2025屆湖北省荊州市公安縣第三中學(xué)高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆湖北省荊州市公安縣第三中學(xué)高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則（）A． B． C． D．2．如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江?。瓸．與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)．C．2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)D．去年同期河南省的GDP總量不超過(guò)4000億元．3．已知變量，滿(mǎn)足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項(xiàng)的和為.若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．6．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．637．在關(guān)于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離都是3，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足到的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．9．函數(shù)的最大值為，最小正周期為，則有序數(shù)對(duì)為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)的最小正周期為πB．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到11．已知不同直線、與不同平面、，且，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則12．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，且，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足遞推公式，且，則___________.14．某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：℃）依次為8，，，0，2，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿(mǎn)足，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為_(kāi)_____.16．已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求取得最大值時(shí)直線的直角坐標(biāo)方程.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn).將①，②，③中的兩個(gè)補(bǔ)充到已知條件中，解答下列問(wèn)題：（1）求平面將四棱錐分成兩部分的體積比；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若，求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線為，的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．20．（12分）以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，已知曲線，曲線（為參數(shù)），求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交曲線于兩點(diǎn)(在軸上方)，求的值.22．（10分）已知橢圓：的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（異于、兩點(diǎn)），當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，四邊形的面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線、的交點(diǎn)為；試問(wèn)的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減，對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以是減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，，所以，，所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò)；又，所以，所以C錯(cuò)；對(duì)于D，，所以，故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，兩個(gè)式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進(jìn)而得到大小關(guān)系.2、C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長(zhǎng)，所以其總量也實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：去年同期河南省的GDP總量，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了圖表分析，學(xué)生的分析能力，推理能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿(mǎn)足不等式組，畫(huà)出相應(yīng)圖形如下：可知點(diǎn),，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由已知先求出，即，進(jìn)一步可得，再將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，，所以，，顯然當(dāng)時(shí)，，故，，若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識(shí)，是一道較為綜合的數(shù)列題.5、A【解析】

若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．6、D【解析】

根據(jù)，得到，即，由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列，然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)?，所以?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.7、C【解析】

討論當(dāng)時(shí)，是否恒成立；討論當(dāng)恒成立時(shí)，是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，由開(kāi)口向上，則恒成立；當(dāng)恒成立時(shí)，若，則不恒成立，不符合題意，若時(shí)，要使得恒成立，則，即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問(wèn)題.對(duì)于探究?jī)蓚€(gè)命題的關(guān)系時(shí)，一般分成兩步，若，則推出是的充分條件；若，則推出是的必要條件.8、D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程，得到，進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值．設(shè)，則，化簡(jiǎn)得：，則，解得：，即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.9、B【解析】函數(shù)（為輔助角）∴函數(shù)的最大值為，最小正周期為故選B10、D【解析】

由可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，可判斷選項(xiàng)B；利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，所以B正確；當(dāng)時(shí)，，所以C正確；由的圖象向左平移個(gè)單位，得，所以D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí)，是一道中檔題.11、C【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于，若，則可能為平行或異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則可能為平行、相交或異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正確；對(duì)于，若，只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.12、A【解析】

根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得,利用及，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?所以，所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2020【解析】

可對(duì)左右兩端同乘以得，依次寫(xiě)出，，，，累加可得，再由得，代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有，從而，，，，將以上式子累加得.由得.令，有.故答案為：2020【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出這組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．【詳解】解：某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：依次為8，，，0，2，平均數(shù)為：，該組數(shù)據(jù)的方差為：，該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法，考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、1【解析】

由得時(shí)，，兩式作差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的和．【詳解】解：數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿(mǎn)足，①當(dāng)時(shí)，，②①-②得：，整理得：（常數(shù)），故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以（首項(xiàng)不符合通項(xiàng)），故，所以：，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

，所以有，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】由已知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問(wèn)題，采用的是“1”的替換，也可以消元等，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）曲線，曲線.（2）.【解析】

（1）用和消去參數(shù)即得的極坐標(biāo)方程；將兩邊同時(shí)乘以，然后由解得直角坐標(biāo)方程.（2）過(guò)極點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為，代入到和：中，表示出即可求解.【詳解】解：由和，得，化簡(jiǎn)得故：將兩邊同時(shí)乘以，得因?yàn)?，所以得的直角坐?biāo)方程.（2）設(shè)直線的極坐標(biāo)方程由，得，由，得故當(dāng)時(shí)，取得最大值此時(shí)直線的極坐標(biāo)方程為：，其直角坐標(biāo)方程為：.【點(diǎn)睛】考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程中的幾何意義求距離的的最大值方法；中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面，從而有，結(jié)合，可得平面，故有，而，得到，②③成立與①②相同，①③成立，可得，所以任意補(bǔ)充兩個(gè)條件，結(jié)果都一樣，以①②作為條件分析;（1）設(shè)，可得，進(jìn)而求出梯形的面積，可求出，即可求出結(jié)論；（2），以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，由（1）得為平面的法向量，根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況：若將①，②作為已知條件，解答如下：（1）設(shè)平面為平面.∵，∴平面，而平面平面，∴，又為中點(diǎn).設(shè)，則.在三角形中，，由知平面，∴，∴梯形的面積，，，平面，，，∴，故，.（2）如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）得為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況：若將①，③作為已知條件，則由知平面，，又，所以平面，，又，故為中點(diǎn)，即，解答如上不變.第三種情況：若將②，③作為已知條件，由及第二種情況知，又，易知，解答仍如上不變.【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，以及體積、直線與平面所成的角，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.19、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）直接求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線方程，得其與軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，求出直線和的方程，從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，證明此交點(diǎn)在橢圓上，即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程．代入驗(yàn)證即可．注意分和說(shuō)明．【詳解】解：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合，（1）由題知，，則．因?yàn)?，所以，則直線的方程為，聯(lián)立，可得故．則，直線的方程為．令，得，故直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）證明：因?yàn)椋裕O(shè)點(diǎn)，則．設(shè)當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)直線與軸垂直，其直線方程為，直線的方程為，即．在方程中，令，得，得交點(diǎn)為，顯然在橢圓上．同理當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)也在橢圓上．當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，即．直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得，化簡(jiǎn)并解得．將代入中，化簡(jiǎn)得．所以?xún)芍本€的交點(diǎn)為．因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，則，所以點(diǎn)在橢圓上．綜上所述，直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相交問(wèn)題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線．本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．20、【解析】

利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程，參數(shù)方程與普通方程間的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是