高考數(shù)學（理）專題六 函數(shù)與導數(shù)

專題六函數(shù)與導數(shù)

小題增分專項1函數(shù)的圖象與性質(zhì)

命I題I分I析

卷全國卷3年高考

年份全國I卷全國II卷全國III卷

函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性(9

2020未考查未考查

函數(shù)周期的新定義問題?22

函數(shù)的圖象?T7

函數(shù)的圖函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用?12

2019函數(shù)的奇偶性

象不函數(shù)的奇偶性、函數(shù)求值?14

及單調(diào)性.T“

函數(shù)圖象的識辨(3函數(shù)圖象的識

2018未考查

抽象函數(shù)的奇偶性及周期性?T“辨下

②命題規(guī)律

1.高考對此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性

質(zhì)及分段函數(shù)等方面，常以選擇、填空題形式考查，難度一般。

主要考查函數(shù)的定義域、分段函數(shù)求值或分段函數(shù)中參數(shù)的求解

及函數(shù)圖象的判斷。

2.此部分內(nèi)容有時出現(xiàn)在選擇、填空題壓軸題的位置，多與

導數(shù)、不等式或創(chuàng)新性問題相結(jié)合命題，難度較大。

明確考點和準要點e考點整合?

1.函數(shù)定義的注意問題

(1)定義中最重要的是定義域和對應關(guān)系，值域是由兩者確

定，在求式研功類型的函數(shù)值時，應按先內(nèi)后外的原則計算。

(2)判斷兩個函數(shù)是否相同，應抓住兩點：①定義域是否相同;

②對應關(guān)系是否相同，解析式是否可以化簡。

2.函數(shù)的圖象

(1)對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩

種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平

移變換、伸縮變換和對稱變換。

(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、值域、零點時;要注意結(jié)

合其圖象研究。

(3)函數(shù)圖象的對稱性。

①若函數(shù)y=?r)滿足|a+x)=/(a—x),即應￥)=/(2a—x),則

y=?x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

②若函數(shù)y=%)滿足&+x)=~j{a—x),即fix)=-fi2a-x),

則y=/U)的圖象關(guān)于點3,0)對稱。

3.函數(shù)的性質(zhì)

(1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)。證明函

數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號和下結(jié)

論。復合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則。

(2)奇偶性：①若兀X)是偶函數(shù)，則於)=#一的。

②若7U)是奇函數(shù)，。在其定義域內(nèi)，則10)=0。

③奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶

函數(shù)在關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性。

(3)周期性：①若y=/(x)對xER,兀r+〃)=/a—〃)或?r+24)

=/(1)(〃>0)恒成立，則y=/(x)是周期為2a的周期函數(shù)。

②若>=/□)是偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線尤=。5/0)對稱，

則火光)是周期為2⑷的周期函數(shù)。

③若y=?x)是奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線尢=。520)對稱，

則7U)是周期為4⑷的周期函數(shù)。

④若J(x+a)=一/U)(或"+。)=/

(〃W0),則y=?x)是周

期為21al的周期函數(shù)。

易錯提醒】

錯用集合運算符號致誤：函數(shù)的多個單調(diào)區(qū)間若不連續(xù)，不

能用符號“U”連接，可用“和”或“，”連接。

精析精研重點攻關(guān)-----------------9考向探究e-----------

考向一函數(shù)的圖象及應用重點微專題

角度1函數(shù)圖象的識別

【例1】（2020.福建重點高中聯(lián)考）函數(shù)段的大致

ee

圖象為（

y

4

3

2

1

234工

-2

-3

解析易知函數(shù)1x）的定義域為（-8,0）U（0,+oo）,且八一

、（一療X3

x）—e=--=Ax）,所以犬x）為偶函數(shù)，排除B,C;XI）

]31

-j—7<1,排除Ao故選Do

e—e1

答案D

法悟通

本題是一道非基本初等函數(shù)圖象識別問題，求解這類問題常

用的方法是排除法，即先判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等，排除不

符合的選項，再觀察圖象上的特殊點，如本題通過觀察點（1,犬1））

所在的位置，排除剩余選項，從而使問題得到解答。

【變式訓練1]（2020.天津高考）函數(shù)的圖象大致

為（）

解析解法一：令顯然八一力=~/U）,為奇

函數(shù)，排除C,D;由直1）＞0,排除B,故選A。

4.r

解法二：令人幻=齊[由式1）＞0,式-1）＜0,故選A。

答案A

角度2函數(shù)圖象的應用

[例2]（2020?東北三校聯(lián)考）已知定義在R上的函數(shù)式尤）,

滿足川+x）=用一元），且當x[1,+8）時，7U）=

1一優(yōu)一2|,%￡[1,3),

<(x-\},則函數(shù)?x)的圖象與函數(shù)g(x)=

幻―^-，xe[3,+8),

Inx,1,

的圖象在區(qū)間［—5,刀上所有交點的橫坐標之和為

ln(2—x),x<l

()

