湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校2025屆高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷含解析

湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校2025屆高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．82．函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．設，集合，則（）A． B． C． D．5．復數(shù)的共軛復數(shù)記作，已知復數(shù)對應復平面上的點，復數(shù):滿足.則等于（）A． B． C． D．6．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．157．已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內的圖象是()A． B．C． D．8．數(shù)學中的數(shù)形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的結合產物，曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結論：①曲線C經(jīng)過5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2；③曲線C圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結論的序號是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④9．若P是的充分不必要條件，則p是q的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件10．如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（）A． B． C． D．11．已知復數(shù)，為的共軛復數(shù)，則（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某部門全部員工參加一項社會公益活動，按年齡分為三組，其人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，若組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該部門員工總人數(shù)為__________.14．“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈．”其白話意譯為：“現(xiàn)有一善織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個月（按30天計算）共織布390尺．”則每天增加的數(shù)量為____尺，設該女子一個月中第n天所織布的尺數(shù)為，則______．15．實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為__________.16．在中，角，，的對邊分別是，，，若，，則的面積的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）中國古建筑中的窗飾是藝術和技術的統(tǒng)一體，給人于美的享受．如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一扇窗中的一格，呈長方形，長30cm，寬26cm，其內部窗芯（不含長方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個菱形和六根支條構成，整個窗芯關于長方形邊框的兩條對稱軸成軸對稱．設菱形的兩條對角線長分別為xcm和ycm，窗芯所需條形木料的長度之和為L．（1）試用x，y表示L；（2）如果要求六根支條的長度均不小于2cm，每個菱形的面積為130cm2，那么做這樣一個窗芯至少需要多長的條形木料（不計榫卯及其它損耗）？18．（12分）在數(shù)列中，已知，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：.19．（12分）如圖，在三棱錐中，，，側面為等邊三角形，側棱.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐外接球的體積.20．（12分）設，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）設函數(shù).①若，試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點；②求證：對任意的，直線都不是的切線；（2）設函數(shù)，試判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.21．（12分）某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組（所調查的芯片得分均在內），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分數(shù)的平均數(shù)（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試，該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分，手機公司將認定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續(xù)測試，現(xiàn)手機公司測試部門預算的測試經(jīng)費為10萬元，試問預算經(jīng)費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．22．（10分）設點，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點，是直線上的兩點，且，，求四邊形面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結構特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．2、B【解析】

對分類討論，當，函數(shù)在單調遞減，當，根據(jù)對勾函數(shù)的性質，求出單調遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】當時，函數(shù)在上單調遞減，所以，的遞增區(qū)間是，所以，即.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)單調性，熟練掌握簡單初等函數(shù)性質是解題關鍵，屬于基礎題.3、A【解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵．4、B【解析】

先化簡集合A,再求.【詳解】由得：，所以，因此，故答案為B【點睛】本題主要考查集合的化簡和運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.5、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的幾何意義得出復數(shù)，進而得出，由得出可計算出，由此可計算出.【詳解】由于復數(shù)對應復平面上的點，，則，，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)模的計算，考查了復數(shù)的坐標表示、共軛復數(shù)以及復數(shù)的除法，考查計算能力，屬于基礎題.6、B【解析】，∴，選B．7、A【解析】

由題知，利用求出，再根據(jù)題給定義，化簡求出的解析式，結合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，所以的周期為，則，所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關鍵是對新定義的理解.8、B【解析】

利用基本不等式得，可判斷②；和聯(lián)立解得可判斷①③；由圖可判斷④.【詳解】，解得（當且僅當時取等號），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線C相切于點，，，，則①和③都錯誤；由，得④正確.故選：B.【點睛】本題考查曲線與方程的應用，根據(jù)方程，判斷曲線的性質及結論，考查學生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.9、B【解析】

試題分析：通過逆否命題的同真同假，結合充要條件的判斷方法判定即可．由p是的充分不必要條件知“若p則”為真，“若則p”為假，根據(jù)互為逆否命題的等價性知，“若q則”為真，“若則q”為假，故選B．考點：邏輯命題10、A【解析】

作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當且僅當重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內的直線所成角,故,當且僅當平面時取等號.故.故選：A【點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.11、C【解析】

求出，直接由復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù).【詳解】.故選：C【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算，共軛復數(shù)，屬于基礎題.12、D【解析】

