第05講 有理數(shù)的乘法（人教版）（解析版）

第05講有理數(shù)的乘法

【人教版】

·模塊一有理數(shù)的乘法法則

·模塊二多個(gè)有理數(shù)的乘法法則

·模塊三有理數(shù)的乘法運(yùn)算律

·模塊四課后作業(yè)

模塊一有理數(shù)的乘法法則

有理數(shù)的乘法法則：

（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；

（2）任何數(shù)與零相乘都得零；

（3）幾個(gè)因式都不為零，積的符號(hào)由負(fù)因式的個(gè)數(shù)決定.奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)為負(fù)，偶數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)為正.

【考點(diǎn)1有理數(shù)的乘法法則】

【例1.1】（2023·江蘇徐州·七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算(?4)×?1的結(jié)果等于（）

2

11

A．?4B．?2C．D．2

22

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法．根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可求解．

1

【詳解】解：(?4)×?1=4×=2．

22

故選：D．

【例1.2】（2023七年級(jí)·江蘇徐州·期末）下列算式中，積為負(fù)數(shù)的是（）

A．0×(?5)B．4×(?5)C．(?1.5)×(?2)D．2×3

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法法則計(jì)算即可得出答案．

【詳解】解：A、0×(?5)=0，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、4×(?5)=?20，故本選項(xiàng)符合題意；

第1頁(yè)共32頁(yè).

C、(?1.5)×(?2)=3，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、2×3=6，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)乘法運(yùn)算，有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相

乘，0乘以任何數(shù)都得0．

【例1.3】（2023七年級(jí)·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)a、b，則(?+?)(???)0

（用“>”“<”或“=”填空）

【答案】>

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，運(yùn)算及數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸得出?<0<?,|?|>|?|，判定出?+?,???

的符號(hào)，即可得出答案，能根據(jù)數(shù)軸得出?<0<?和|?|>|?|是解此題的關(guān)鍵．

【詳解】∵從數(shù)軸可知：?<0<?,|?|>|?|，

∴?+?<0，???<0，

∴(?+?)(???)>0

故答案為：>．

【變式1.1】（2023七年級(jí)·江蘇徐州·期末）計(jì)算：

(1)(+3)×(?2)；

(2)0×(?4)；

(3)?1×(?1)；

6

(4)(?15)×?1；

3

(5)?11×?4；

45

(6)?|?3|×(?2)．

【答案】(1)?6

(2)0

1

(3)6

(4)5

(5)1

第2頁(yè)共32頁(yè).

(6)6

【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可；

（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可；

（4）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可；

（5）先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再約分即可；

（6）先去絕對(duì)值，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可．

【詳解】（1）解：(+3)×(?2)=?6；

（2）解：0×(?4)=0；

1

（3）解：?1×(?1)=；

66

（4）解：(?15)×?1=5；

3

5

（5）解：?11×?4=?×?4=1；

4545

（6）解：?|?3|×(?2)=?3×(?2)=6．

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法計(jì)算．掌握有理數(shù)的乘法法則是解題關(guān)鍵．

5657

【變式1.2】（2023七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）比較大小，××（填“<”，“>”，或“=”）．

9796

【答案】<

【分析】先根據(jù)乘法法則計(jì)算，再比較大小即可．

56105737

【詳解】解：×=，×=

∵97219654

1035

又<，

∵2154

5657

×<×．

∴9796

故答案為：<．

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘法，有理數(shù)比較大小，熟練掌握有理數(shù)乘法法則是解題的關(guān)鍵．

【變式1.3】（2023七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，沿正方形對(duì)角線對(duì)折，互相重合的兩個(gè)小正方形里面的

數(shù)字的積為．

第3頁(yè)共32頁(yè).

【答案】0或?9

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，分兩種情況：當(dāng)對(duì)折后重疊的數(shù)為0和6時(shí)；當(dāng)對(duì)折后重疊的數(shù)為3

和?3時(shí)，利用有理數(shù)的乘法分別計(jì)算即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．

【詳解】解：當(dāng)對(duì)折后重疊的數(shù)為0和6時(shí)，乘積為0×6=0，

當(dāng)對(duì)折后重疊的數(shù)為3和?3時(shí)，乘積為?3×3=?9，

綜上所述，沿正方形對(duì)角線對(duì)折，互相重合的兩個(gè)小正方形里面的數(shù)字的積為0或?9，

故答案為：0或?9．

【考點(diǎn)2倒數(shù)】

31

【例】（七年級(jí)黑龍江綏化階段練習(xí)）8×=×=2.5×=×=1

2.12023··76.