A.5B.6

C.7D.9

解析函數(shù)/U)滿足#l+x)=/(l—x),故其圖象關(guān)于直線x

1—2|,xe[i,3),

=1對稱,由於)=j4一1、

.軟2g3,+8),

可得當3<歡7時，式幻=211—亍)且寅7)=紈3)=例1)

lax,x21,

=0o函數(shù)g(x)=L-、1滿足g(x)=g(2—x),故其圖象關(guān)

ln(2—x),x<\

于直線x=l對稱，由于兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于直線x=l對稱，

且［-5,刀的中點值為I,因此只需研究時，兩個函數(shù)圖象的

交點情況。由于g(l)=O=/U),g(2)=ln2勺(2)=1,g(5)=ln5勺(5)

=2,函數(shù)7U)與g(x)在［1,刀上的圖象的位置關(guān)系如圖所示，因此

當14W7時有3個交點，且x=l時兩函數(shù)的圖象相交，因為兩

個函數(shù)圖象都關(guān)于直線尤=1對稱，所以其交點也關(guān)于直線x=l

對稱，且每對交點的橫坐標之和為2,故在區(qū)間［-5,刀上所有7

個交點的橫坐標之和為2義3+1=7。故選C。

答案c

法悟通

(1)分析得到函數(shù)/U),g(x)的圖象都關(guān)于直線x=l對稱，因

此所有交點也關(guān)于直線x=l對稱。

(2)結(jié)合兩個函數(shù)在口,刃上的圖象，得到14W7時有3個交

點，且x=l時兩函數(shù)圖象相交。

(3)根據(jù)兩個函數(shù)圖象的對稱性得交點關(guān)于直線x=\對稱，

每對交點的橫坐標之和為2。

IlnxLx>0,

【變式訓練2】已知函數(shù)?r)=℃/八若存在實數(shù)

xOI2,x0，

X\,X2,X3，且為<X2<X3，使於1)=次尤2)=/(工3)，貝I由加2)的取值范

圍是()

A.[—2,0]B.[-1,0]

-2八]「11

C.一亨0D.1290

|liu|,x>0,

解析作出函數(shù)兀x)=《—八的圖象如圖所示。由題

x+2,xWO

設大汨)=7('2)=?/(13)=〃2,由圖易知加￡(0,2],且汨￡(—2,0],X2

2

￡2，11,羽￡(1,e]o則由式尤1)=機，得為+2=加，解得即=加

—2,所以陽/(冗2)=(〃2—2)機=("2—1)2—1,則當m=1時，X]J(X2)

取得最小值-1,當m=2時，工貿(mào)乃）取得最大值0,所以工貿(mào)應）的

取值范圍是故選B。

答案B

重I點加I強I練

1.（2020.廣州市調(diào)研測試）函數(shù)於）=ln|x|十|sinx|（一兀兀

且xWO）的圖象大致是（）

解析由于五一x）=ln|x|+|siar|=y（x）,所以函數(shù)式1）為偶函

數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱，由此排除B;HX）=ln7r+simi=ln7t>0,

由此排除C;當兀時，J（x）=\nx+sinx,令且（%）=/（1）=1+

cosx,則g%x）=—R+sinx<0,故/。）在區(qū)間（0,兀］上單調(diào)遞減，

W21

且75==>°，/（兀）==-1<°，所以“X）在區(qū)間（0,兀］上有唯一零

\乙，兀兀

點，火幻在區(qū)間（0,兀]上有唯一的極值點，由此排除A。故選D。

答案D

2.定義在R上的偶函數(shù)式x）滿足>U+1）=-/U）,當x￡[0,l]

