時，四邊形ADFE是正方形．其中正確結(jié)論有（填上所有正確結(jié)論的序號）．11．（2022?營口）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，只需添加一個條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個條件可以是．（寫出一個即可）12．（2022?吉林）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是邊AD的中點，點F在對角線AC上，且AF＝AC，連接EF．若AC＝10，則EF＝．13．（2022?甘肅）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形ABCD成為一個矩形，只需添加的一個條件是．14．（2022?海南）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，則∠AEB＝°；若△AEF的面積等于1，則AB的值是．15．（2022?黔東南州）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點C落在點E處，分別延長ME、DE交AB于點F、G，若點M是BC邊的中點，則FG＝cm．三．解答題（共10小題）16．（2022?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．（1）求證：四邊形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．17．（2022?聊城）如圖，△ABC中，點D是AB上一點，點E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F．（1）求證：AD＝CF；（2）連接AF，CD．如果點D是AB的中點，那么當AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．18．（2022?廣元）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結(jié)CE．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．19．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB邊上一點，以BD為直徑的半圓O與邊AC相切，切點為E，過點O作OF⊥BC，垂足為F．（1）求證：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的長．20．（2022?邵陽）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求證：四邊形AECF是正方形．21．（2022?涼山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長．22．（2022?巴中）如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，延長EC至點G，使CG＝CE，連接DG、DE、FG．（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求證：四邊形DEFG是矩形．23．（2022?六盤水）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是矩形？請寫出證明過程．24．（2022?泰州）如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線．（1）求證：AF與DE互相平分；（2）當線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形ADFE為矩形？請說明理由．25．（2022?德陽）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于點H．點F從點B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點D勻速運動，同時，點E從點H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點D勻速運動．設點E，F(xiàn)的運動時間為t（單位：s），且0＜t＜3，過F作FG⊥BC于點G，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）連結(jié)FC，EC，點F，E在運動過程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．

【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共8小題）1．（2023?蓮湖區(qū)一模）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．當AB＝BC時，它是菱形 B．當AC⊥BD時，它是菱形 C．當AC＝BD時，它是矩形 D．當AC垂直平分BD時，它是正方形2．（2023?三江縣校級一模）如圖，∠BDE＝90°，正方形BEGC和正方形AFED的面積分別是289和225，則以BD為直徑的半圓的面積是（）A．16π B．8π C．4π D．2π3．（2023?未央?yún)^(qū)校級三模）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，則這個菱形的面積是（）A．48 B．40 C．24 D．204．（2023?漢陽區(qū)校級一模）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝60°，過點B作BE⊥AB交CD于點E，連接AE，F(xiàn)為AE的中點，H為BE的中點，連接FH和CF，CF交BE于點G，則GF的長為（）A．3 B． C．2 D．5．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，且互相平分．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD6．（2023?碑林區(qū)校級一模）四邊形不具有穩(wěn)定性．四條邊長都確定的四邊形，當內(nèi)角的大小發(fā)生變化時，其形狀也隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，使正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′與正方形ABCD的面積之比是（）A． B． C． D．17．（2023?深圳模擬）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，已知∠ACB＝25°，則∠AOB的大小是（）A．130° B．65° C．50° D．25°8．（2023?孟村縣校級一模）在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD二．填空題（共8小題）9．（2023?福安市一模）如圖平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且OA＝OB，∠OAD＝65°．則∠ODC＝．10．（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E在線段BO上，連接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，則線段AE的長為．11．（2023?定遠縣校級一模）七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．（清）陸以活《冷廬雜識》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之．如圖是一個用七巧板拼成裝飾圖，放入長方形ABCD內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，三角形①的邊GD在AD上，則＝．12．（2023?蓮湖區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線交于O，且對角線AC＝12，tan∠OCD＝，點E是邊AB的中點，則OE＝．13．（2023?秦都區(qū)校級模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，點P為線段AC上的一個動點．過點P分別作PM⊥AD于點M，作PN⊥DC于點N．連接PB，在點P運動過程中，PM+PN+PB的最小值等于．14．（2023?嶗山區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，連接BD，過點C作∠DBC平分線BE的垂線，垂足為點E，且交BD于點F；過點C作∠BDC平分線DH的垂線，垂足為點H，且交BD于點G，連接HE，若BC＝2，CD＝，則線段HE的長度為．15．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，已知邊長為2的正方形ABCD外有一個點E，過點E作直線BC的垂線，垂足為F，連接AE．若，則AE的最小值是．16．（2023?榆林一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點E、F分別在邊AB、CD上，點M為線段EF上一動點，過點M作EF的垂線分別交邊AD、BC于點G、點H．若線段EF恰好平分矩形ABCD的面積，且DF＝1，則GH的長為．三．解答題（共9小題）17．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，點E，F(xiàn)分別是OB，OC上的點，且OE＝OF，連接AE，DF．求證：∠EAD＝∠FDA．18．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，點P為菱形ABCD對角線BD上一點，點E在邊AD上，連接PA、PC、PE，且∠AEP＝∠DCP．求證：PC＝PE．19．（2023?雁塔區(qū)校級二模）如圖，在菱形ABCD中，過點D分別作DE⊥AB于點E，作DF⊥BC于點F．求證：AE＝CF．20．（2023?深圳模擬）如圖，已知△ABC中，D是BC邊上一點，過點D分別作DE∥AC交AB于點E，作DF∥AB交AC于點F，連接AD．（1）下列條件：①D是BC邊的中點；②AD是△ABC的角平分線；③點E與點F關(guān)于直線AD對稱．請從中選擇一個能證明四邊形AEDF是菱形的條件，并寫出證明過程；（2）若四邊形AEDF是菱形，且AE＝2，CF＝1，求BE的長．21．（2023?黔江區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是AD上一點，連接EO并延長，交BC于點F．連接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四邊形AFCE的面積．22．（2023?市南區(qū)一模）已知：如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC上一點，過點E作對角線AC的平行線，交AB于F，交DA和DC的延長線于點G，H．（1）求證：△AFG≌△CHE；（2）若∠G＝∠BAC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．23．（2023?嶗山區(qū)一模）已知：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD，BC于點E，F(xiàn)，作BH⊥AF于點H，分別交AC，CD于點G，P，連接GE，GF．（1）求證：△OAE≌△OBG；（2）判斷四邊形BFGE是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．24．（2023?未央?yún)^(qū)校級三模）如圖1，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B分別在y軸，x軸上，當B在x軸上運動時，A隨之在y軸上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2．（1）取AB的中點E，連接OE，DE，求OE+DE的值．（2）如圖2，若以AB為邊長在第一象限內(nèi)作等邊三角形△ABP，運動過程中，點P到原點的最大距離是多少？25．（2023?青島模擬）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AE＝AC．（1）求證：AB＝AF；（2）若∠ACB＝30°，連接AG，判斷四邊形AGCD是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論．

【名校自招練】一．選擇題（共7小題）1．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，四邊形ABCD是菱形，E、F分別是BC、CD兩邊上的點，添加一個條件，不能判定△ABE≌△ADF的是（）A．EC＝FC B．AE＝AF C．∠BAF＝∠DAE D．BE＝DF2．（2022?渝北區(qū)自主招生）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E在邊BC上，連接AE，OE．若∠CAE＝∠OBE，OE＝2，CE＝，則邊AB的長為（）A． B． C． D．53．（2022?南陵縣自主招生）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形，底面正方形的邊長與側(cè)面等腰三角形底邊上的高的比值是，它介于整數(shù)n和n+1之間，則n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022?工業(yè)園區(qū)校級自主招生）如圖，在矩形ABCD中，