專題2.3 有理數(shù)的乘除法【十大題型】（舉一反三）（人教版2024）（原卷版）

專題2.3有理數(shù)的乘除法【十大題型】

【人教版2024】

【題型1利用有理數(shù)的乘法辨別符號(hào)】................................................................................................................2

【題型2利用有理數(shù)乘法運(yùn)算律進(jìn)行巧算】........................................................................................................2

【題型3倒數(shù)、絕對(duì)值、相反數(shù)的綜合求值】....................................................................................................3

【題型4有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用】........................................................................................................................4

【題型5有理數(shù)的混合運(yùn)算】................................................................................................................................5

【題型6有理數(shù)四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】................................................................................................................6

【題型7利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】............................................................................................................7

【題型8化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)】................................................................................................................................................9

【題型9與有理數(shù)乘除有關(guān)的新定義問(wèn)題】........................................................................................................9

【題型10有理數(shù)四則運(yùn)算中的分類討論思想的運(yùn)用】....................................................................................10

知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)的乘法

1.有理數(shù)的乘法

有理數(shù)乘法法則：（下列法則中a、b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)）

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，積的絕對(duì)值兩乘數(shù)的絕對(duì)值的積。任何數(shù)同0相乘，都得0。

即：ab=ab；ab=ab；a(b)=-ab；；(a)b=-ab；；0c0。

有理數(shù)乘法的運(yùn)算步驟：先確定積的符號(hào)，再確定積的絕對(duì)值。

多個(gè)有理數(shù)相乘：幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積

為負(fù)數(shù)，即“奇負(fù)偶正”。幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于0。

多個(gè)有理數(shù)相乘的運(yùn)算步驟：先用上面的方法確定符號(hào)，再將各乘數(shù)的絕對(duì)值相乘作為積的絕對(duì)值。

2.有理數(shù)乘法運(yùn)算律

乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變。即：abba。

乘法結(jié)合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變。

即：abcabca(bc)。

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乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再

把積相加。即：a(bc)abac。

【題型1利用有理數(shù)的乘法辨別符號(hào)】

【例1】（23-24七年級(jí)·浙江紹興·階段練習(xí)）4個(gè)有理數(shù)相乘，積的符號(hào)是負(fù)號(hào)，則這4個(gè)有理數(shù)中，負(fù)數(shù)

有()

A．1個(gè)或3個(gè)B．1個(gè)或2個(gè)C．2個(gè)或4個(gè)D．3個(gè)或4個(gè)

【變式1-1】（23-24七年級(jí)·安徽合肥·階段練習(xí)）若???<0，??>0，那么這兩個(gè)數(shù)（）

A．都是正數(shù)B．都是負(fù)數(shù)C．一正一負(fù)D．符號(hào)不能確定

【變式1-2】（23-24七年級(jí)·重慶江津·階段練習(xí)）已知?>?>?，且?+?+?=0，那么乘積??的值一定是

（）

A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．0D．不能確定

【變式1-3】（23-24七年級(jí)·安徽宣城·期末）如圖，A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a，b，下列式子成

立的是（）

A．??>0B．?+?>0C．(??1)(??1)>0D．(?+1)(??1)>0

【題型2利用有理數(shù)乘法運(yùn)算律進(jìn)行巧算】

13243520212023

【例2】（七年級(jí)全國(guó)假期作業(yè)）計(jì)算：(?1×2)×(?×)×(?×)×(?×)×…×(?×

23-24··22334420222022

20222024

)×(?×)．

20232023

57

【變式2-1】（七年級(jí)全國(guó)課后作業(yè)）計(jì)算15×，最簡(jiǎn)便的方法是（）

23-24··716

5727110757

A．×B．×C．×D．×

15+71616?71671610+5716

【變式2-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·隨堂練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

(1)(?7.5)×(+25)×(?0.04)；

1

(2)×1.25×．

?420(?8)

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【變式2-3】（23-24七年級(jí)·江蘇鹽城·階段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

17

19×；

(1)18(?9)

(2)0.618×97+3×0.618．

知識(shí)點(diǎn)2：倒數(shù)

1）倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

2）倒數(shù)的性質(zhì)：（1）倒數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能稱為倒數(shù)。（2）0沒(méi)有倒數(shù)。（3）互為倒數(shù)的