時，?r）=-2x+l,設函數(shù)g（x）=（gL"（—1<X3）,則函數(shù)?x）與

g（x）的圖象所有交點的橫坐標之和為（）

A.2B.4

C.6D.8

解析因為yu+i）=-/（x）,所以正工）的周期為2,又/U）為

偶函數(shù)，所以式幻的圖象關(guān)于直線x=l對稱。函數(shù)g（x）=5"F

\A/

的圖象關(guān)于直線尤=1對稱，作出兀r）及g（x）在（一1,3）上的圖象，

可得四個交點的橫坐標之和為2X2=4。

答案B

考向二函數(shù)的性質(zhì)及應用重點微專題

角度1函數(shù)的單調(diào)性與最值

【例3】（1）（2020.北京市適應性測試）下列函數(shù)中，在區(qū)間

（0,+8）上為減函數(shù)的是（）

A.y=yjx+\B.y=x1~\

C.D.y=\og2x

解析函數(shù)y=也17在區(qū)間[—1,+8）上為增函數(shù)；函數(shù)y

crn

=f—1在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間(0,+

8)上為減函數(shù)；函數(shù)y=log2X在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)。綜上

所述，故選C。

答案c

(2)(2020?全國II卷)設函數(shù)Xx)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,則

心)()

A.是偶函數(shù)，且在g+8)單調(diào)遞增

(1n

B.是奇函數(shù)，且在一看與單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù),且在1—8一引單調(diào)遞增

\

(n

D.是奇函數(shù)，且在一82J單調(diào)遞減

2x+lW0,(

解析由]八得函數(shù)段)的定義域為-8,--(J

2x—1WO,I乙)

r1nn、

＜一》2)U\29+8),且關(guān)于原點對稱。因為八-x)=ln|2(—x)+

11-ln|2(-x)-11=ln|2x-11-ln|2x+11=-fix),所以函數(shù)"x)為奇

函數(shù)，排除A,C;當了￡(一3n

,5時，yu)=ln(2x+l)—ln(l—2x),

乙)

(n

易知函數(shù)於)單調(diào)遞增，排除B;當—°°,—5■時，7(x)=ln(一

2\I][2'

2x—1)—ln(1—2x)=lno_t=ln1+9i,易知函數(shù)#x)單調(diào)遞

減，故選D。

答案D

(3)如果對任意的實數(shù)達函數(shù)yu)都滿足且當

x制時，Xx)=log2(3x-1),那么函數(shù)段面一2,0]上的最大值為

（）

A.1B.2

C.3D.4

解析由函數(shù)yu）對任意的實數(shù)了,都有式光）=逃1一幻，可得

段）的圖象關(guān)于直線尤=［對稱。當X*時，y（x）=log2（3x—1）,J（x）

為增函數(shù)，故當入4時，段）為減函數(shù)，故函數(shù)於）在［-2,0］上單

調(diào)遞減，故?x）在［-2,0］上的最大值為4-2）=/（3）=log2（9—l）=

3。

答案C

法悟通

（1）利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較大小，解不等式，求函數(shù)最值

等。

（2）求函數(shù)的最值可以用圖象法、均值不等式法等，也要考慮

函數(shù)的單調(diào)性。

【變式訓練3］⑴（2020.廣州市階段訓練）已知函數(shù)段）滿

2

足犬1—幻=犬1+%），當無21時，yu）=x—則{x［/u+2）>i}=

（）

A.{x\x<-3或x>0}B.{x|x<0或x>2}

C.{x\x<—2或x>0}D.［x\x<2或x>4}

解析由負1—x）=/U+x）知函數(shù)兀x）的圖象關(guān)于直線x=l對

2

稱。因為當X^i時，fix）=X-9易知函數(shù)?￥）在［1,+8）上單

調(diào)遞增，且犬2）=1,所以式x）在（一8,1）上單調(diào)遞減，<0）=1,

所以由y（x+2）>l得x+2>2或x+2<0,解得x>0或x<—2。故選

Co

答案c

(2)已知函數(shù)?x)滿足Xx—1)=<5—x),且對任意的即,念￡[2,

+8),X]W12,都/即)'?)<0成立，若P=y(log216)，4=/(log47),

X\一X2

q，機的大小關(guān)系為(

q<m<pp<m<q

q<p<mp<q<m

解析因為八%—1)=/(5—工)，所以函數(shù)?x)的圖象關(guān)于直線x

=2對稱。又對任意的閑，處仁[2,+oo),xi^x2,都有"汨)_"'2)

X|一X2

<0成立，所以兀X)在區(qū)間[2,+8)上單調(diào)遞減，在(一8,2)上單

調(diào)遞增。因為log216=4,所以Xlog216)=汽4)=/(0),又

3m

l<log47<log48=2,Ov同錯誤！<錯誤！°=1,所以Ov錯誤！錯誤!