17

【答案】0.46

83

【分析】本題考查了倒數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握倒數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)相乘所得的積為1，由此分析判斷出每個(gè)乘法式子中的因子，由此得到答案．

【詳解】解：根據(jù)題意得：

1731

8×=1，×=1，2.5×0.4=1，6×=1，

8376

17

故答案為：，，0.4，6．

83

【例2.2】（2023·四川南充·中考真題）如果6?=1，那么?的值為（）

11

．．．．?

A6B6C-6D6

【答案】B

【分析】直接利用倒數(shù)的定義得出答案．

【詳解】解：∵6a=1，

1

∴a=6

故選B．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了倒數(shù)，正確把握倒數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．

第4頁(yè)共32頁(yè).

1

【例】（七年級(jí)寧夏銀川期中）已知的倒數(shù)的相反數(shù)是5，則?=；的絕對(duì)值的倒數(shù)

2.32023··a7b

1

是2，則?=．

3

73

【答案】?±

367

1

【分析】本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，絕對(duì)值的定義．的相反數(shù)是??，的倒數(shù)是；一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是

aa?

1

它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，的絕對(duì)值是．先求出5的相反數(shù)，再求出其倒數(shù)即為的值；

007a

1

先求出2的倒數(shù)，再根據(jù)絕對(duì)值的意義得到的值．

3b

1117

【詳解】解：5的相反數(shù)是?5，?5的倒數(shù)為?，

∵77736

7

的值為?；

∴a36

1333

2的倒數(shù)是，±的絕對(duì)值是，

∵3777

3

的值為±．

∴b7

73

故答案為：?；±．

367

【變式2.1】（2023七年級(jí)·江蘇徐州·期末）寫(xiě)出下列各數(shù)的倒數(shù)：

22

?4，?，0.125，1，?1.4．

33

123235

【答案】?4的倒數(shù)是?，?的倒數(shù)是?，0.125的倒數(shù)是8，1的倒數(shù)是，?1.4的倒數(shù)是?

432357

【分析】?jī)蓴?shù)相乘為1的數(shù)互為倒數(shù)，注意0沒(méi)有倒數(shù)；帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)、小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再根據(jù)倒數(shù)

的概念解答即可．

1

【詳解】解：?4的倒數(shù)是?，

4

23

?的倒數(shù)是?，

32

1

0.125=，

∵8

∴0.125的倒數(shù)是8，

25

1=，

∵33

23

1的倒數(shù)是，

∴35

7

?1.4=?，

∵5

第5頁(yè)共32頁(yè).

5

∴?1.4的倒數(shù)是?，

7

123235

綜上可得：?4的倒數(shù)是?，?的倒數(shù)是?，0.125的倒數(shù)是8，1的倒數(shù)是，?1.4的倒數(shù)是?．

432357

【點(diǎn)睛】本題考查倒數(shù)，掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

【變式2.2】（2023七年級(jí)·山東德州·階段練習(xí)）點(diǎn)?在數(shù)軸上的位置如圖所示，則點(diǎn)?表示的數(shù)的倒數(shù)是

（）

11

．．．?3．?

A3B3CD3

【答案】D

【分析】本題考查求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，先根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，確定點(diǎn)表示的數(shù)，再根據(jù)互為倒數(shù)的兩數(shù)

之積為1，進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：由圖可知，點(diǎn)?表示的數(shù)為?3，

1

點(diǎn)?表示的數(shù)的倒數(shù)是?；

∴3

故選D．

【變式2.3】（2023七年級(jí)·重慶·期末）?1.5的倒數(shù)的絕對(duì)值的相反數(shù)為．

2

【答案】?

3

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義、相反數(shù)的定義、絕對(duì)值的定義解答即可．

3

【詳解】解：?1.5=?，

∵2

32

?的倒數(shù)是?，

∴23

22

?的絕對(duì)值是，

∴33

22

的相反數(shù)為?，

∴33

2

?1.5的倒數(shù)的絕對(duì)值的相反數(shù)為?，

∴3

2

故答案為?．

3

【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)的定義，絕對(duì)值的定義，相反數(shù)的定義，掌握倒數(shù)的定義及相反數(shù)的定義是解題

的關(guān)鍵．

第6頁(yè)共32頁(yè).

