數(shù)學分析14無窮小量與無窮大量

§５無窮小量與無窮大量教學目的：理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念。會利用它們求某些函數(shù)的極限。教學要求：作為函數(shù)極限的特殊情形，要求掌握無窮小（大）量及其階的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。引言在學習數(shù)列極限時，有一類數(shù)列非常引人矚目，它們具有如下特征：SKIPIF1<0.我們稱之為無窮小數(shù)列。通過前面幾節(jié)對函數(shù)極限的學習。我們可以發(fā)現(xiàn)，在一般函數(shù)極限中也有類似的情形。例如：SKIPIF1<0SKIPIF1<0我們給這類函數(shù)一個名稱——“無窮小量”。既然有“無窮小量”，與之對應的也應有“無窮大量”，那么什么時“無窮大量”？進一步，這些“量”有哪些性質(zhì)呢？以上就是我們今天要給大家介紹的內(nèi)容——無窮小量與無窮大量。一、無窮小量1．定義１：設SKIPIF1<0在某SKIPIF1<0內(nèi)有定義。若SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為當SKIPIF1<0時的無窮小量。記作：SKIPIF1<0.（類似地可以定義當SKIPIF1<0時的無窮小量）。例：SKIPIF1<0都是當SKIPIF1<0時的無窮小量；SKIPIF1<0是當SKIPIF1<0時的無窮小量；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0時的無窮小量。2．無窮小量的性質(zhì)（１）先引進以下概念定義２（有界量）若函數(shù)SKIPIF1<0在某SKIPIF1<0內(nèi)有界，則稱SKIPIF1<0為當SKIPIF1<0時的有界量，記作：SKIPIF1<0.例如：SKIPIF1<0是當SKIPIF1<0時的有界量，即SKIPIF1<0;SKIPIF1<0是當SKIPIF1<0時的有界量，即SKIPIF1<0.注：任何無窮小量都是有界量（局部有界性），即若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.區(qū)別：“有界量”與“有界函數(shù)”。一般在談到函數(shù)SKIPIF1<0是有界函數(shù)或函數(shù)SKIPIF1<0是有界的，意味著存在Ｍ>０，SKIPIF1<0在定義域內(nèi)每一點SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0。這里“有界”與點無關：而有界是與“點有關”，是在某點的周圍（且除去此點）有界，是一種“局部”的有界。（２）性質(zhì)性質(zhì)１兩個（相同類型的）無窮小量之和、差、積仍為無窮小量。性質(zhì)２無窮小量與有界是的乘積為無窮小量。性質(zhì)３SKIPIF1<0是當SKIPIF1<0時的無窮小量SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例如；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.問題：兩個（相同類型的）無窮小量之商是否仍為無窮小量？考慮：SKIPIF1<0.引申：同為無窮小量，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不存在？這說明“無窮小量”是有“級別”的。這個“級別”表現(xiàn)在收斂于０（或趨近于０）的速度有快不慢。就上述例子而言，這個“級別”的標志是SKIPIF1<0的“指數(shù)”，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的指數(shù)越大，它接近于０的速度越快。這樣看來，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的收斂速度快于SKIPIF1<0的收斂速度。所以其變化結(jié)果以SKIPIF1<0為主。此時稱SKIPIF1<0是（當SKIPIF1<0時）SKIPIF1<0的高階無窮小量，或稱SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的低階無窮小量。一般地，有下面定義：無窮小量階的比較（主要對SKIPIF1<0敘述，對其它類似）設當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0均為無窮小量。若SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0時SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的高階無窮小量，或稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的低階無窮小量，記作SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.問題SKIPIF1<0，此時是可說SKIPIF1<0？引申與上述記法：SKIPIF1<0相對應有如下記法：SKIPIF1<0，這是什么意思？含義如下：若無窮小量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿足關系式SKIPIF1<0，則記作SKIPIF1<0.例如，（１）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（２）若SKIPIF1<0.注等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等與通常等式的含義不同的。這里的等式左邊是一個函數(shù)，右邊是一個函數(shù)類（一類函數(shù)），而中間的“＝”叫的含義是“SKIPIF1<0”。例如：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，而上述等式表示函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0。為方便起見，記作SKIPIF1<0若存在正數(shù)Ｋ和Ｌ，使得在某SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為當SKIPIF1<0時的同階無窮小量。但需要注意：SKIPIF1<0不存在，并不意味著SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不全為同階無窮小量。如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不存在。但SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為當SKIPIF1<0時的同階無窮小量。由上述記號可知：若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是當SKIPIF1<0時的同階無窮小量，則一定有：SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是當SKIPIF1<0時的等價無窮小量，記作SKIPIF1<0.例如：１）SKIPIF1<0;２）SKIPIF1<0.對于“等價無窮小量”有下面的重要的結(jié)論，它在求極限問題中有重要作用，稱為求極限的“等價量法”。定理設函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有定義，且有SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.求極限SKIPIF1<0.注：在利用等價無窮小量代換求極限時，應注意：只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替代,而對極限式中相加或相減的部分則不能隨意替代。３．小結(jié)以上討論了無窮小量，無窮小量性質(zhì)。無窮小量比較。兩個無窮小量可比較的特征——其商是有界量。但應指出，并不是任何兩個無窮小量都可以進行這種階的比較。例如SKIPIF1<0.二、無窮大量１．問題“無窮小量是以０為極限的函數(shù)”。能否仿此說“無窮大量是以SKIPIF1<0為極限的函數(shù)”。答：按已學過的極限的定義，這種說法是不嚴格的，講Ａ為函數(shù)SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時的極限，意味著Ａ是一個確定的數(shù)，而“SKIPIF1<0”不具有這種屬性，它僅僅是一個記號。所以不能簡單地講“無窮大量是以SKIPIF1<0為極限的函數(shù)”。但是，確實存在著這樣的函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0無限接近。例如：１）SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0越來越接近，而且只要SKIPIF1<0與０充分接近，SKIPIF1<0就會無限增大；２）SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，也具有上述特性。在分析中把這類函數(shù)SKIPIF1<0稱為當SKIPIF1<0時有非正常極限SKIPIF1<0。其精確定義如下：２．非正常極限定義２（非正常極限）設函數(shù)SKIPIF1<0在某SKIPIF1<0內(nèi)有定義，若對任給的Ｍ>0，存在SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時有SKIPIF1<0，則稱函數(shù)SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時有非正常極限SKIPIF1<0，記作SKIPIF1<0。注：１）若“SKIPIF1<0”換成“SKIPIF1<0”，則稱SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時有非正常極限SKIPIF1<0；若換成SKIPIF1<0則稱SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時有非正常極限SKIPIF1<0，分別記作SKIPIF1<0.2)關于函數(shù)SKIPIF1<0在自變量SKIPIF1<0的其它不同趨向的非正常極限的定義，以及數(shù)列SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時的非正常極限的定義，都可類似地給出。例如：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0;SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.３．無窮大量的定義定義３．對于自變量SKIPIF1<0的某種趨向（或SKIPIF1<0），所有以SKIPIF1<0為非正常極限的函數(shù)（包括數(shù)列），都稱為無窮大量。例如：SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時是無窮大量；SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時是無窮大量。注：１）無窮大量不是很大的數(shù)，而是具有非正常極限的函數(shù);２）若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時的無窮大量，則易見SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的無界函數(shù)，但無界函數(shù)卻不一定是無窮大量。例如；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上無界，但SKIPIF1<0;３）如同對無窮小量進行階的比較的討論一樣，對兩個無窮大量，也可以定義高階無窮大量、同階無窮大量等概念。４．利用非正常極限定義驗證極限等式例３證明SKIPIF1<0.例４證明；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0。三、無窮小量與無窮大量的關系定理（１）設SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有定義且不等于０，若SKIPIF1<0為當SKIPIF1<0時的無窮小量，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時的無窮大量；（２）若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時的無窮大量，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時的無窮小量。四、曲線的漸近線引言作為函數(shù)極限的一個應用。我們討論曲線的漸近線問題。由平面解析幾何知：雙曲線SKIPIF1<0有兩條漸近線SKIPIF1<0。那么，什么是漸近線呢？它有何特征呢？２．曲線的漸近線定義定義４若曲線Ｃ上的動點SKIPIF1<0沿著曲線無限地遠離原點時，點SKIPIF1<0與某實直線Ｌ的距離趨于零，則稱直線Ｌ為曲線Ｃ的漸近線。形如SKIPIF1<0的漸近線稱為曲線Ｃ的斜漸近線；形如SKIPIF1<0