第18講 解一元一次方程（二）-去括號(hào)與去分母（人教版）（原卷版）

第18講解一元一次方程（二）——去括號(hào)與去分母

【人教版】

·模塊一利用“去括號(hào)”解一元一次方程

·模塊二利用“去分母”解一元一次方程

·模塊三課后作業(yè)

模塊一利用“去括號(hào)”解一元一次方程

【考點(diǎn)1利用“去括號(hào)”解一元一次方程】

【例1.1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）補(bǔ)全解方程5(??4)?3(2?+1)=2(1?2?)?1的過(guò)程：

解：去括號(hào)，得．

移項(xiàng)，得．

合并同類項(xiàng)，得．

系數(shù)化為1，得．

【例1.2】（2023七年級(jí)·海南?？凇て谥校┮阎?1=2(??1)，?2=4?3?，若?1與?2的值互為相反數(shù)，則?等

于（）

A．3B．?3C．2D．?2

【例1.3】（2023七年級(jí)·福建福州·期中）將?=2??1代入3???=4，去括號(hào)后，可得（）

A．3??2?+1=4B．3?+2?+1=4

C．3?+2??1=4D．3??2??1=4

【變式1.1】（2023七年級(jí)·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）在解方程2(??1)?3(2??3)=0時(shí)，去括號(hào)正確的是（）

A．2??1?6?+9=0B．2??2?6??3=0

C．2??2?6??9=0D．2??2?6?+9=0

【變式1.2】（2023六年級(jí)下·上海浦東新·期中）解方程：2(5??)=33?3(5?+1)．

【變式1.3】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）當(dāng)?取什么值時(shí)，式子5(?+2)的值比2(1?3?)的值小3？

【考點(diǎn)2去括號(hào)解方程的應(yīng)用】

1

【例2.1】（2023·浙江嘉興·七年級(jí)期末）已知物體自由下落的距離可以表示為?=??，?表示物體下落

2底底

第1頁(yè)共8頁(yè).

的末速度，?表示物體下落的時(shí)間，聲音傳播的速度為340米/秒．若將一塊石頭從井口自由落下，7秒后聽(tīng)到

它落水的聲音，測(cè)得?底=60米/秒，設(shè)石頭下落的時(shí)間為?，則可列得方程（）

A．30?=340×7B．30?=340(7??)

C．30(7??)=340?D．30(7+?)=340×7

【例2.2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）小軍玩拋硬幣的游戲，規(guī)則是：將一枚硬幣拋起，落下后正面朝

上就向前走8步，反面朝上就后退6步，小軍一共拋了10次硬幣，結(jié)果向前走了52步，有次反面朝

上．

【例2.3】（2023六年級(jí)下·上海青浦·期末）《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長(zhǎng)短．引繩度之，余繩四尺

五寸：屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”（尺、寸是長(zhǎng)度單位，1尺=10寸）．意思是，現(xiàn)有一根長(zhǎng)木，

不知道其長(zhǎng)短．用一根繩子去度量長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再度量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺．問(wèn)

長(zhǎng)木長(zhǎng)多少？設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)為x尺，則可列方程為．

【變式2.1】（2023·安徽合肥·七年級(jí)期末）端午節(jié)即將來(lái)臨，小明和媽媽打算去超市買(mǎi)粽子，他們購(gòu)買(mǎi)10

個(gè)肉粽和5個(gè)素粽共用去70元，已知每個(gè)肉粽比素粽多1元，那么每個(gè)肉粽多少元?