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級(jí)·廣東佛山·期末）數(shù)學(xué)運(yùn)算其妙無(wú)窮，小明在學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，存在兩個(gè)有理數(shù)

33

之和等于這兩個(gè)有理數(shù)之積，如+3=×3，請(qǐng)你再找兩個(gè)滿足以上規(guī)律且不相等的有理數(shù)，這兩個(gè)有理

22

數(shù)可以是．（一組即可）

44

【答案】+4=×4

33

【分析】本題考查了有理數(shù)的計(jì)算，根據(jù)題意即可求解．

4164

【詳解】解：+4==×4，

∵333

44

故答案為：+4=×4（答案不唯一）

33

【題型2】（2023七年級(jí)·四川綿陽(yáng)·期中）如圖，從左邊第一個(gè)格子開(kāi)始向右數(shù)，在每個(gè)小格子中都填入一

個(gè)數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格子中數(shù)的和都相等，則??的值為．

2??2??1?22……．

【答案】?2

【分析】根據(jù)題意，得?1+(?2)+2=?+(?1)+(?2)=2+?+(?2)，求出?和?的值，進(jìn)一步計(jì)算即可．

【詳解】解：根據(jù)題意，得?1+(?2)+2=?+(?1)+(?2)=2+?+(?2)，

∴?=2，?=?1，

∴??=(?1)×2=?2，

故答案為：?2．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法，有理數(shù)的乘法等，理解題意是解題的關(guān)鍵．

1

【題型】（七年級(jí)浙江金華期中）已知是不等于?1的數(shù)，我們把稱為的和倒數(shù)．如：的和

32023·a1+?a2

11

倒數(shù)為=，已知?=1,?是?的和倒數(shù)，?是?的和倒數(shù)，?是?的和倒數(shù)，，依此類推，則???

1+231213243…12

??3…?12=．

【答案】1

233

【分析】根據(jù)和倒數(shù)的定義分別計(jì)算出a1、a2、a3、…a12的值，代入計(jì)算即可求解．

1112131518113

【詳解】解：a1＝1，a2==，a3=1+1=，a4=1+2=，a5=1+3=，a6=1+5=，a7=1+8=，

1+122335588131321

1211341551891144

a8=1+13=，a9=1+21=，a10=1+34=，a11=1+55=，a12=1+89=，

21343455558989144144233

第7頁(yè)共32頁(yè).

1235813213455891441

則a?a?a…a＝1×××××××××××=．

1231223581321345589144233233

故答案為：1

233

【點(diǎn)睛】本題為新定義問(wèn)題，理解和倒數(shù)的定義，并根據(jù)定義依次計(jì)算出a1，a2，a3，a4，a5…a12的值是解

題關(guān)鍵．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級(jí)·陜西渭南·期中）在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)在?2的右邊，且到?2的距離為3，則

點(diǎn)A表示的數(shù)的倒數(shù)是（）

．．．．1

A1B-1C5D5

【答案】A

【分析】在數(shù)軸的右邊找出與點(diǎn)A距離是3的點(diǎn)表示的數(shù)，再求出倒數(shù)即可．

【詳解】解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)在?2的右邊，且到?2的距離為3，

∴點(diǎn)A表示的數(shù)為?2+3=1，

∴點(diǎn)A表示的數(shù)的倒數(shù)是1，

故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的性質(zhì)，倒數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

【題型2】（2023七年級(jí)·黑龍江牡丹江·期中）如果兩個(gè)有理數(shù)的和等于零，那么這兩個(gè)有理數(shù)的積是

（）

A．負(fù)數(shù)B．正數(shù)C．非負(fù)數(shù)D．非正數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則可得這兩個(gè)數(shù)為一正一負(fù)，或同為0，再根據(jù)乘法法則得到這兩個(gè)有理數(shù)的

積是負(fù)數(shù)或0．

【詳解】如果兩個(gè)有理數(shù)的和等于零，那么這兩個(gè)有理數(shù)互為相反數(shù)，故這兩個(gè)數(shù)為一正一負(fù)，或同為0，

則這兩個(gè)有理數(shù)的積是負(fù)數(shù)或0，

故選：D．

【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的加法法則和乘法法則，熟記法則是解題的關(guān)鍵．

【題型3】（2023七年級(jí)·重慶開(kāi)州·期中）在有理數(shù)?2，2，3，?5中，任意取兩個(gè)數(shù)相乘，最大的積為a，

最小的積為b，則???=

【答案】25

第8頁(yè)共32頁(yè).