兩個(gè)數(shù)的乘積一定是1，即a，b互為倒數(shù)，則ab1；反之亦然．

3）求一個(gè)非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可。

（1）非零整數(shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù)后再求倒數(shù)；（2）帶分?jǐn)?shù)一定要先化成假分?jǐn)?shù)之后再求倒數(shù)。

【題型3倒數(shù)、絕對(duì)值、相反數(shù)的綜合求值】

【例3】（23-24七年級(jí)·重慶·期末）?1.5的倒數(shù)的絕對(duì)值的相反數(shù)為．

【變式3-1】（23-24七年級(jí)·浙江·階段練習(xí)）甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行數(shù)字猜謎游戲，甲說(shuō)：一個(gè)數(shù)a的相反數(shù)是

它本身，乙說(shuō)：一個(gè)數(shù)b的倒數(shù)也是它本身，則a-b=

1

【變式3-2】（七年級(jí)四川成都期末）若a，b互為相反數(shù)，?+1的倒數(shù)是?，則b的值為．

23-24··4

【變式3-3】（23-24七年級(jí)·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知?，?互為相反數(shù)，?，?互為倒數(shù)，?的絕對(duì)值等于

4，?是數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)．

(1)分別直接寫(xiě)出?+?，??，?，?的值；

?+?

????++?的值是多少？

(2)??

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【題型4有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用】

【例4】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，把A，B，C，D，E這五部分用四種不同的顏色著色，

且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色．那么，這幅圖一共有種不

同的著色方法．

【變式4-1】（23-24七年級(jí)·黑龍江大慶·期末）某商店將一種取暖器先提價(jià)20%，然后宣傳打八五折銷售，

取暖器的現(xiàn)價(jià)（）

A．和原來(lái)一樣B．比原來(lái)降了C．比原來(lái)漲了D．無(wú)法判斷

【變式4-2】（23-24·江西吉安·三模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問(wèn)題，

也首先記錄了“盈不足”等問(wèn)題，在第七章“盈不足”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺．蒲生日自

半”．其意思是“有蒲這種植物，蒲第一日長(zhǎng)了3尺，以后蒲每日生長(zhǎng)的長(zhǎng)度是前一日生長(zhǎng)的長(zhǎng)度的一半”．根

據(jù)題意，第三日蒲生長(zhǎng)的長(zhǎng)度為尺．

【變式4-3】（23-24七年級(jí)·山東臨沂·期末）某公園門(mén)票價(jià)格如下表，有28名中學(xué)生游公園，則最少應(yīng)付

費(fèi)元．（游客只能在公園售票處購(gòu)票）

購(gòu)票張數(shù)1～29張30～60張60張以上

每張票的價(jià)格20元18元16元

知識(shí)點(diǎn)3：有理數(shù)的除法

1

1）有理數(shù)除法法則1：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即：a?ba×，(b10)。

b

有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且商的絕對(duì)值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕對(duì)值

的商。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。

2）有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。

有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。

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【題型5有理數(shù)的混合運(yùn)算】

【例5】（23-24七年級(jí)·重慶九龍坡·階段練習(xí)）計(jì)算

2122

(1)?÷÷×

5?3?3553

1712

(2)1÷+÷

?83|5?3|

【變式5-1】（23-24七年級(jí)·福建廈門(mén)·期中）下面是小明的計(jì)算過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答下面的問(wèn)題．

13

計(jì)算：(?15)÷(?3?)×6

32

25

解：原式(?15)÷(?)×6第一步

=6……

=(?15)÷(?25)……第二步

3

?第三步

=5……

解答過(guò)程是否有錯(cuò)，若有，錯(cuò)在第幾步？錯(cuò)誤原因是什么？最后請(qǐng)寫(xiě)出正確的過(guò)程．

411414

【變式5-2】（23-24七年級(jí)·吉林白城·階段練習(xí)）計(jì)算：×2+×?1×．

?54?452?5

11

【變式5-3】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí)）老師布置了一道練習(xí)：計(jì)算÷×12．

(?16)4?3

嘉嘉和淇淇的解答過(guò)程如下：

嘉嘉的解答過(guò)程

淇淇的解答過(guò)程

解：原式=÷1×12（第

(?16)?1211

解：原式=÷?×12（第一步）

(?16)43

一步）

=?64?4（第二步）

=(?16)÷(?1)（第二步）

=?68（第三步）

=16（第三步）

(1)①嘉嘉解題過(guò)程中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第______步；

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②淇淇解題過(guò)程中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第______步．