<l<log47<2,所以p<m<q。故選B。

答案B

角度2函數(shù)的奇倡性、周期性、對稱性

[例4](1)(2020?武漢市質(zhì)量監(jiān)測)已知函數(shù)/(x)=arsia￥+

光COSX(Q￡R)為奇函數(shù)，則/[―]J=()

C.ID.坐

oo

解析解法一：因為大幻為奇函數(shù)，所以VXER,八一幻=一

fix),即a(—x)sin(-x)+(-x)cos(-x)=~(orsiiu+xcosx),整理

得2oxsinx=0,所以〃=0,y（x）=xcosx,—^兀cos|I

60故選A。

解法二：因為?x)為奇函數(shù)，y=xcosx為奇函數(shù)，所以y=/(x)

-xcosx=cixsinx為奇函數(shù)，所以4=0,J(x)=xcosxf

60故選人。

答案A

(2)(2020?四省八校聯(lián)盟聯(lián)考)已知危)是定義在R上的奇函

數(shù),滿足＜1—x)=/U+x),若＞1)=2,則?1)+次2)+穴3)+…+

450)=()

A.一50

D.50

解析由題意知，-X),犬幻=一內(nèi)一x),所以於

+4)=/[l+(x+3)]=/Il-(x+3)]=A-2-^)=-A2+x),即/I(x

+2)+2]=-/2+x),所以大x+2)=-/U),所以/(x+4)=/a),

所以函數(shù)?r)的周期為4o而11)=2,/2)=/1+1)=/1-1)=/0)

=o,X3)=X-l)=-AD=-2,X4)=X0)=0,所以11)+12)+

X3)+A4)=0,所以Xl)+A2)+--+X49)+X50)=12[f(l)+A2)+

f(3)+f(4)]+/l)+A2)=2o

答案C

(1)奇偶性，具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上，其

圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時可以轉(zhuǎn)化

到部分(一般取一半)區(qū)間上，注意偶函數(shù)常用結(jié)論凡r)=/0r|)。

(2)周期性，利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì),

把不在已知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解。

(3)對稱性，常圍繞圖象的對稱中心設置試題背景，利用圖象

對稱中心的性質(zhì)簡化所求問題。

【變式訓練4】(2020?福建省質(zhì)量檢測)已知?x)是定義在R

上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(1,0)對稱。以下關(guān)于式、)的結(jié)論：

①/U)是周期函數(shù)；②/U)滿足大幻=式4一處；③/U)在(0,2)上

單調(diào)遞減；④/U)=cos號是滿足條件的一個函數(shù)。

其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.4B.3

C.2D.1

解析因為人幻為偶函數(shù)，所以五一x)=/a),又其圖象關(guān)于

點(1,0)對稱，所以八一幻=一/(2+工)，故/U+2)=-/U),故有人工

+4)=-/(x+2)=/a),即?x)是以4為周期的周期函數(shù)，故①正

確。|一x)=ya)=?x+4),把x替換成一不可得y(x)=y(4—%),故

jry

②正確。yu)=cos不是定義在R上的偶函數(shù)，且(1,0)是它的圖象

的一個對稱中心，可得④正確。不妨令?x)=—cos^,此時?r)

滿足題意，但人幻在(0,2)上單調(diào)遞增，故③錯誤。故正確結(jié)論的

個數(shù)是3。故選B。

答案B

重I點I加I強I練

2犬工＜0

1.已知函數(shù)於尸；＞o,則川)+?+?+.??+

式2021)=()

A.2021B.1516

2021>3031

D.------

C.22

2"

解析因為函數(shù)yu)=1［八所以1i)+#2)+#3)

用一2),x>0,

4------\-fi2021)=1Olixy(—1)+1010Xy(0)=l011X2-1+l

010X2。=崎k

答案D

2.定義在R上的函數(shù)7U)滿足兀。=/(2一工)及式次)=一4一工),

且在［0,1］上有段)=/,則/(201用=()

91

--

Ac.4B.4

9D.1

--

-44

解析函數(shù)?x)的定義域是R,40=一八一￡),所以函數(shù)?x)