【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)題意得出?=(?2)×(?5)，?=?5×3即可求解．

【詳解】解：由題意得：?=(?2)×(?5)=10，?=?5×3=?15，

∴???=10?(?15)=25，

故答案為：25

模塊二多個(gè)有理數(shù)的乘法法則

【考點(diǎn)1多個(gè)有理數(shù)相乘】

【例1.1】（2023七年級(jí)·江蘇徐州·期末）幾個(gè)不是0的有理數(shù)相乘，它們的積的符號(hào)（）

A．由因數(shù)的個(gè)數(shù)決定B．由正因數(shù)的個(gè)數(shù)決定

C．由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定D．由負(fù)因數(shù)的大小決定

【答案】C

【分析】可根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算的符號(hào)法則進(jìn)行判斷．

【詳解】解：幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．

當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法法則：幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因

數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．

【例1.2】（2023七年級(jí)·河北滄州·期中）下列算式中，積為負(fù)數(shù)的是（）

A．(?2)×(?5)B．2×(?3.5)×(?6.5)

C．(?1.5)×(?2)×(?3)D．(?1)×?3×0

2

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則分別計(jì)算

可得結(jié)果．

【詳解】解：A．(?2)×(?5)=10，故此選項(xiàng)不合題意；

B．2×(?3.5)×(?6.5)=45.5，故此選項(xiàng)不合題意；

C．(?1.5)×(?2)×(?3)=?9，故此選項(xiàng)符合題意；

D．(?1)×?3×0=0，故此選項(xiàng)不合題意；

2

故選：C．

第9頁(yè)共32頁(yè).

【例1.3】（2023七年級(jí)·甘肅定西·階段練習(xí)）絕對(duì)值小于2023的所有整數(shù)的積是（）

A．2023B．?2023C．0D．±1

【答案】C

【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的意義求得符合題意的整數(shù)，再求出它們的積，即可得出答案．

【詳解】解：∵絕對(duì)值小于2023的所有整數(shù)有0，±1，±2，±3，…，±2020，±2021,±2022,

∴2022×2021×…×2×1×0×(?1)×(?2)+…×(?2021)×(?2022)=0．

故選：C．

【變式1.1】（2023七年級(jí)·江蘇·專題練習(xí)）計(jì)算：

(1)3×(?1)×?1．

3

(2)?1.2×5×(?3)×(?4)．

4

(3)?5××?3×(?6)．

12152

5

(4)×(?1.2)×?1．

49

【答案】(1)1；

(2)?72；

(3)?1；

1

(4)6

【詳解】（1）解：3×(?1)×?1

3

1

=3×1×

3

=1；

（2）解：?1.2×5×(?3)×(?4)

=?1.2×5×3×4

=?72；

4

（3）解：?5××?3×(?6)

12152

543

=?×××6

12152

=?1；

第10頁(yè)共32頁(yè).

5

（4）解：×(?1.2)×?1

49

561

=××

459

1

=．

6

【點(diǎn)睛】本題考查多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

【變式1.2】（2023七年級(jí)·河北唐山·階段練習(xí)）計(jì)算(?5)×(?25)×(?2)×4的結(jié)果是（）

A．?100B．100C．?1000D．1000

【答案】C

【分析】將乘數(shù)交換位置，利用乘法法則計(jì)算．

【詳解】解：(?5)×(?25)×(?2)×4

=[(?5)×(?2)]×[(?25)×4]

=10×(?100)

=?1000，

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)乘法計(jì)算法則，熟練掌握乘法交換律和計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．

【變式1.3】（2023七年級(jí)·江蘇連云港·期中）如圖，數(shù)軸上有①②③④四個(gè)部分，已知?>0，???<0，

則原點(diǎn)所在的部分是（）

A．①B．②C．③D．④

【答案】B

【分析】本題考查數(shù)軸的特征，由?>0，???<0得到??<0，結(jié)合原點(diǎn)左右的數(shù)符號(hào)相反即可得到答案，記

住數(shù)軸的特征是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵?>0，???<0，

∴??<0，

根據(jù)數(shù)軸特征，原點(diǎn)所在的部分是②，

故選：B．

【考點(diǎn)2有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用】

【例2.1】（2023七年級(jí)·山西大同·階段練習(xí)）杜師傅攀登一座山峰，他每登高1km，氣溫的變化量為

第11頁(yè)共32頁(yè).

?6℃，當(dāng)杜師傅攀登6km后，那么氣溫將會(huì)（）

A．下降36℃B．上升36℃C．下降6℃D．上升6℃

【答案】A

【分析】用每登高1km氣溫的變化量乘6，求出攀登6km后，氣溫變化多少即可．

【詳解】(?6)×6=?36(°C)．

上升為正，下降為負(fù)，即攀登6km后，氣溫下降36℃，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，負(fù)數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是正確理解負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的意義．

【例2.2】（2023七年級(jí)·北京·期末）小昕爺爺去年在銀行里存入50000元，存定期兩年，年利率是2.70%，

到期時(shí)可以得到利息元．

【答案】2700

【分析】到期時(shí)，利息＝存入銀行的錢數(shù)×年利率×2．根據(jù)題意，列出相應(yīng)的式子．

【詳解】解：50000×2.70%×2=2700（元）

答：到期時(shí)可以取得2700元．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了存錢利息，根據(jù)題意列出相應(yīng)的式子是解題的關(guān)鍵．

【例2.3】（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）《周髀算經(jīng)》是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)理天文著作．書(shū)中記載這樣一道

題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，問(wèn)織幾何？”意思是：現(xiàn)有一個(gè)

不擅長(zhǎng)織布的女子，織布的速度越來(lái)越慢，并且每天減少的數(shù)量相同．第一天織了五尺布，最后一天僅織

了一尺布，30天完工，問(wèn)一共織了多少布？

第12頁(yè)共32頁(yè).