【變式2.2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）在甲地勞動(dòng)的有29人，在乙地勞動(dòng)的有19人．現(xiàn)在從乙地調(diào)一

部分人到甲地去支援，使在甲地的人數(shù)為在乙地的人數(shù)的2倍，應(yīng)從乙地調(diào)多少人到甲地去？

【變式2.3】（2023·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟

十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得灑五斗，問(wèn)清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10

斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，則清酒斗．

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）已知x＝3是關(guān)于x的方程ax﹣5＝9x﹣a的解，那么關(guān)于x的方

程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a的解是x＝．

【題型2】（2023·陜西西安·七年級(jí)期末）小嫄每天早上要到距家1000米的學(xué)校上學(xué)．某一天，小嫄以80

米/分的速度出發(fā)5分鐘后，小嫄的爸爸發(fā)現(xiàn)她忘了帶數(shù)學(xué)課本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小嫄，

并且在途中追上了她．求爸爸追上小嫄用了多長(zhǎng)時(shí)間？

【題型3】（2023·山東聊城·七年級(jí)期末）聊城近幾年城市發(fā)展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是瀝

青，瀝青中含稠環(huán)芳香烴，其中偶數(shù)個(gè)苯環(huán)可視為同系物．注：最簡(jiǎn)單的稠環(huán)芳香烴是萘，它的分子結(jié)構(gòu)

圖與結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式如下：

第2頁(yè)共8頁(yè).

若圖(?)和圖(?+1)的分子中共含有242個(gè)C原子，則?的值．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級(jí)·福建莆田·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)?、?為線段??上兩點(diǎn)，??+??=6，且

4

??+??=??，設(shè)??=?，則關(guān)于?的方程3??7=??2的解是．

3(??1)(?+3)

【題型2】（2023·河北邢臺(tái)·七年級(jí)期末）請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：

(1)求一個(gè)暖水瓶與一個(gè)水杯的價(jià)格分別是多少元？

(2)某商場(chǎng)出售這樣的暖水瓶和水杯，為了迎接新年，商場(chǎng)搞促銷活動(dòng)，規(guī)定：暖水瓶打八折．若某單位想

要買(mǎi)5個(gè)暖水瓶和20個(gè)水杯，總共要花多少錢(qián)？

【題型3】（2023七年級(jí)·江蘇泰州·階段練習(xí)）用“?”規(guī)定一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定

???＝??2+2??+?．如：1?3=1×32+2×1×3+1=16

(1)求2?(?1)的值；

(2)若(?+1)?3=32，求a的值；

(3)若?=2??,?=1??3（其中x為有理數(shù)），試比較m、n的大?。?/p>

4

模塊二利用“去分母”解一元一次方程

【考點(diǎn)1解含分母的一元一次方程】

1??3

【例1.1】（2023七年級(jí)·四川遂寧·期中）解方程?=1下面去分母正確的是（）

23

A．1?(??3)=1B．3?2(??3)=6C．2?3(??3)=6D．3?2(??3)=1

第3頁(yè)共8頁(yè).

?+22?+3

【例1.2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）將方程=的兩邊乘可得到3=2，

23(?+2)(2?+3)

這步變形叫，其依據(jù)是．

?2??1

【例1.3】（2023六年級(jí)下·上海青浦·期末）解方程：?=1

64

??12??1

【變式1.1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·課堂例題）解方程=3?，去分母時(shí)，方程兩邊乘各分母的最小公

64

倍數(shù)（）

A．10B．12C．24D．6

【變式1.2】（2023七年級(jí)·福建漳州·期中）下面是一位同學(xué)解一元一次方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并解答問(wèn)

題．

??1??4

解方程：?=1

23

解：去分母，得3(??1)?2(??4)=1，……第一步

去括號(hào)，得3??3?2?+8=1，……………第二步

______，得3??2?=1+3?8，……………第三步

合并同類項(xiàng)，得?=?4．……第四步

(1)請(qǐng)補(bǔ)充完整題目中的橫線部分，這一步的解題依據(jù)是______；

(2)這位同學(xué)從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體的錯(cuò)誤是______；

(3)求解此方程．

【變式1.3】（2023七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）解方程：

2??1??2

(1)=1?