是奇函數(shù)，又兀r)=/(2—x),所以人一元)=/(2+x)=-/U),所以14

+x)=~A2+x)=/a),故函數(shù)是以4為周期的奇函數(shù)，所以/

2019+1]=/(2020-1|=/[-j]=-/因為在[0,1]上有危)

/zn1用1

-選

故

-2=故/eO-D

所以/歷，4=-4

=x\k2J

答案D

3.(2020?西安五校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)於)和g(x),

其中?x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，g(x)的圖象關(guān)于點(2,-2)

中心對稱，且兀。一gakB'+r+s,則14)=o

v3

解析根據(jù)題意，Xx)~<?(x)=3+x+3,令工=0得，10)一

g(0)=4①，令工=4得，#4)一趴4)=81+64+3=148②。由

/U)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，得犬0)=犬4),由g(x)的圖象關(guān)于

點(2,一2)中心對稱,得g(0)+g(4)=-4,所以>0)—g(0)=/(4)

+g(4)+4=4,即式4)+雙4)=0③。又由/(4)—g(4)=148,得14)

=74o

答案74

重點增分專練（十四）函數(shù)的圖象與性質(zhì)

A級基礎達標

一、選擇題

1.已知集合M是函數(shù)丁=/云的定義域，集合N是函數(shù)

丁=/-4的值域，則MAN=（）

A\1」1

A.x^2B.ix—4^X<2,

C.（x,且4D.0

（n

解析由題意得M=—°°,5,N=[—4,+°°）,所以MCN

\乙）

=-4,故選B。

答案B

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=x錯誤！B.y=2~x

C.y=logixD.

2%

解析對于球函數(shù)y=？，當a>0時，y=K在（0,十8）上單

調(diào)遞增，當a<0時，在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以A正確;

D中的函數(shù)y=-可轉(zhuǎn)化為y=x「，所以函數(shù)y=，在（0,十8）上單

XX

調(diào)遞減，故D不符合題意；對于指數(shù)函數(shù)丁="'（〃>0,且QWI）,

當0<〃<1時，丁="在（一8,+8）上單調(diào)遞減，當a>[時，y=

優(yōu)?在（-8,+8）上單調(diào)遞增，而B中的函數(shù)y=2r可轉(zhuǎn)化為y

因此函數(shù)y=2=在（0,+8）上單調(diào)遞減，故B不符合題

意；對于對數(shù)函數(shù)y=logd(a>0,且。71),當Ov〃vl時，y=log“r

在(0,+8)上單調(diào)遞減：當々>1時，y=log“x在(0,+8)上單調(diào)

遞增，因此C中的函數(shù)y=log,x在(0,+8)上單調(diào)遞減，故c

2

不符合題意。故選A。

答案A

3.已知函數(shù)7U)的定義域為R,當x<0時，/u)=2",當一

時，|一x)=-7U),當時，傘+：=.一斗，貝1J犬5)

=()

11

A-B-

2-2C.-2D.2

解析因為當時，所以yu+D=/a),

所以負5)=穴1)。因為當一IWXWI時，|-x)=-/U),所以負1)

=一八一1)。又當x<0時，段)=2］，所以式5)=/(1)=-/(—1)=一

2-1=-1o故選B。

答案B

4.(2020?江西省紅色七校聯(lián)考)函數(shù)於尸號三(其中e為自

CIC

然對數(shù)的底數(shù))在［-6,6］的圖象大致為()

-6

D

解析#—%)=-3_1_.i=-/(x),故#x)為奇函數(shù)，排除D;當

eIe

8

>

x>0時，危）>0,排除C;又12）=e2_|_e-2l°故選Ao

答案A

5.（2020?浙江高考）函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[―TT,川上的

圖象可能是（）

解析令fix）=xcosx+sinx,所以/（—%）=（-x）cos-（—x）+

sin（—x）=—xcosx—sirix=—/x）,所以?x）為奇函數(shù)，排除C,D;

又y（兀）=一兀V0，排除B。故選A。

答案A

6.（2020.開封市一模）已知定義在[m—5,1—2m]上的奇函數(shù)

心），滿足x>0時，危）=2'—1,則#加）的值為（）

A.-15B.-7C.3D.15

解析由題意知，（加一5）+（1—2根）=0,解得〃2=—4。又當

第>0時,於）=2'—1,則人加）=八-4）=-/（4）=一（24—1）=一15。

故選A。

答案A

7.（2020?陜西省百校聯(lián)盟模擬）函數(shù)#x）在[0,+8）上單調(diào)遞

增，且7U+2）的圖象關(guān)于直線工=-2對稱，若式-2）=1,則滿

足代x—2）W1的％的取值范圍是（）

A.[-2Z2]B.（一8,-2]U[2,+8）

C.（—8,0]U[4,+oo）D.[0,4]

