2024-2025學(xué)年山東省淄博市高三上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省淄博市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.16 D.32【正確答案】B【分析】由條件確定結(jié)合中的元素，由此可得集合的子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：B.2.已知是虛數(shù)單位，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出的值，再利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，且，則，解得，所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.在內(nèi)，使的的取值范圍是（

）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】在同一坐標(biāo)系作函數(shù)以及的圖象即可求解.【詳解】以及的圖象如上圖，由圖可知，；故選：A.4.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，即可得到本題的答案．【詳解】解：根據(jù)，可得，由是上的增函數(shù)，可得，即．因?yàn)?，是上的增函?shù)，所以，可得，又因?yàn)?，可得，所以，可得．綜上所述，，故選：D．5.在等比數(shù)列中，若為一確定的常數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，則下列各數(shù)為常數(shù)的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】為一確定的常數(shù)，則為常數(shù)，再將表達(dá)為的關(guān)系，從而判斷．【詳解】在等比數(shù)列中，設(shè)公比為，則，若為一確定的常數(shù)，則為一確定的常數(shù)，又∵，，，，∴為常數(shù).故選：D.6.在中，已知，且滿足，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【正確答案】C【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理得，再根據(jù)向量數(shù)量積得，則得到，即可判斷三角形形狀.【詳解】由題意得，即，由正弦定理得，即，則，因?yàn)?，所以，又，所?故，因?yàn)?，所以．綜上可知三角形為等邊三角形．故選：C.7.若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A.2 B. C.4 D.【正確答案】C【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.8.設(shè)函數(shù)，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意，分和兩種情況討論，分離參數(shù)求最值，即可得答案．【詳解】解：由題意，當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，所以；當(dāng)時(shí)，，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，所以.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是等差數(shù)列 B.，，成等差數(shù)列，公差為C.當(dāng)或時(shí)，取得最大值 D.時(shí)，的最大值為32【正確答案】AC【分析】先根據(jù)已知條件得出數(shù)列是等差數(shù)列，；再根據(jù)，的關(guān)系求出，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)可求出，，即可判斷選項(xiàng)B；利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)解不等式即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由，可得：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.則.所以對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.數(shù)列是等差數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，，，則，所以，，成等差數(shù)列，公差為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，當(dāng)或時(shí)，最大，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，得，，即滿足的最大正整數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC10.在銳角中，，角A、B、C對(duì)邊分別為a，b，c，則下列式子不正確的是（）AB.C.D.若上有一動(dòng)點(diǎn)P，則最小值為【正確答案】ABD【分析】由題設(shè)，結(jié)合三角恒等變換及正弦定理可判定A；由余弦定理及基本不等式可判定B；根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式可判定C；根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的最值可判定D．【詳解】對(duì)于A，，則，即，，即,又，,由正弦定理得，，故A錯(cuò)；對(duì)于B，由及余弦定理，可得，即，由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，在銳角中，由，且，由基本不等式可得，，整理得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又由，可得＝，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D，過(guò)作，則，又在之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的夾角為鈍角，因此要求的最小值，應(yīng)在之間運(yùn)動(dòng)，即，又當(dāng)時(shí)，取最小值為,故D錯(cuò)誤.故選：ABD．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是應(yīng)用兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式計(jì)算求解.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意的，都有，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】令，可得在上單調(diào)遞增，取自變量的值可得結(jié)果.【詳解】令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故A錯(cuò)誤，B正確；又，所以，即，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形．(2)構(gòu)造新的函數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值．(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意存在唯一的變號(hào)正實(shí)根，即存在唯一的變號(hào)正實(shí)根，當(dāng)符合題意，當(dāng)時(shí)參變分離可得沒(méi)有除之外的正實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，依題意可得存在唯一的變號(hào)正實(shí)根，即存在唯一的變號(hào)正實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，方程只有唯一變號(hào)正實(shí)根，符合題意，當(dāng)，方程，即沒(méi)有除之外的正實(shí)根，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)，合乎題意.綜上可得.故答案為.方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理．13.已知數(shù)列滿足，，則________．【正確答案】##【分析】嘗試求數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納數(shù)列的周期性，可得結(jié)論.【詳解】由題意：，，，，，所以滿足.所以故14.對(duì)任意實(shí)數(shù)，以表示不超過(guò)的最大整數(shù)，稱它為的整數(shù)部分，如，等.定義，稱它為的小數(shù)部分，如，等.若直線與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【正確答案】【分析】先由題意，得到當(dāng)時(shí)，，且是周期為1的函數(shù)；作出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像得到或，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又由題意，易知：是周期為1的函數(shù)；作出與圖象如下：由圖像，為使直線與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，只需或，解得或，即.故答案為本題主要考查由函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的問(wèn)題，熟記分段函數(shù)的圖像，以及函數(shù)與方程的綜合，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于?？碱}型.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，，.設(shè).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，若，，，的平分線交于點(diǎn)，求長(zhǎng).【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）由，令，，即可得解；（2）由題意得：，根據(jù)三角形內(nèi)角的范圍可得所以，再由余弦定理得解得，根據(jù)的平分線交于點(diǎn)，由結(jié)合面積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】令，，則，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；【小問(wèn)2詳解】由題意得：，因?yàn)椋?，即，所以，在中，由余弦定理得：，即，解得，因?yàn)槠椒志€交于點(diǎn)，所以，所以，所以，解得．16.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且.（1）求；（2）求在處的切線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由偶函數(shù)的定義可得，代入化簡(jiǎn)可得的值.（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得是在處的切線斜率，進(jìn)而結(jié)合得到切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，所以有，當(dāng)時(shí)，，即，，，解得，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，為上的偶函數(shù)，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，則，則，又，所以在處的切線方程為：，即.17.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用，，成等差數(shù)列以及求出首項(xiàng)和公比，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出即可；（2）由（1）將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中化簡(jiǎn)，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即，解得或，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，由，得，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，所以，兩式相減可得，整理可得．18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，研究的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值m；當(dāng)時(shí)，有極小值n，求的取值范圍.【正確答案】（1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并結(jié)合即可判斷出的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)得出其單調(diào)性即可求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，；因此可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】若，由（1）可知在處取得極大值，在處取得極小值，所以，即；設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為.19.若函數(shù)對(duì)定義域上的每一個(gè)值，在其定義域上都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)在其定義域上為“依賴函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)在上是否為“依賴函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)時(shí)，已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【正確答案】（1）不是“依賴函數(shù)”，理由見(jiàn)解析（2）（3）實(shí)數(shù)的最大值為4【分析】（1）本題可以從存在性或唯一性來(lái)說(shuō)明該函數(shù)不是“依賴函數(shù)”，取特殊值，利用唯一性或存在性可判斷答案；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，可得，代入可求解；（3）分類討論，當(dāng)時(shí)，明顯不符題意；當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性，可得，解得，代入后，利用不