34

??1?+3

(2)1?=

32

?+22??3

?=1

(3)35

【考點(diǎn)2去分母解方程的應(yīng)用】

【例2.1】（2023七年級(jí)·江蘇宿遷·期中）明代程大位所著的數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道僧分饅頭問(wèn)題：

“一百饅頭一百僧，大和三個(gè)更無(wú)爭(zhēng)，小和三人分一個(gè)，大和小和得幾丁？”意思是100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，

大和尚1人吃3個(gè)饅頭，小和尚3人吃1個(gè)饅頭，問(wèn)大、小和尚各有幾人？如果設(shè)大和尚有?人，則可列出

一元一次方程為．

【例2.2】（2023七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期中）為慶祝校運(yùn)會(huì)開(kāi)幕，七（2）班學(xué)生接受了制作小旗的任務(wù)，原計(jì)

第4頁(yè)共8頁(yè).

劃一半的同學(xué)參加制作，每天制作面，完成了1以后，全班同學(xué)一起參加，結(jié)果比原計(jì)劃提前一天半完成

403

任務(wù)，假設(shè)每人制作效率相同，問(wèn)共制作小旗多少面？

【例2.3】（2023七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）兩地相距3600米，甲、乙兩人同時(shí)從這兩地相向而行，15分鐘

相遇．如果甲將自己的速度提高2，乙將自己的速度降低1，再?gòu)膬傻赝瑫r(shí)相向出發(fā)，則兩人分鐘相

51012

遇．那么乙單獨(dú)行完全程需要多少分鐘？

【變式2.1】（2023七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）甲、乙兩班的學(xué)生于上午8：00出發(fā)，到距學(xué)校27千米的一個(gè)

動(dòng)物園參觀．現(xiàn)有一輛汽車，每次只能坐一個(gè)班的學(xué)生，為了使兩個(gè)班同時(shí)到達(dá)，合理安排步行和乘車．若

步行速度為4千米/時(shí)，汽車速度為60千米/時(shí)，那么兩個(gè)班最早幾時(shí)幾分同時(shí)到達(dá)？

【變式2.2】（2023七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）榆樹(shù)市某中學(xué)七年一班全體學(xué)生參加社團(tuán)活動(dòng)進(jìn)行分組，原來(lái)

每組8人，后來(lái)重新編組，每組12人，這樣就比原來(lái)減少2組，請(qǐng)問(wèn)七年一班共有多少人？

【變式2.3】（2023·河北石家莊·七年級(jí)期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，卷七“盈不足”中有題譯

文如下：今有人合伙買(mǎi)羊，每人出5錢(qián)，會(huì)差45錢(qián)；每人出7錢(qián)，會(huì)差3錢(qián)．問(wèn)合伙人數(shù)、羊價(jià)各是多

少？甲、乙兩人所列方程如下，下列判斷正確的是（）

甲：設(shè)人數(shù)為?人，可列方程5?+45=7?+3，

?+45?+3

乙：設(shè)羊價(jià)為?元，可列方程為=．

57

A．只有甲對(duì)B．只有乙對(duì)C．甲、乙都對(duì)D．甲、乙都錯(cuò)

【規(guī)律方法綜合練】

0.1??22+3?

【題型】（六年級(jí)下上海楊浦期中）解方程：??=

12023··0.30.6

【題型2】（2023七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）暑假里，學(xué)校進(jìn)行校園部分設(shè)施維修，如果甲隊(duì)單獨(dú)做，需要20

天，如果乙隊(duì)單獨(dú)做，需要25天．甲隊(duì)先單獨(dú)做了若干天后，被叫去參加另外一個(gè)工程的緊急搶修，剩下

的維修工作由乙隊(duì)單獨(dú)做完．兩隊(duì)一共用了22天完工，甲、乙兩隊(duì)各做了多少天？

?

【題型】（七年級(jí)山西呂梁階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元一次方程的解為

32023··x9024?15=2024?+?

