人教八年級數學上冊軸對稱《最短路徑問題》公開課教學課件

最短路徑問題人教版八年級數學上冊

由一個平面圖形可以得到與它關于一條直線對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同；

新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于對稱軸

的對稱點；連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分．

軸對稱的性質復習舊知問題牧馬人從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊L

飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路線全程最短？BAL你能將這個問題轉化為數學問題嗎？學習新知

BAL

不妨將A，B兩地看作為兩個點，將河L

看成為一條直線．飲馬地方設為C，則C為直線上一個變動的點.當點C在L的什么位置時，AC與BC的和最小.CCCCAC與BC的和最小.C

BALCCALB當點A與點B在L的兩側時，點C在L的位置是容易求得的.連接AB，設AB與直線L的交點為C.點C就是所求的點.理由：兩點之間，線段最短.假設CB′繞著點C旋轉，BCALB′當點B′繞到點B的位置時，顯然這時CB=CB′，即有AC＋CB′=AC＋CB．∵A→C→B′為最短路徑，∴A→C→B為最短路徑.∵CB=CB′，∴點B與點B′關于直線L對稱.由此得到求點C的方法.

BALB′C畫法：1.畫點B關于直線L的對稱點B′.2.連接AB′，設AB′與直線L的交點為C.點C就是所求的點.即AC＋BC的值最小.

BALB′C你能用所學的知識證明AC＋BC最短嗎？

在直線L上任取一點C′(與點C不重合)，證明：連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，BC=B′C，BC′=B′C′,∴AC＋BC=AC＋B′CAC′＋BC′=AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′,∴AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．C′=AB′，AB

如圖，小河的同一邊邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一座橋，使A村與B村便于出行．若要使橋到A，B村的距離之和最短，則應選擇在何處建橋？B′C點C就是所求的點.此時AC＋BC的值最小.練習鞏固AB

一條直線上的動點到這條直線同側的兩點距離之和最小問題：

通常作出其中一定點的對稱點；然后利用“兩點之間線段最短”連接對稱點和另一定點連線與對稱軸的交點就是動點的位置.B′A′M例如圖，從A地到B地經過一條小河(河岸平行)，今要在河上建一座與兩岸垂直的橋，應如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？BA探究新知BA設MN是橋所在的位置.MN則從A到B要走的路線是A→M→N→B.因為橋長MN是個定值，所以要使路程AM＋MN＋NB最短，只要AM＋NB最短即可．

ANAM要AM＋NB最短．BB不妨設想兩河岸合并在一起，此時M與N重合，若A、N、B剛好在同一條直線上，則AN＋NB最短．而點A則向下平移了河寬的距離．BADCNM(2)連接BC與河岸的一邊交于點N.(3)過點N作河岸的垂線交另一條河岸于點M.則MN為所建的橋的位置．解：(1)過點A作AD垂直于河岸，截AC的長等于河寬．BAMNCN′M′∵AM=CN，AM′=CN′，AC=MN=M′N′，∴AM＋MN＋NB=CN＋AC＋NB=MN＋CB，AM′＋M′N′＋N′B

=

CN′＋AC＋N′B=MN＋CN′＋N′B∵CB＜CN′＋N′B,∴MN＋CB＜MN＋CN′＋N′B;∴AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.BAMNCN″M″∵AM=CN，AM″=CN″，AC=MN=M″N″，∴AM＋MN＋NB=CN＋AC＋NB=MN＋CB，AM″＋M″N″＋N″B

=

CN″＋AC＋N″B=MN＋CN″＋N″B,∵CB＜CN″＋N″B,∴MN＋CB＜MN＋CN″＋N″B;∴AM＋MN＋NB＜AM″＋M″N″＋N″B.BAMNCN′M′N″M″AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.AM＋MN＋NB＜AM″＋M″N″＋N″B.1.如圖，桌面上有M、N兩球，若要將M球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中N球，則4個點中，可以瞄準的是___點．MNABCDD鞏固提高2.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標為A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形網格的格點上.在y軸上找一點Q，使QC＋QB的和最短.2

x

y

O122－41－1－1ABCQD

3.如圖，OA、OB是兩條公路，在兩條公路夾角的內部有一油庫M?，F在想在兩公路上分別建一個加油站，為使運油的的油罐車從油庫出發(fā)先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油庫的路程最短。問兩加油站應如何選址？OABMEFDC如圖所示，E、F為兩個加油站的位置.解：4.如圖，已知∠