《工程力學》課件第3章

項目三摩擦問題3.1任務引入

3.2解決任務的方法

3.3相關知識點介紹

3.4知識拓展——斜面與螺紋的自鎖

【教學提示】本項目主要解決摩擦問題的分類以及不同摩擦問題的解題步驟和要點?？刹捎梅纸M討論與問題式教學相結合的方法，并結合實物及實驗加以理解。

【學習目標】正確理解摩擦、自鎖的概念，熟練掌握摩擦問題的分類以及不同摩擦問題的解題步驟和要點。

在前面研究物體平衡問題時，總是假定物體的接觸面是完全光滑的，將摩擦忽略不計。

實際上完全光滑的接觸面并不存在。在許多工程問題中，摩擦對構件的平衡和運動起著主要作用，因此必須考慮。例如圖3-1所示，人們攀登電線桿時所用的腳套鉤使人不致下滑的條件是什么？3.1任務引入

圖3-1腳套鉤

解決這類問題，我們首先要正確理解摩擦的類型，其次對不同類型摩擦問題列出相應的方程，最后結合前面力系的平衡方程解決摩擦問題。3.2解決任務的方法

模塊一滑動摩擦

(一)摩擦的概念及分類

摩擦是一種普遍存在于機械運動中的自然現象，人的行走、車的行駛、機械的運轉無一不存在摩擦。例如，制動器靠摩擦制動，帶輪靠摩擦傳遞動力，車床卡盤靠摩擦夾固工件等，都是摩擦有用的一面。摩擦也有其有害的一面，如帶來阻力、消耗能量、加劇磨損、縮短機器壽命等。因此，研究摩擦是為了掌握摩擦的一般規(guī)律，利用其有用的—面，而限制或消除其有害的一面。3.3相關知識點介紹

摩擦按照物體表面相對運動情況，可分為滑動摩擦和滾動摩擦兩類。滑動摩擦是指兩物體接觸面作相對滑動或具有相對滑動趨勢時的摩擦，所以滑動摩擦又分為動滑動摩擦和靜滑動摩擦兩種情況。滾動摩擦是一個物體在另一個物體上滾動時的摩擦，例如輪子在軌道上滾動。在這里主要討論滑動摩擦中的靜滑動摩擦。

(二)滑動摩擦分析

摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對滑動的趨勢或相對滑動的方向相反，它的大小根據主動力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動摩擦力，最大靜摩擦力和動滑動摩擦力。

進行圖3-2(a)所示的實驗：在粗糙的水平面上放置一重W的物體，在其左側施加F推力。

圖3-2滑動摩擦物體在主動力W、F的共同作用下，使它與接觸面產生法向約束力FN和與F方向相反的滑動摩擦力Ff，此時物體會處于圖(b)、(c)、(d)三種不同的狀態(tài)之一。

(1)如圖3-2(b)所示，當F由零值逐漸增加但不是很大時，物體仍保持靜止，支承面對物體除有法向約束反力FN外，還有一個阻礙物體沿水平面向右滑動的切向力，此力即為靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力，以Ff表示，方向向左。可見，靜摩擦力就是接觸面對物體作用的切向約束反力，它的方向與物體相對滑動趨勢相反，它的大小需用平衡條件確定。此時有

∑Fx＝0,Ff＝F

可見，靜摩擦力的大小隨推力F的增大而增大，這是靜摩擦力和一般約束反力共同的性質。

(2)如圖3-2(c)所示，當力F的大小達到一定數值時物體處于將要滑動，但尚未開始滑動的臨界狀態(tài)。這時，力F再增大一點，物體將開始滑動。當物體處于平衡的臨界狀態(tài)時，靜摩擦力達到最大值，即為最大靜滑動摩擦力，簡稱為最大靜摩擦力，以Ffmax表示。此后，如果F再繼續(xù)增大，靜摩擦力不再隨之增大，物體將失去平衡而滑動。