A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺

【答案】C

1

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，由題意可知每天減少的量一樣，由數(shù)的規(guī)律求和×30即可，

2(1+5)

讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：由題意得，第一天織布5尺，第30天織布1尺，

1

一共織布×30=90（尺），

∴2(1+5)

故選：C．

【變式2.1】（2023七年級(jí)·廣東肇慶·開(kāi)學(xué)考試）小猴子真真開(kāi)墾了一塊近似于三角形的地種香蕉，如果每

平方米收3千克香蕉，這塊兒地大約能收多少千克香蕉？

【答案】這塊地可以收香蕉60000千克

【分析】先利用三角形的面積公式求出這塊香蕉地的面積，再乘每平方米收香蕉的重量，列式解答即可．

1

【詳解】×160×250×3=60000（千克）

2

答：這塊地可以收香蕉60000千克．

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的面積的計(jì)算方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用．

【變式2.2】（2023七年級(jí)·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）一件商品的成本是200元，提高30%后標(biāo)價(jià)，然后打九折

銷售，則這件商品的利潤(rùn)為元．

【答案】34

【分析】根據(jù)利潤(rùn)等于售價(jià)減去成本、售價(jià)等于標(biāo)價(jià)乘以折扣率列式計(jì)算即可得．

【詳解】解：這件商品的利潤(rùn)為200×(1+30%)×90%?200

=234?200

=34（元），

故答案為：34．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘法與減法的應(yīng)用，正確列出運(yùn)算式子是解題關(guān)鍵．

【變式2.3】（2023七年級(jí)·天津武清·階段練習(xí)）七年級(jí)生進(jìn)行乒乓球比賽，在女子單打中，每一個(gè)選手都

第13頁(yè)共32頁(yè).

和其他選手進(jìn)行一場(chǎng)比賽，現(xiàn)有12名選手參加比賽，則一共要進(jìn)行場(chǎng)比賽．

【答案】66

【分析】根據(jù)單循環(huán)比賽規(guī)則：每?jī)扇酥g比賽一場(chǎng)首先求得每人比賽數(shù)，乘以人數(shù)后除以2即可．

【詳解】解：∵共有12人，每人打比賽11場(chǎng)，

∴共比賽12×11=132場(chǎng)，

∵是單循環(huán)，

1

共比賽×132=66場(chǎng)，

∴2

故答案為：66．

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)單循環(huán)的了解，解題的關(guān)鍵是能夠了解單循環(huán)的意義：?jiǎn)窝h(huán)就是每?jī)扇酥g比賽

一場(chǎng)，難度不大．

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級(jí)·浙江紹興·階段練習(xí)）4個(gè)非零有理數(shù)相乘，積的符號(hào)是負(fù)號(hào)，則這4個(gè)有理數(shù)中，

正數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．1個(gè)或3個(gè)

【答案】D

【分析】利用幾個(gè)非零有理數(shù)相乘，積的符號(hào)是負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)，當(dāng)

負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，積為正，即可求解．

【詳解】解：根據(jù)題意得：

∵4個(gè)有理數(shù)相乘，積的符號(hào)是負(fù)號(hào)，

∴這4個(gè)有理數(shù)中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為1個(gè)或3個(gè)，

∴正數(shù)有3個(gè)或1個(gè)，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘法的應(yīng)用，熟練掌握有理數(shù)乘法中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)決定積的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．

【題型2】（2023七年級(jí)·安徽淮北·階段練習(xí)）某水果種植基地種植一種優(yōu)質(zhì)黃桃，2020年黃桃總產(chǎn)量為

40t，2021年增產(chǎn)10%，2022年引進(jìn)先進(jìn)管理技術(shù)以及種植面積的逐步擴(kuò)大，每年黃桃的產(chǎn)量增產(chǎn)20%，

若2022年后該地黃桃增產(chǎn)量不變，則該基地黃桃產(chǎn)量突破60t的年份是（）

A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年

【答案】B

【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意成為解題的關(guān)鍵．

第14頁(yè)共32頁(yè).