解析依題意得，函數(shù)式幻是偶函數(shù)，則式x—2)Wl,即4x

-2|)<X|-2|)o由函數(shù)式x)在［0,+8)上單調(diào)遞增得僅一2憶2,即

—2wx—242,04X44。所以滿足f(x-2)<l的x的取值范圍是［0,4］。

故選D。

答案D

8.已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足犬2+x)

十大%)=0,當x￡［—2,0］時，yU)=_f_2x,則當問4,6］時,y

=/a)的最小值為()

A.-8B.-1C.0D.1

解析由/(2+x)+Ax)=0,得14+x)+/(2+x)=0,以上兩

式相減，得式x)=A4+x),所以函數(shù)7U)是以4為周期的周期函數(shù)。

2

設［0z2］,則一［—2,0］,艮—x)=—(—x)—2(—x)=~l+Zx。

因為函數(shù)y=?x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以?()=—/(一尢)=/

一21=。-1)2—1,當x=l時，式x)取得最小值一1。由周期函數(shù)

的性質(zhì)知，當工￡［4,6］時，y=/(x)的最小值也是一1。故選B。

答案B

.Lx2,

9.(2020?南充市適應性考試)函數(shù)y(x)=

卜|，|x|>b

若方程風x)=a有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)a滿足()

A.a=1B.d>\C.OWavlD.a<Q

解析方程有且只有一個實數(shù)根，則直線y=a與人工)

的圖象有且只有一個交點，作出函數(shù)y(x)的圖象如圖所示，當。

=1時，直線y=〃與函數(shù)?x)的圖象有且只有一個交點。故選A。

答案A

10.已知定義域為R的函數(shù)兀燈滿足八一%）一/（%）=0,且yu

-x）=Xl+x）,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.yu+2）=/u）

B.函數(shù)丁=段）的圖象關(guān)于點（2,0）對稱

C.函數(shù)y=/（x+l）是奇函數(shù)

D.X2-x）=y（x-l）

解析在小一幻=41+工）中，把x換成1+x,得11—（1+幻）

=/i+（i+x））,即yu+2）=y（-x）；把x換成1一羽得犬1一（1一

x））=yu+（i—1））,即yu）=#2—X）。知函數(shù)y=ya）的圖象關(guān)于點

（2,0）對稱。故選B。

答案B

二、填空題

3一%+]x<0,

11.已知於）=、[若膽—1））=14,則實數(shù)。

的值為。

解析由題知|-1）=4,則y（4）=16+loga4=14,解得。=；。

答案!

Inx,xNl,

12,設函數(shù)yu）=I,若次加）>1,則實數(shù)”的取值

1Xyx<1,

范圍是o

解析解法一：若m>1,則由得能>e;若加vl,則

由1—">1,得〃i<0,故實數(shù)機的取值范圍是（一8,0）U（e,+

°°）o

lirv,x^l,

解法二：如圖所示，可得?x）=的圖象與直線

1—X,x<\

y=l的交點分別為（0』），（e』），由圖可知，若加九）>1,則實數(shù)相

xe'x2

13,（2020.南充市適應性考試）已知函數(shù)/U）=—

CI1

Sim,貝ljX-5)+X-4)+X-3)+X-2)+X-l)+y(0)+Xl)+X2)

+大3)+{4)+<5)的值是o

4xe"+x+2x(er+l)+22

斛析fix)=e.t+1+siax=--q-j—+sinx=^q-j-+x

22ex

+siiu,所以/一幻=B-；+1x+sin(—x)=%-sinx,所以

ex+l

2?ev

7U)+./(—X)=R+印=2,所以式0)+八0)=2=40)=1,所以

X-5)+A-4)+A-3)+X-2)+X-l)+A0)+Xl)+X2)+A3)+

A4)+A5)=5X2+1=11O

答案H

14.已知函數(shù)人x）是奇函數(shù)，當xvO時，y（x）=-f+x。右不

等式式￥）—xW2k）gd3>0且qWl）對0,乎］恒成立，則實數(shù)