靜摩擦力的大小隨主動力的情況而改變，但介于零和最大值之間，即

0≤Ff≤Ffmax

(3-1)

實驗證明：最大靜摩擦力的大小與兩種物體間的正壓力(即法向反力)成正比，即

Ffmax＝fsFN (3-2)

式中，FN為接觸面間的正壓力；fs為靜滑動摩擦因數，簡稱靜摩擦因數，它的大小與兩物體接觸面間的材料及表面情況(表面粗糙度、干濕度、溫度等)有關。常用材料的靜摩擦因數fs見表3-1。

表3-1常用材料的摩擦因數

(3)如圖3-2(d)所示，當滑動摩擦力已達到最大值時，主動力再繼續(xù)增加，接觸面之間將出現相對滑動，此時接觸物體之間仍有阻礙相對滑動的阻力，這種阻力稱為動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力，以F'f表示。實驗表明：動摩擦力的大小與接觸體間的正壓力成正比，即

F'f＝fFN (3-3)

式中，f是動摩擦因數，其大小與接觸物體材料和表面情況有關。動摩擦力與靜摩擦力不同，沒有變化范圍。通常動摩擦因數小于靜摩擦因數。

實際上動摩擦因數還與接觸物體間相對滑動的速度大小有關，不同材料的物體，動摩擦因數隨相對滑動速度變化也不同，當滑動速度不大時，動摩擦因數可近似認為是個常數。常用材料的動摩擦因數見表3-1。

綜上所述：當F＝0時，Ff＝0；當0＜Ff＜Ffmax時，物體平衡；當F＝Ffmax時，物體處于臨界平衡狀態(tài)；當F>Ffmax時，物體滑動。

摩擦定律給我們指出了利用和減小摩擦的途徑，即可從影響摩擦力的摩擦因數與正壓力入手。例如，一般車輛以后輪為驅動輪，故設計時應使重心靠近后輪，增加后輪的正壓力。車胎上的各種紋路，是為了增加摩擦因數，提高車輪與路面的附著能力。如帶傳動中，用張緊輪或V型帶增加正壓力以增加摩擦力；通過減小接觸表面粗糙度、加入潤滑劑來減小摩擦因數以減小摩擦力等，都是合理利用靜滑動摩擦的工程實例。

(三)摩擦角和自鎖

1.摩擦角

考察如圖3-3(a)所示物塊的受力，物塊重為P。當物塊有相對運動趨勢時，支承面對物塊的法向反力FN和摩擦力Ff可合成為一個合力FRA＝FN＋Ff，稱為支承面的全反力。記全反力與接觸面公法線所夾角度為

。由于FN＝－P為常量，故FR與

隨摩擦力Ff的變化而變化。

圖3-3摩擦角和摩擦錐當物塊處于平衡的臨界狀態(tài)時，靜摩擦力達到最大值Ffmax，夾角

也達到最大值

m。全反力與法線間夾角的最大值

m稱為摩擦角，如圖3-3(b)所示?？梢?/p>

(3-4)

即摩擦角的正切等于靜摩擦因數。因此

m與fs都是表示材料摩擦性質的物理量。

由于物塊可以在切平面上沿任意方向滑動，因此每個方向的滑動都可以找到一條與摩擦角對應的全反力的作用線。所有方向的全反力作用線在空間形成一個錐形，稱為摩擦錐，如圖3-3(c)所示。若物塊與支承面沿任何方向的靜摩擦因數均相同，即摩擦角相同，則摩擦錐將是一個頂角為2