根據(jù)增長(zhǎng)率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黃桃產(chǎn)量，然后對(duì)比即可解答．

【詳解】解：2021年基地黃桃產(chǎn)量為40×(1+10%)=44(t)，

2022年基地黃桃產(chǎn)量為44×(1+20%)=52.8(t)，

2023年基地黃桃產(chǎn)量為52.8×(1+20%)=63.36(t)>60，

因此突破60t的年份是2023年．

故選B．

【題型3】（2023七年級(jí)·江蘇淮安·期中）在數(shù)?5，1，?3，5，?2，2中任取三個(gè)數(shù)相乘，其中最大的積

是．

【答案】75

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的大小比較求出最大的積，取絕對(duì)值較大的數(shù)相乘，其中兩個(gè)負(fù)數(shù)或

者全是正數(shù)．

【詳解】解：最大的積=(?5)×(?3)×5=75，

故答案為：75．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的大小比較，熟記運(yùn)算法則并確定出最大是解題的關(guān)鍵．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

3

【題型1】（2023七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）果園里有桃樹(shù)240棵，蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)是桃樹(shù)的，梨樹(shù)的棵

4

數(shù)是蘋(píng)果樹(shù)的4，梨樹(shù)有（）棵．

5

A．144B．180C．60D．96

【答案】A

34

【分析】根據(jù)題意，得到等量關(guān)系蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)=桃樹(shù)×，梨樹(shù)的棵數(shù)=蘋(píng)果樹(shù)×，分別代入即可求解．

45

34

【詳解】240××=144（棵）

45

答：梨樹(shù)有144棵．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意得出等量關(guān)系，列出算式并進(jìn)行計(jì)算即可．

【題型2】（2023七年級(jí)·江蘇徐州·期末）計(jì)算2023×1?1×1?1×1?1×???×1?1的結(jié)果

2342023

為．

【答案】1

第15頁(yè)共32頁(yè).

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則求解即可得到答案．

【詳解】解：2023×1?1×1?1×1?1×???×1?1

2342023

1232022

=2023×?×?×?×???×?

2342023

由于從2到2023有2022個(gè)連續(xù)自然數(shù)，可知2023×?1×?2×?3×???×?2022中有2022負(fù)號(hào)，

2342023

1232022

∴原式=2023××××???×=1，

2342023

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘法運(yùn)算，熟記有理數(shù)乘法運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

【題型3】（2023七年級(jí)·山西大同·階段練習(xí)）如果4個(gè)不等的整數(shù)?,?,?,?滿足(5??)(5??)(5??)(5??)

=9，那么?+?+?+?等于．

【答案】20

【分析】因?yàn)?，?，?，?都是四個(gè)不同正整數(shù)，所以(5??)、(5??)、(5??)、(5??)都是不同的整數(shù)，四

個(gè)不同的整數(shù)的積等于9，這四個(gè)整數(shù)為?1、?3、1、2，由此求得?，?，?，?的值，問(wèn)題得解．

【詳解】解：因?yàn)?5??)(5??)(5??)(5??)=9，

每一個(gè)因數(shù)都是整數(shù)且都不相同，

那么只可能是?1，1，?3，3，

由此得出?、?、?、?分別為6、4、8、2，所以，?+?+?+?=20．

故答案為：20．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，解決本題的關(guān)鍵是一個(gè)正整數(shù)通過(guò)分解把它寫(xiě)為四個(gè)不同的整數(shù)的乘

積，要考慮有兩個(gè)正因數(shù)，兩個(gè)負(fù)因數(shù)，從而再結(jié)合題意解決問(wèn)題．

模塊三有理數(shù)的乘法運(yùn)算律

有理數(shù)的乘法運(yùn)算律:

（1）乘法的交換律：ab=ba；

（2）乘法的結(jié)合律：(ab)c=a(bc)；

（3）乘法的分配律：a(b+c)=abc+bc.

【考點(diǎn)1有理數(shù)的乘法運(yùn)算律】

第16頁(yè)共32頁(yè).