(2)把正確的解題過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．

315

(3)計(jì)算：×÷14．

(?24)4+6?8

【題型6有理數(shù)四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】

【例6】（23-24七年級(jí)·山東威海·期中）氣象統(tǒng)計(jì)資料表明：高山上的溫度每升高100米，平均氣溫下降

0.6℃．已知山腳的溫度是8℃．

(1)若這座山的高度是2千米，求山頂?shù)臏囟龋?/p>

(2)小明在上山過(guò)程中看到溫度計(jì)上的讀數(shù)是?1℃，此時(shí)他距山腳有多高？

【變式6-1】（23-24七年級(jí)·貴州銅仁·階段練習(xí)）某服裝公司2017年四個(gè)季度的盈虧情況如下：第一季度

平均每月虧損1.5萬(wàn)元，第二季度在全體員工的努力下，平均每月盈利2萬(wàn)元，第三季度平均每月盈利1.7

萬(wàn)元，第四季度平均每月虧損2.9萬(wàn)元，那么這個(gè)公司2017年平均每月盈虧情況如何？

【變式6-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·期中）小張第一次用180元購(gòu)買(mǎi)了8套兒童服裝，以一定價(jià)格出售.

如果以每套兒童服裝80元的價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn)，超出的記作整數(shù)，不足的記作負(fù)數(shù)，記錄如下（單位：元）：

+12,?13,+15,+11,?17,?11,0,?13.

請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：

（1）小張賣完這8套兒童服裝后是盈利還是虧損？盈利（或虧損）了多少錢(qián)？

（2）每套兒童服裝的平均售價(jià)是多少元？

（3）小張第二次用第一次的進(jìn)價(jià)再次購(gòu)買(mǎi)900元的兒童服裝，如果他預(yù)計(jì)第二次每套服裝的平均售價(jià)75

元，按他的預(yù)計(jì)第二次售價(jià)可獲利多少元？

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【變式6-3】（23-24七年級(jí)·四川成都·期中）居民生活中使用天然氣實(shí)行階梯式計(jì)價(jià)，用戶每月用氣量在20

立方米及以內(nèi)的為第一級(jí)基數(shù)，按一級(jí)用氣價(jià)格收取；超過(guò)20立方米且不超過(guò)30立方米的部分為第二級(jí)

氣量基數(shù)，按一級(jí)用氣價(jià)格的1.5倍收?。撼^(guò)30立方米的部分為第三級(jí)氣量基數(shù)，按一級(jí)用氣價(jià)格的1.8

倍收?。疄楣?jié)約用氣量，小明記錄了1－7月份他家每月1號(hào)的氣表讀數(shù)．

1月2月3月4月5月6月7月

氣表讀數(shù)（立方米）433450468485500514535

（1）直接寫(xiě)出小明家1月份的用氣量____________立方米及1－6月平均每月用氣量為_(kāi)______立方米．

（2）已知小明家2月份的氣費(fèi)為36元，試求他家6月份需交氣費(fèi)多少元？

（3）7月份放暑假后，小明的爺爺、奶奶及表哥來(lái)到家里和小明一起生活，并多次請(qǐng)客，用氣量明顯增加，

比6月份多用氣12立方米，試求小明家7月份需交納氣費(fèi)多少元？

【題型7利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】

【例7】（23-24七年級(jí)·遼寧鞍山·階段練習(xí)）閱讀下列材料，并解答問(wèn)題：

??1

材料一：乘積為的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，如和，即若設(shè)?÷?=?，則?÷?=；

1???