m的正圓錐面。

2.自鎖

考察如圖3-4(a)所示的物塊在有摩擦力存在時其平衡與運動的可能性。設作用在物體上的各主動力的合力用FR表示，FR與法線間夾角為

。當物體處于平衡狀態(tài)時，主動力合力FR與全反力FRA應等值、反向、共線，則有

＝

。而物體平衡時，全約束力作用線不可能超出摩擦錐，即

≤

m(如圖3-4(a)、(b)所示)。因此物塊平衡時必有

≤

m，否則，物塊將處于運動狀態(tài)(如圖3-3(c)所示)。

圖3-4自鎖與不自鎖現象上述討論表明，當主動力合力的作用線落在摩擦角(錐)之內或與其邊界重合時，則不論此合力有多大，總有全反力與之平衡，物塊必保持靜止。這種現象稱為自鎖現象。反之，當主動力合力的作用線落在摩擦角(錐)之外時，則不論此合力有多小，物塊也必會運動。

自鎖現象在工程實際中有重要的應用，如千斤頂、壓榨機、圓錐銷等機械和夾具就是利用自鎖原理，使它們始終保持在平衡狀態(tài)下工作。但有時卻要避免自鎖發(fā)生，如水閘門的自動啟閉，變速機構中的齒輪滑移等，都不允許發(fā)生自鎖(也稱卡死)現象。值得注意的是，在靜摩擦力達到最大值的所有問題中，都存在自鎖或不自鎖問題。模塊二滾動摩擦簡介

由經驗可知，當搬動重物時，若在重物底下墊上輥軸，比放在地面上推動要省力得多。這說明用滾動代替滑動所受到的阻力要小得多。車輛用車輪、機器中用滾動軸承代替滑動，就是這個道理。

滾動比滑動要省力得多，工程實際中也是如此。原因是滾動的阻力比滑動的阻力要小得多。我們考察圖3-5中輪子的滾動，假設輪子重為Q，半徑為r，與水平面的接觸點為A，輪子作用一水平推力P，當推力較小時，輪子不會滑動，也不會轉動。對輪子做受力分析，見圖3-5(a)，接觸面正反力N與重力Q等值反向；靜摩擦力F與推力P也等值反向。但是，從圖中可以看出，光有這些力并不能使輪子達到平衡，因為這些力中，靜摩擦力F與推力P構成了一對力偶，他們產生的轉動效應需要一個反向力偶矩來平衡。這個力偶矩的產生可以這樣分析：由于接觸面并非理想光滑，輪子在F與P構成的力偶作用下具有轉動的趨勢，粗糙的接觸面由于輪子的壓迫會產生一定的變形，參見圖3-5(b)，此時輪子與接觸面不是一個點接觸，而是沿AB段圓弧接觸，輪子在AB段承受的是平面任意力系，它們可以簡化成一個主矢量R，但是該主矢量并不是作用在A點，見圖3-5(c)，主矢量R的兩個分量就是正反力和靜摩擦力，其中正反力與A點的距離設為

。如果我們將正反力和靜摩擦力向A點簡化，此時，就要增加一力偶矩M＝N×

，如圖3-5(d)所示，這個力偶矩稱做最大滾動摩擦力偶矩，簡稱為滾阻力偶矩。它的作用就是阻礙輪子的轉動。

圖3-5滾動摩擦實驗表明，最大滾阻力偶矩與法向反力成正比，即

Mfmax＝

FN (3-5)

式(3-5)稱為滾動摩擦定律。式中，

是一個有長度單位的系數，稱為滾動摩擦因數。其數值取決于兩接觸物表面材料的性質及表面狀況。

顯然，當推力P對接觸點A的主動力矩超過最大滾動摩擦力偶矩時，輪子將開始轉動。

模塊三考慮摩擦時物體的平衡

考慮摩擦時物體的平衡問題，與不考慮摩擦時物體的平衡問題大體相同。不同的是在畫受力圖時要畫出摩擦力，摩擦力的方向總是與物體有相對滑動趨勢的方向相反，它的大小又在一定的范圍內變化。因此，解決其平衡問題時，要按兩類情況來考察：