【例1.1】（2023七年級(jí)·江蘇徐州·期末）填空：

（1）10×(?6)=×10；

（2）[6×(?2)]×(?5)=6×[×(?5)]；

（3）(?24)×1?1=(?24)×+(?24)×．

68

1

【答案】(?6)(?2)?1

68

【分析】（1）直接利用乘法的交換律即可得到答案；

（2）直接利用乘法的結(jié)合律即可得到答案；

（3）直接利用乘法的分配律即可得到答案；

【詳解】解：（1）10×(?6)=(?6)×10；

故答案為：(?6)；

（2）[6×(?2)]×(?5)=6×[(?2)×(?5)]；

故答案為：(?2)；

1

（3）(?24)×1?1=(?24)×+(?24)×?1．

6868

1

故答案為：，?1．

68

【點(diǎn)睛】本題考查的是乘法的交換律，結(jié)合律，分配律的應(yīng)用，熟記乘法的運(yùn)算律的解本題的關(guān)鍵．

【例1.2】（2023七年級(jí)·福建泉州·期中）在算式：?3×8?11=?3×8+?3×?4中，運(yùn)用了

43443

（）

A．乘法結(jié)合律B．乘法交換律C．分配律D．加法交換律

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握乘法分配律．據(jù)此解答即可．

【詳解】解：算式?3×8?11=?3×8+?3×?4中，運(yùn)用了分配律．

43443

故選：C．

【例1.3】（2023七年級(jí)·江蘇連云港·開(kāi)學(xué)考試）觀察下圖，它的計(jì)算過(guò)程可以解釋（）這一運(yùn)算規(guī)律

第17頁(yè)共32頁(yè).

A．加法交換律B．乘法結(jié)合律C．乘法交換律D．乘法分配律

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形，可以寫(xiě)出相應(yīng)的算式，然后即可發(fā)現(xiàn)用的運(yùn)算律．

【詳解】解：由圖可知，6×3+4×3=(6+4)×3，

由上可得，上面的式子用的是乘法分配律，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算律是解答本題的關(guān)鍵．

100

【變式】（七年級(jí)重慶萬(wàn)州階段練習(xí)）計(jì)算：100×101=．

1.12023··101

【答案】10200

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可．

100

【詳解】100×101

101

100

=100+×101

101

100

=100×101+×101

101

=10100+100

=10200，

故答案為：10200．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，掌握有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．

【變式1.2】（2023七年級(jí)·江蘇徐州·期末）在算式1.25×?3×（－8）＝1.25×（－8）×?3＝[1.25×（－

44

8）]×?3中，應(yīng)用了（）

4

A．分配律

B．分配律和乘法結(jié)合律

C．乘法交換律和乘法結(jié)合律

D．乘法交換律和分配律

第18頁(yè)共32頁(yè).

【答案】C

【分析】本題利用運(yùn)算法則中分配律、交換律以及結(jié)合律的定義解題即可．

33

【詳解】由1.25×(?)×(?8)到1.25×(?8)×(?)，利用了乘法的交換律；

44

33

由1.25×(?8)×(?)到×(?)，利用了乘法的結(jié)合律；

4[1.25×(?8)]4

綜上：本題運(yùn)用了乘法交換律以及乘法結(jié)合律．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查乘法分配律、交換律、結(jié)合律的定義，解題時(shí)按照對(duì)應(yīng)定義求解即可．

【變式1.3】（2023七年級(jí)·山東德州·階段練習(xí)）下列變形不正確的是（）

A．3×(?2)=(?2)×3

1111

B．(?)×(?12)=(?12)×(?)

4242

1111

．(?+)×(?4)=(?4)×(?)+×4

C6363

D．(?25)×(?16)×(?4)=[(?25)×(?4)]×(?16)

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算律即可進(jìn)行解答．

【詳解】解：A：乘法交換律，交換因數(shù)的位置，積不變；故不符合題意；

B：乘法交換律，交換因數(shù)的位置，積不變；故B不符合題意；

1111

：(?+)×(?4)=(?4)×(?)+×(?4)；故符合題意；

C6363C

D：運(yùn)用了乘法交換律和乘法結(jié)合律；故D不符合題意；

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算律，掌握自然數(shù)范圍內(nèi)的乘法運(yùn)算律在有理數(shù)范圍內(nèi)同樣適用

是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)2有理數(shù)乘法運(yùn)算律的應(yīng)用】

43

【例2.1】（2023七年級(jí)·河南鄭州·階段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：999×118+333×?3?999×18

555

=．

【答案】99900

【分析】本題考查有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算．熟練掌握乘法分配律，是解題的關(guān)鍵．逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即

可．

第19頁(yè)共32頁(yè).

