專題1.4 絕對(duì)值【八大題型】（舉一反三）（人教版2024）（原卷版）

專題1.4絕對(duì)值【八大題型】

【人教版2024】

【題型1絕對(duì)值的概念辨析】................................................................................................................................1

【題型2求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值】................................................................................................................................2

【題型3已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值求該數(shù)】................................................................................................................2

【題型4化簡絕對(duì)值】............................................................................................................................................3

【題型5由絕對(duì)值的非負(fù)性求值】........................................................................................................................3

【題型6解絕對(duì)值方程】........................................................................................................................................4

【題型7由絕對(duì)值的幾何意義求最值】................................................................................................................4

【題型8絕對(duì)值的應(yīng)用】........................................................................................................................................5

知識(shí)點(diǎn)1：絕對(duì)值

1）絕對(duì)值的概念：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作a。

2）絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。

3）絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。

即：（1）如果a>0，那么a=a；（2）如果a=0，那么a=0；（3）如果a<0，那么a=-a．

ìa(a>0)

?ìa(a30)ìa(a>0)

可整理為：a=í0(a=0)，或a=í，或a=í。

??-a(a<0)?-a(a￡0)

?-a(a<0)

4）絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或0．即：|a|30。

【題型1絕對(duì)值的概念辨析】

【例1】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）符號(hào)語言“|?|=??(?<0)”轉(zhuǎn)化為文字表達(dá)，正確的是（）

A．一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身

B．負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)

C．非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身

D．0的絕對(duì)值等于0

【變式1-1】（23-24七年級(jí)·陜西漢中·階段練習(xí)）若|??|=??，下列?的取值能使這個(gè)式子成立的是（）

A．?1B．1C．2D．?取任何數(shù)

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【變式1-2】（23-24·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法正確的有（）

（1）有理數(shù)的絕對(duì)值一定比0大；

（2）有理數(shù)的相反數(shù)一定比0??；

（3）如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等；

（4）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【變式1-3】（23-24七年級(jí)·寧夏吳忠·期中）任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值在數(shù)軸上的位置是（）

A．原點(diǎn)右邊B．原點(diǎn)兩旁

C．原點(diǎn)及其右邊D．整個(gè)數(shù)軸

【題型2求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值】

【例2】（23-24七年級(jí)·上海寶山·期末）用“>”或“<”連接|?3.5|?33．

|5|

【變式2-1】（23-24七年級(jí)·河南信陽·階段練習(xí)）?2024的絕對(duì)值是（）

11

．?2024．．．?

AB2024C2024D2024

【變式2-2】（23-24七年級(jí)·吉林延邊·階段練習(xí)）在下列數(shù)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是（）

A．0B．?1C．?2D．1

【變式2-3】（23-24·內(nèi)蒙古通遼·二模）0.2的相反數(shù)的絕對(duì)值為（）

A．?5B．0.2C．5D．?0.2

【題型3已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值求該數(shù)】

【例3】（23-24·浙江金華·七年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)數(shù)x的相反數(shù)的絕對(duì)值為3，則這個(gè)數(shù)是（）

A．3B．?3C．|??|D．±3

【變式3-1】（23-24七年級(jí)·四川眉山·階段練習(xí)）一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是

（）

A．正數(shù)B．零C．負(fù)數(shù)D．非正數(shù)

【變式】（七年級(jí)湖北襄陽期中）一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是2，那么這個(gè)數(shù)為．若｜｜｜｜則

3-223-24··3-5=-a

a=

5

【變式3-3】（23-24七年級(jí)·河北唐山·階段練習(xí)）?的絕對(duì)值的相反數(shù)是．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的絕對(duì)

3

值等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的相反數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是．

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知識(shí)點(diǎn)2：化簡絕對(duì)值

①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；②將絕對(duì)值符號(hào)改為小括號(hào)：若正數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)不變（即本

身）；若負(fù)數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)改變（即相反數(shù)）；③去括號(hào)：括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)不變；

括號(hào)前是“－”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)；④化簡。

注意：注意改絕對(duì)值符號(hào)時(shí)與去括號(hào)時(shí)是否需要變號(hào)，且變號(hào)的正確性。

【題型4化簡絕對(duì)值】

【例4】（23-24七年級(jí)·陜西漢中·階段練習(xí)）如果|?|=5，|?|=4，且?<?，求?+?的值．

【變式4-1】（23-24七年級(jí)·湖北孝感·階段練習(xí)）若0≤?<1，則|?|+|??1|=．

【變式4-2】（23-24七年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）若?<0，則|??(??)|等于（）

A．??B．0C．2?D．?2?