2

2??2

?=?6，則關(guān)于y的一元一次方程3+15=20242??+?的解為．

21243

【拓廣探究創(chuàng)新練】

2??1?+?

【題型】（七年級(jí)江蘇揚(yáng)州階段練習(xí)）小明解方程=?3，由于粗心大意，在去分母時(shí)，方

12023··32

程右邊的?3沒(méi)有乘6，由此求得的解為?=2，試求?的值，并求出原方程的解．

第5頁(yè)共8頁(yè).

【題型2】（2023七年級(jí)·江西新余·期中）設(shè)[?]表示不小于a的最小整數(shù)，例如：[1.6]=2，?21=?2，

4

[7]=7．

(1)求?33?[2.1]+[?3]的值；

5

3

(2)設(shè){?}=[?]??，?={?2.8}+54?41，?=?33?[2.1]+[?3]，解方程???1=???．

5454

【題型3】（2023七年級(jí)·廣東廣州·期中）解方程就是求出使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個(gè)

?

值就是方程的解（）．已知：關(guān)于的方程．

solution?2???=3+2

?

若是方程的解，則的值為；

(1)?=32???=3+2?

?

若關(guān)于的方程的解比方程的解小，求的值；

(2)?2???=3+22???=4?1?

2???3??????+1?

(3)若關(guān)于?的方程??=??與?=均無(wú)解，求代數(shù)式6?+4??2(??1)的值．

23346(?+1)

模塊三課后作業(yè)

1．（2023七年級(jí)·云南昆明·期末）解方程5?2(?+3)=0，去括號(hào)正確的是（）

A．5?2??3=0B．5+2??3=0C．5?2?+6=0D．5?2??6=0

??12?+1

2．（2023七年級(jí)·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）解方程=1?，去分母后正確的是（）

26

A．3(??1)=1?(2?+1)B．3(??1)=6?(2?+1)

C．3??1=1?(2?+1)D．3(??1)=6?2?+1

3．（2023七年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期中）已知?=2?+1，?=5??4，若A比B小1，則x的值為（）

A．2B．?2C．3D．?3

2+??

．（六年級(jí)上山東淄博期末）有一關(guān)于的方程=??1，已知該方程的解為?=?1，那么的

42023··x3m

值是()

A．?2B．3C．6D．8

5．（2023七年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）一項(xiàng)任務(wù)，由甲單獨(dú)做需16天完成，由乙單獨(dú)做需24天完成，現(xiàn)在乙先

做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間，假設(shè)完成這一項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間

為?天，則下列方程正確的是（）

???9??9???9?+9??+9

A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1

1624162416241624

6．（2023七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如果2(?+3)的值與?24互為相反數(shù)，那么?=．

第6頁(yè)共8頁(yè).

4??5

7．（2023七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）當(dāng)?=時(shí)，代數(shù)式的值是5．

3

?0.5+0.01?

8．（2023七年級(jí)·天津?yàn)I海新·期末）將?=1的分母化為整數(shù)．

0.70.03

???+2

．（七年級(jí)福建漳州期中）已知關(guān)于?的方程+=?有無(wú)數(shù)個(gè)解，則2??的值為．

92023··27

???

10．（2023六年級(jí)下·上?！るA段練習(xí)）我們規(guī)定兩中新運(yùn)算“*”和“Δ”，其規(guī)則為?*?=??+???,?Δ?=，

2

則關(guān)于?的方程5Δ(3*?)=3的解是．

11．（2023七年級(jí)·四川樂(lè)山·期中）解方程：

(1)2??19=7?+6

5??23?+1

(2)?=1

24

??41

12．（2023七年級(jí)·福建泉州·階段練習(xí)）若關(guān)于?的方程2?+5=?的解和關(guān)于?的方程與?2=的解相同，

32

求字母?的值．

0.3?+0.52??1

13．（2023七年級(jí)·四川宜賓·期中）在學(xué)完解一元一次方程后，聰明的小明