〃的取值范圍是o

解析由已知得當x>0時，故fW210gH〃>0且

aWl）對0,孝|恒成立，即當xG0,乎］時，函數(shù)）=爐的

圖象不在y=21ogd圖象的上方，由圖（圖略）知0<a<］且210g,青

11

>角W-

\-W

牙4

_

1

答

案

一

_中

B級素養(yǎng)落實

15.定義在R上的函數(shù)加0滿足用+x）=/x-3）o當一2Wx〈0

2020

時，/(x)=cos7r-xy,當0W%v2時,/%)=2'-3,則％。=()

i=l

解析因為1l+x)=?r-3),所以./U)=?r+4),所以函數(shù)

jrr

?x)的周期為4。因為當一2Wx<0時，?￥)=以)5不，當0Wx<2時,

段)=2廠3,所以共1)=2-3=(,/(2)=/-2)=cos|-y]=cosy=

-yX3)=/(-l)=cos|^-1J=cos1=2,#4)=#0)=2。-3=0,所以

1111320203

41)+#2)+五3)+八4)=4一]+/+§=?所以X/lO=5O5Xg=

故選C。

答案C

16.（2020.北京高考）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部

門要求相關(guān)企業(yè)加強污水處理，排放未達標的企業(yè)要限期整改。

設企業(yè)的污水排放量W與時間1的關(guān)系為W=fit）9用一彗三臀

的大小評價在［。，句這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱。已知

給出下列四個結(jié)論：

①在陸，切這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;

②在殳時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；

③在73時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；

④甲企業(yè)在［0,切，［，切，色，旬這三段時間中，在［0,fi］

的污水治理能力最強。

其中所有正確結(jié)論的序號是。

解析由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在lx時刻高于乙企

業(yè)，而在亥時刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在［h,5這

段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故①正確；由題

圖知在右時刻，甲企業(yè)對應的關(guān)系圖象斜率的絕對值大于乙企業(yè)

的，故②正確；在辦時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污

水達標排放量，故都已達標，③正確；甲企業(yè)在［0,fj,［ti,t2］,

［t2,旬這三段時間中，在［0,5的污水治理能力明顯低于陰，切

時的，故④錯誤。

答案①②③

小題增分專項2基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

命I題I分I析

卷全國卷3年高考

年份全國I卷全國II卷全國III卷

指、對數(shù)函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)比較構(gòu)造指數(shù)函數(shù)的實際應用(4

2020

大小?T12比較大小?「］對數(shù)大小的比

較112

指數(shù)、對數(shù)比

較大小指數(shù)函數(shù)、對

2019以數(shù)學文化為數(shù)函數(shù)的性未考查

背景的估算思質(zhì)工

想工

分段函數(shù)的零對數(shù)式的比較

2018未考查

點問即?T9大小問題?T|2

修命題規(guī)律

從近3年高考情況來看，本部分內(nèi)容一直是高考的熱點，尤

其是對函數(shù)的零點、方程的根的個數(shù)的判斷及利用零點存在性定

理判斷零點是否存在和零點存在區(qū)間的考查較為頻繁。一般會將

本部分內(nèi)容的知識與函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合起來考查，綜合性較

強，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)。解題時要充分利用函數(shù)與方

程、數(shù)形結(jié)合等思想。

明確考點扣準要點e考點整合e

1.指數(shù)式與對數(shù)式的七個運算公式

(1)。⑦〃=優(yōu)?+〃；

(2)("〃=產(chǎn);

注：a>0,m,九WQu

⑶log，MN)=logJW+logJV；

M

⑷10g，W=10g“M—logJV；

(5)log”AT=〃logaM(〃6R)；

lOgaN

(6)?！?N；

log/N

⑺〃

logN=logba

注：a,/?>0且a,bWl,M>0,N>0o

2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)3>0,aWl）與對數(shù)函數(shù)y=logd（a>0,aWl）

的圖象和性質(zhì)，分Ovavl,兩種情況，當。>1時，兩函數(shù)在

定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當0<。<1時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函

數(shù)。

3.函數(shù)的零點問題

（1）函數(shù)pa）=/a）—g。）的零點就是方程#x）=ga）的根，即函

數(shù)y=Kx）的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象交點的橫坐標。

（2）確定函數(shù)零點的常用方法：①直接解方程法；②利用零點

存在性定埋；③數(shù)形結(jié)合，利用兩個函數(shù)圖象的交點求解。

4.應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序

讀題建模求解反饋

文字語言=數(shù)學語言=數(shù)學應用=檢驗作答。

精析精研重點攻關(guān)0考向探究

考向一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【例1】（1）（2019.浙江高考）在同一直角坐標系中，函數(shù)y