(1)物體處于臨界平衡狀態(tài)，F＝Ffmax。

(2)物體處于靜止狀態(tài)，此時摩擦力在一定范圍內變化，即0＜Ff＜Ffmax。

當物體處于不同狀態(tài)時，應采用不同的分析方法。下面分別舉例說明處于這兩種情況的物體平衡問題的解法。

例3-1

如圖3-6(a)所示的梯子長AB＝1，重W1＝100N，靠在光滑的墻壁上。梯腳與地面間的摩擦因數為f＝0.4。問當梯子與地面間的夾角為多大時，重為W2＝700N的人才能爬到梯頂而梯子不滑倒？

解對于圖示梯子來說，顯然是梯子與地面間的夾角越小，就越容易向左滑動。依題意，是求使梯子不滑倒時的最小傾角

＝

min，這是一個考慮梯子處于臨界平衡狀態(tài)時的平衡問題。

(1)以梯子為研究對象，畫受力圖如圖3-6(b)所示。

(2)建立如圖所示坐標系，列方程并寫出靜摩擦定律表達式：

圖3-6梯子的受力分析

(3)聯解以上各式，求得

＝

min＝66.89°，即當

≥66.89°時，梯子不會滑倒。

例3-2

物體重P＝980N，放在一傾角

＝30°的斜面上。已知接觸面間的靜摩擦系數為fs＝0.20。有一大小為F＝588N的力沿斜面推物體如圖3-7(a)所示，問物體在斜面上處于靜止還是滑動狀態(tài)？若靜止，此時摩擦力多大？

解對于判斷物體狀態(tài)的這一類問題，可先假設物體處于靜止狀態(tài)，然后由平衡方程求出物體處于靜止狀態(tài)時所需的靜摩擦力Fs，并計算出可能產生的最大靜摩擦力Fmax，將兩者進行比較，確定力Fs是否滿足Fs≤Fmax，從而斷定物體是靜止的還是滑動的。

圖3-7斜面上物體受力分析

(1)設物體靜止但沿斜面有下滑的趨勢，則其受力圖及坐標系如圖3-7(b)所示。

(2)列平衡方程：

∑Fx＝0,F－Psin

＋Fs＝0

∑Fy＝0,FN－Pcos

＝0

解得

Fs＝Psin

－F＝980sin30°－588＝－98N

FN＝Pcos

＝980cos30°＝848.7N

(3)根據靜摩擦定律，可能產生的最大靜摩擦力為

Fmax＝fsFN＝0.2×848.7＝169.7N

將Fs與Fmax進行比較得

|Fs|＝98<169.7＝Fmax

結果說明物體在斜面上保持靜止。而此時靜摩擦力Fs為－98N，負號說明實際方向與假設方向相反，故物體沿斜面有上滑的趨勢。

例3-3

攀登電線桿時所用的腳套鉤如圖3-1所示。套鉤與桿接觸處A、B兩點間的摩擦因數均為fs。已知桿的直徑為d，套鉤高度尺寸為b，問人的腳踏處C距桿中心的距離l至少為多少時，人才不致下滑？

解本例只需要求解在平衡的臨界狀態(tài)下所對應的平衡位置(最小值)。

(1)取腳套鉤為研究對象，作受力圖如圖3-8所示。由于在人的重力作用下套鉤有下滑的趨勢，因此A、B兩點間的摩擦力方向均向上。在平衡的臨界狀態(tài)，兩摩擦力同時達到最大靜摩擦力的數值。圖3-8腳套鉤的受力分析

(2)由平衡方程及摩擦定律得

解得

①

由對AB中點D之矩為零，即

得

②

(3)由①、②兩式得

即

(4)由式②知，當l加大時，FNA(FNB)也增大，從而B(A)處的摩擦力也增大，平衡更安全。由此所得的臨界平衡狀態(tài)是l的下限，即

在如圖3-9所示存在摩擦力的斜面—物塊系統(tǒng)中，設物塊A重P，斜