【變式4-3】（23-24七年級(jí)·四川綿陽·期中）已知有理數(shù)a、b、c的相應(yīng)點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上的位置如圖

所示，其中??=??．化簡??|?+?|+|???|+|???|+|?+?|．

知識(shí)點(diǎn)3：絕對(duì)值的非負(fù)性

（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0”，即若|?|+|?|=0，則|?|=0且

|?|=0．（2）a30。

【題型5由絕對(duì)值的非負(fù)性求值】

【例5】（23-24七年級(jí)·山西呂梁·階段練習(xí)）如果有理數(shù)?、?滿足|??3?|+|2??1|=0那么?、?的值分別

為（）

1311

A．?=，?=B．?=，?=

2226

11

C．?=?，?=?D．?=0，?=0

26

【變式5-1】（23-24七年級(jí)·福建泉州·期中）如果x為有理數(shù)，式子2023?|?+2|存在最大值，這個(gè)最大值

是（）

A．2025B．2024C．2023D．2022

1

【變式5-2】（23-24七年級(jí)·山東臨沂·階段練習(xí)）若|?+2|+|??|=0，則??=．

2

【變式5-3】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知|??3|+|?+5|=0，求|?+?|的值．

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【題型6解絕對(duì)值方程】

【例6】（23-24七年級(jí)·全國·競賽）方程|2|?|?2014|=2015的解有（）．

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

【變式6-1】（23-24七年級(jí)·湖南懷化·期末）當(dāng)?時(shí)，|??3|=3??．

【變式6-2】（23-24七年級(jí)·河南周口·期中）方程|2??1|=7的解為（）

A．?=?3B．?=4C．?=4或?=?3D．?=?4或?=3

【變式6-3】（23-24七年級(jí)·福建泉州·階段練習(xí)）關(guān)于?的方程|?+1|+|??3|=6的解是．

【題型7由絕對(duì)值的幾何意義求最值】

【例7】（23-24七年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知?,?,?為互不相等的三個(gè)有理數(shù)，且?>?，若式子|???|+

|???|的最小值為3，則12+???的值為（）

A．12B．9C．18D．15

【變式7-1】（23-24七年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)?、?在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)?、?，?、?兩

點(diǎn)之間的距離表示為??．則??=|???|．所以式子|??3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)?的點(diǎn)與表示有理

數(shù)3的點(diǎn)之間的距離．

根據(jù)上述材料，解答下列問題：

(1)若|??1|=2，則?=；

(2)若|??5|=|?+1|，則?=；

(3)式子|??3|+|?+2|的最小值為；

(4)若|??3|+|?+2|=7，則?=；

(5)式子|?+2|+|??1|+|??3|的最小值為，此時(shí)?=．

【變式7-2】（23-24七年級(jí)·重慶豐都·期末）有三個(gè)實(shí)數(shù)為?,?,?，且?<?<?，在數(shù)軸上分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是點(diǎn)

?,?,?，若|?+?|>|?+?+?|，那么可能是數(shù)軸原點(diǎn)的是（）

A．點(diǎn)?B．點(diǎn)?

C．點(diǎn)?D．點(diǎn)?,?,?都不可能

【變式7-3】（23-24七年級(jí)·四川綿陽·期中）函數(shù)?=|??1|+|???|的最小值為3，則a的值為．

知識(shí)點(diǎn)4：絕對(duì)值的應(yīng)用

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1）質(zhì)量問題，絕對(duì)值越小，越接近質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；

2）小蟲爬行問題，判斷小蟲是否能重回原點(diǎn)，將所有數(shù)據(jù)相加與0相比較，求距離時(shí)是各數(shù)的絕對(duì)值，與

數(shù)的正負(fù)性無關(guān)；

3）數(shù)軸上數(shù)的表示問題，點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，原數(shù)減去移動(dòng)的距離；點(diǎn)向右移動(dòng)時(shí)，原數(shù)加上移動(dòng)的距離。

【題型8絕對(duì)值的應(yīng)用】

【例8】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·期中）如圖，直徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)?與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，??

是圓片的直徑．圓片在數(shù)軸上向