43

【詳解】999×118+333×?3?999×18

555

413

=999×118+999×??999×18

555

413

=999×118??18

555

=999×100

=99900．

故答案為：99900．

【例2.2】（2023·浙江麗水·三模）如圖，運(yùn)算中的（）處，填寫(xiě)的理由是（）

55

(?12)×(?37)×=37×12×（乘法交換

66

律）

=37×12×5（）

6

=37×10=370．

A．乘法交換律B．乘法結(jié)合律C．分配律D．加括號(hào)

【答案】B

【分析】根據(jù)運(yùn)算過(guò)程可知是根據(jù)乘法結(jié)合律．

5

【詳解】解：××

(?12)(?37)6

5

=37×12×(乘法交換律)

6

=37×12×5(乘法結(jié)合律)

6

=37×10

=370

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算律，熟練掌握和運(yùn)用有理數(shù)的乘法運(yùn)算律是解決本題的關(guān)鍵．

【例2.3】（2023·浙江金華·二模）對(duì)于有理數(shù)?，?，定義新運(yùn)算“△”，規(guī)則如下：?△?=??????+4，

如3△5=3×5?3?5+4=11．

(1)求3△(?4)的值．

(2)請(qǐng)你判斷交換律在“△”運(yùn)算中是否成立？并給出證明．

【答案】(1)?7

第20頁(yè)共32頁(yè).

(2)成立，見(jiàn)解析

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算；

（1）根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)交換律結(jié)合新定義進(jìn)行計(jì)算即可求解．

【詳解】（1）3△(?4)=3×(?4)?3?(?4)+4=?12?3+4+4=?7

（2）交換律在“△”運(yùn)算中成立

證明如下：

∵?△?=??????+4

?△?=??????+4=??????+4

∴?△?=?△?即交換律在“△”運(yùn)算中成立．

【變式2.1】（2023七年級(jí)·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀下面題目的運(yùn)算過(guò)程，并解決下列問(wèn)題．

17×25?6×25+7×(?2)?13×25

解：原式=17×25?6×25?13×25+7×(?2)①

=(17?6?13)×25+7×(?2)②

=(?2)×25+7×(?2)③

=?50?14④

=?36⑤

(1)上述計(jì)算過(guò)程，在第步出現(xiàn)錯(cuò)誤，本題運(yùn)算的正確結(jié)果是．

4

(2)結(jié)合上述解法給你的啟發(fā)，計(jì)算：5×?3?(?9)×?2+(?5)×．

737

【答案】(1)⑤，?64

(2)?11

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)乘法運(yùn)算的結(jié)合律進(jìn)行判定即可；

（2）結(jié)合材料提示，運(yùn)用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．

【詳解】（1）解：第⑤的計(jì)算是?50?14=?64，

∴在第⑤步出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確結(jié)果是?64，

故答案為：⑤，?64．

第21頁(yè)共32頁(yè).

4

（2）解：5×?3?(?9)×?2+(?5)×

737

342

=5×?+5×??(?9)×?

773

342

=5×???(?9)×?

773

=?5?6

=?11．

【變式2.2】（2023七年級(jí)·江蘇南京·期末）計(jì)算2×1+1+1+1+4×1+1+1+(?6)×1+1的結(jié)

234534545

果是．

【答案】3

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用有理數(shù)的乘法分配律求解，然后計(jì)算加減；解題的關(guān)鍵是掌

握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．

【詳解】2×1+1+1+1+4×1+1+1+(?6)×1+1

234534545

2124436

=1+++++1+??

3253525

2413246

=2+++?++?

3322555

=2+2?1+0

=3．

故答案為：3．

【變式2.3】（2023七年級(jí)·湖南湘西·期末）數(shù)學(xué)老師為了優(yōu)化同學(xué)們的運(yùn)算思維，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，復(fù)

習(xí)有理數(shù)綜合運(yùn)算時(shí)，布置了一道有意思的計(jì)算題：請(qǐng)用不同解法計(jì)算?1÷2?1.

636

1111

劉聰和他的小伙伴選擇常規(guī)解法：?1÷2?1=?1÷4?1=?1÷=?×=?;張明開(kāi)動(dòng)腦

63666662623

筋，經(jīng)過(guò)觀察算式特點(diǎn)，和同學(xué)們深入分析、探究，又找到了下面這種解法：原式的倒數(shù)：=2?1÷?1

366

=2?1×(?6)=?4+1=?3

36

1

所以，原式=?.

3

(1)請(qǐng)比較劉聰和張明兩位同學(xué)的解法，你喜歡哪位同學(xué)的解法？為什么？

(2)請(qǐng)選擇你喜歡的解法計(jì)算：?7÷13?7?7.

84812

【答案】(1)更喜歡張明的解法，理由見(jiàn)解析

第22頁(yè)共32頁(yè).

3

?

(2)5

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法分配律：

（1）根據(jù)解答過(guò)程可知張明的解題過(guò)程簡(jiǎn)單，且省去了通分計(jì)算，比較簡(jiǎn)便，則更喜歡張明的解法；

（2）仿照題意先把除法變成乘法，再利用乘法分配律求