2019年全國高中數學聯(lián)賽四川省初賽試題及答案

第頁2019年全國高中數學聯(lián)賽（四川預賽）試題一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分．1.設正六邊形的邊長為1，則.2.雙曲線的右焦點為，離心率為，過點且傾斜角為的直線與該雙曲線交于點，若的中點為，且等于半焦距，則．3.滿足（其中的有序數組的組數是．4.已知正四棱錐的高為3，側面與底面所成角為，先在內放入一個內切球，然后依次放入球、、、，使得后放入的各球均與前一個球及的四個側面均相切，則放入所有球的體積之和為．5.設一個袋子里有紅、黃、藍色小球各一個，現(xiàn)每次從袋子里取出一個球（取出某色球的概率均相同），確定顏色后放回，直到連續(xù)兩次均取出紅色球時為止．記此時取出球的次數為，則的數學期望為．6.已知為實數，且對任意，當時，恒成立，則的最大值是．7.已知數列滿足：，其中表示不超過實數的最大整數．設為實數，且對任意的正整數，都有．則的最小值是．8.若正整數使得方程有正整數解，稱為“好數”，則不超過2019的“好數”個數是．二、解答題：本大題3小題，滿分56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．9.（本題滿分16分）設點的坐標為，點為圓上的兩動點，滿足，求面積的最大值．10.（本題滿分20分）設，為實數，使得恒成立，求的最大值．11.（本題滿分20分）已知函數．（1）證明：當時，；（2）設函數有極小值，求的取值范圍．2019高中數學聯(lián)賽甘肅賽區(qū)試卷一、填空題（每題7分，滿分70分，將答案填在答題紙上）1.已知函數為奇函數，函數為偶函數，且，則．耐心等待考試結束。2.已知，滿足約束條件，若的最小值為1，則．3.已知向量，其中為實數，若，則的取值范圍是．4.某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數學競賽（每人被選中的機會均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個被選中的概率是．5.若，則．6.已知所在平面與矩形所在平面互相垂直，，若點都在同一個球面上，則此球的表面積為．7.已知正數滿足，則的最大值為．8.設復數，，則的最小值是．9.已知，為自然對數的底數，則的最小值為．10.已知雙曲線，是實軸頂點，是右焦點，是虛軸端點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得構成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是．二、解答題（本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）11.在中，角的對邊分為，且，，上的中線的長為.（1）求角和角的大小；（2）求的面積.12.在一次全省科普知識競賽中，某市3000名參賽選手的初賽成績統(tǒng)計如圖所示.（1）求的值，并估計該市選手在本次競賽中，成績在上的選手人數；（2）如果在本次競賽中該市計劃選取1500人入圍決賽，那么進入決賽選手的分數應該如何制定？（3）如果用該市參賽選手的成績情況估計全省參賽選手的成績情況，現(xiàn)從全省參賽選手中隨機抽取4名選手，記成績在80（含80）分以上的選手人數為，試求的分布列和期望.13.已知在數列中，，當時，其前項和滿足.（1）求的表達式；（2）設，數列的前項和為，證明.14.如圖，將邊長為4的等邊三角形沿與邊平行的直線折起，使得平面平面，為的中點.（1）求二面角的余弦值；（2）若平面，試求折痕的長.15.設向量為平面直角坐標系中軸正方向上的單位向量，若向量，且.（1）求滿足上述條件的點的軌跡方程；（2）設，問是否存在常數，使得恒成立？證明你的結論.16.已知函數.（1）若關于的不等式恒成立，試求實數的取值范圍；（2）設，試證：.2019年全國高中數學聯(lián)賽一、填空題（每小題8分，共64分，）函數的值域是.雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內部（不含邊界）整點（縱橫坐標均為整數的點）的個數是.已知是公差不為的等差數列，是等比數列，其中，且存有常數使得對每一個正整數都有，則.函數在區(qū)間上的最大值為8，則它在這個區(qū)間上的最小值是.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個使兩顆骰子點數和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是.正三棱柱的9條棱長都相等，是的中點，二面角,則.方程滿足的正整數解（x,y,z）的個數是.二、解答題（本題滿分56分）9.（16分）已知函數，當