根據(jù)點差法得，再根據(jù)焦點坐標得，解方程組得，，即得結果.【詳解】設雙曲線的方程為，由題意可得，設，，則的中點為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得C組中的人數(shù)；由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總人數(shù)，即可由各組人數(shù)比求得總人數(shù).【詳解】三組人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，則三組抽取人數(shù)分別.設組有人，則組中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為：60.【點睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應用，古典概型概率的簡單應用，由各層人數(shù)求總人數(shù)的應用，屬于基礎題.14、52【解析】

設從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項公式能求出.【詳解】設從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,

則,

解得,即每天增加的數(shù)量為，

，故答案為，52.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和公式，意在考查利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.15、10【解析】

畫出可行域，根據(jù)目標函數(shù)截距可求.【詳解】解：作出可行域如下：由得，平移直線，當經(jīng)過點時，截距最小，最大解得的最大值為10故答案為：10【點睛】考查可行域的畫法及目標函數(shù)最大值的求法，基礎題.16、【解析】

化簡得到，，根據(jù)余弦定理和均值不等式得到，根據(jù)面積公式計算得到答案.【詳解】，即，，故.根據(jù)余弦定理：，即.當時等號成立，故.故答案為：.【點睛】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，均值不等式，面積公式，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：（1）由條件可先求水平方向每根支條長，豎直方向每根支條長為，因此所需木料的長度之和L=（2）先確定范圍由可得，再由面積為130cm2，得，轉化為一元函數(shù)，令，則在上為增函數(shù)，解得L有最小值．試題解析：（1）由題意，水平方向每根支條長為cm，豎直方向每根支條長為cm，菱形的邊長為cm．從而，所需木料的長度之和L=cm．（2）由題意，，即，又由可得．所以．令，其導函數(shù)在上恒成立，故在上單調遞減，所以可得．則=．因為函數(shù)和在上均為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故當，即時L有最小值．答：做這樣一個窗芯至少需要cm長的條形木料．考點：函數(shù)應用題18、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）由已知變形得到，從而是等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的通項公式計算即可；（2）先求出數(shù)列的通項，再利用裂項相消法求出即可.【詳解】（1）由已知，，即，又，則數(shù)列是以1為首項3為公差的等差數(shù)列，所以，即.（2）因為，則，所以，又是遞增數(shù)列，所以，綜上，.【點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列通項公式、裂項相消法求數(shù)列的和，考查學生的計算能力，是一道基礎題.19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）設中點為，連接、，利用等腰三角形三線合一的性質得出，利用勾股定理得出，由線面垂直的判定定理可證得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）先確定三棱錐的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半徑，再由球體的體積公式可求得結果.【詳解】（1）設中點為，連接、，因為，所以.又，所以，又由已知，，則，所以，.又為正三角形，且，所以，因為，所以，，，平面，又平面，平面平面；（2）由于是底面直角三角形的斜邊的中點，所以點是的外心，由（1）知平面，所以三棱錐的外接球的球心在上.在中，的垂直平分線與的交點即為球心，記的中點為點，則.由與相似可得，所以.所以三棱錐外接球的體積為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了三棱錐外接球體積的計算，找出外接球球心的位置是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1）①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點；②證明見解析；（2）且；【解析】

（1）①令，結合函數(shù)零點的判定定理判斷即可；②設切點橫坐標為，求出切線方程，得到，根據(jù)函數(shù)的單調性判斷即可；（2）求出的解析式，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，確定的范圍即可．【詳解】解：（1）①當時，函數(shù)，令，，則，，故，又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線，故函數(shù)在區(qū)間上有零點，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點；②證明：假設存在，使得直線是曲線的切線，切點橫坐標為，且，則切線在點切線方程為，即，從而，且，消去，得，故滿足等式，令，所以，故函數(shù)在和上單調遞增，又函數(shù)在時，故方程有唯一解，又，故不存在，即證；（2）由得，，，令，則，，當時，遞減，故當時，，遞增，當時，，遞減，故在處取得極大值，不合題意；時，則在遞減，在，遞增，①當時，，故在遞減，可得當時，，當時，，，易證，令，，令，故，則，故在遞增，則，即時，，故在，內存在，使得，故在，上遞減，在，遞增，故在處取得極小值．②由（1）知，，故在遞減，在遞增，故時，，遞增，不合題意；③當時，，當，時，，遞減，當時，，遞增，故在處取極小值，符合題意，綜上，實數(shù)的范圍是且．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，屬于難題．21、（1）（2）預算經(jīng)費不夠測試完這100顆芯片，理由見解析【解析】

（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評測分數(shù)的平均數(shù)；（2）先求出每顆芯片的測試費用的數(shù)學期望，再比