材料二：分配律：(?+?)?=??+??；

利用上述材料，請(qǐng)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：1÷111．

?603?4+12

【變式7-1】（23-24七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）我們學(xué)過(guò)了乘法分配律，但是在做除法運(yùn)算時(shí)就不能使用

1

分配律．對(duì)于下面這道計(jì)算題：?÷1223，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的

426?7+3?14

1223112231223

倒數(shù)：÷?=×(?42)=?×42+×42?×42+×42＝﹣7+12﹣28+9

6?7+3?14426?7+3?1467314

11137

＝﹣14，所以原式＝﹣請(qǐng)你仿照以上小明的做法計(jì)算：÷

14?241?12?8+12

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【變式7-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·隨堂練習(xí)）閱讀材料，回答問(wèn)題．

計(jì)算：1÷11．

?155?3

1

解：方法一：原式=1÷35=1÷2=．

?1515?15?15?152

11

方法二：原式的倒數(shù)為：11÷1=11×=×?×=?3+5=2

5?3?155?3(?15)5(?15)3(?15)

1

故原式=．

2

用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算：1÷2112．

?303?10+6?5

【變式7-3】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·階段練習(xí)）閱讀下列材料：

1

計(jì)算：÷111．

603?4+12

11111111111

解法：原式÷?÷+÷=×3?×4+×12=．

①=603604601260606060

14311111

解法②：原式=÷=÷=×6=．

6012?12+126066010

1111111111

解法③：原式的倒數(shù)為÷=×60=×60?×60+×60=20?15+5=10，

3?4+12603?4+123412

原式1

∴=10

11111

解法④：原式=÷=1÷=

60×603?4+12×60(20?15+5)10

(1)上述解法中，肯定有錯(cuò)誤的解法．你認(rèn)為解法是錯(cuò)誤的；

13521

(2)在正確的解法中，選擇一種解法計(jì)算：?÷

427?14+3?6

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【題型8化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)】

【例8】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列分?jǐn)?shù)：

?21；

(1)7

3；

(2)?36

?54；

(3)?8

?6．

(4)?0.3

【變式8-1】（23-24·上海楊浦·三模）下列分?jǐn)?shù)中，能化為有限小數(shù)的是（）

．1．3．1．5

A12B12C15D15

?1254?3?5

【變式8-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）化簡(jiǎn)下列各分?jǐn)?shù)：=，=，1=，

5?36?2?0.2

=．

|?||??|

【變式8-3】（七年級(jí)全國(guó)專題練習(xí)）如果?<0<?，則化簡(jiǎn)+．

23-24··???=

【題型9與有理數(shù)乘除有關(guān)的新定義問(wèn)題】

【例9】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·期中）在數(shù)軸上，把原點(diǎn)記作點(diǎn)?，表示數(shù)1的點(diǎn)記作點(diǎn)?．對(duì)于數(shù)軸

上任意一點(diǎn)?（不與點(diǎn)?，點(diǎn)?重合），將線段??與線段??的長(zhǎng)度之比定義為點(diǎn)?的特征值，記作?，即?=

??

．例如：當(dāng)點(diǎn)?是線段??的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)??=??，所以?=1．如圖，點(diǎn),,為數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)

???1?2?3?1

1

表示的數(shù)為?，點(diǎn)表示的數(shù)與點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)為2．

4?2?1?3

(1)點(diǎn)?2表示的數(shù)為：___________；

(2)求?1,?2,?3的值，比較?1,?2,?3的大小，并用“<”連接；

1

若數(shù)軸上有一點(diǎn)?滿足??=??，求?．

(3)3

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?+2?2+2×3

【變式9-1】（七年級(jí)湖南岳陽(yáng)期末）定義新運(yùn)算?：???=，如：2?3=，則

23-24··“”?2

(4?2)?(?1)=．

1?

【變式9-2】（23-24七年級(jí)·甘肅隴南·期中）如果對(duì)于任何有理數(shù)?、?定義運(yùn)算“Δ”如下：?Δ?=÷，

??2

11

如2Δ3=÷3=?，求Δ4的值．

2?23(?2Δ7)

【變式】（七年級(jí)四川成都期中）在數(shù)軸上有理數(shù)，1分別用點(diǎn)，表示，我們稱點(diǎn)是

9-323-24··a1??AA1A1

點(diǎn)A的“差倒數(shù)點(diǎn)”．已知數(shù)軸上點(diǎn)A的差倒數(shù)點(diǎn)為點(diǎn)A1；點(diǎn)A1的差倒數(shù)點(diǎn)為點(diǎn)A2；點(diǎn)A2的差倒數(shù)點(diǎn)為點(diǎn)

A3…這樣在數(shù)軸上依次得到點(diǎn)A，A1，A2，A3，…，An．若點(diǎn)A，A1，A2，A3，…，An在數(shù)軸上分別表示的有

1

理數(shù)為