=5，y=logaQ+m（a>0,且aWl）的圖象可能是（）

解析解法一：若0<6?<1,則函數(shù)y=*是增函數(shù)，y=

10gM+]J是減函數(shù)且其圖象過點I，Ol,結(jié)合選項可知，D可能

1（n

成立；若々>1,則尸示是減函數(shù)，而y=log4x+5j是增函數(shù)且其

圖象過點修，o],結(jié)合選項可知，沒有符合的圖象。故選D。

解法二：分別取0=5和4=2,在同一直角坐標系內(nèi)畫出相應

函數(shù)的圖象（圖略），通過對比可知選D。

答案D

5445

（2）（2020?全國III卷）三知5<8-13<8O設。=log53,Z?=log85,

c=logi38,則（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

4

解析因為5=log88錯誤!，Z?=logs5,（8錯誤!）5=84>5）所以

8錯誤!>5,所以錯誤！=log88錯誤!>log85=h,即bv錯誤!。因為錯誤!=

k）g]313錯誤!，c=logi38,（13錯誤!）5=13%85,所以13錯誤!<8,所以

4

§=logi313錯誤!<logi38=c,即c>錯誤!。又2187=3?V55=3125,

所以Ig37<lg55,所以71g3V51g5,所以1Q皆3可5,所以。=曲ls<3]5<亍4

57

而8<5,所以51g8V71g5,所以氤>],所以力=藏〉]，所以c>b>ao

答案A

(1)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值，若

底數(shù)a的值不確定，要注意分a>\和0<a<\兩種情況討論:當a>]

時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當0<。<1時，兩函數(shù)在定義

域內(nèi)都為減函數(shù)。

(2)由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復合而成的函數(shù)，其性

質(zhì)的研究往往通過換元法轉(zhuǎn)化為兩個基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，

然后根據(jù)復合函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系進行判

斷。

【變式訓練1]⑴已知log2a>log2&,則下列不等式一定成

立的是()

A.B.ln(a—Z?)>0

解析由log2〃>log必可得a>b>0,故a—b>09逐一考查所給

的選項。A中，:B中，〃一)>。，ln(〃一6)的符號不能確定；

CZ

答案D

(2)在同一直角坐標系中，函數(shù)7U)=2—QX和g(x)=loga(x+

2)3>o,且的大致圖象可能為()

解析由題意知。＞0,函數(shù)式X)=2—ox為減函數(shù)，排除C;

2

若則函數(shù)#0=2—ox的零點的=一￡(2,+°°),且函數(shù)

ga)=iog“a+2)在(-2,+8)上為減函數(shù)，排除B；若則

2

函數(shù)?x)=2—ox的零點xo=~^(O,2),且函數(shù)g3)=k)ga(x+2)在

(-2,+8)上為增函數(shù)，排除D。

答案A

考向二函數(shù)的零點重點微專題

角度1確定零點的所在區(qū)間

[例2]函數(shù)./U)=log8X-1的一個零點所在的區(qū)間是

()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D?(3,4)

解析因為川)=0—；=—；<o,#2)=log82一/=；—30,所

以次1次2)<0,又知函數(shù)/(x)=k)g8X-］在(0,+8)上為單調(diào)增函

數(shù)，所以函數(shù)兀￥)在(0,+8)上只有一個零點，且零點所在的區(qū)

間是(1,2)。故選B。

答案B

法悟通

判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點的方法

(1)解方程：當函數(shù)對應的方程易求解時，可通過解方程判斷

方程是否有根落在給定區(qū)間上。

(2)利用零點存在性定理進行判斷。

(3)畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有

交點來判斷。

【變式訓練2】設?r)=lnx+x—2,則函數(shù)1好的零點所在

的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

解析解法一：因為41)=0+1—2=—1<0,人2)=1112+2—2

=ln2>0,所以函數(shù)?￥)的零點所在區(qū)間為(1,2)。故選B。

解法二：函數(shù)式x)的零點所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=lnx,

h(x)=-x+2圖象交點的橫坐標所在的取值范圍，作出圖象如圖

所示。由圖可知7U)的零點所在的區(qū)間為(1,2)。故選B。

答案B

角度2求參數(shù)的取值范圍

[例3]已知函數(shù)?r)=8+2(x<0)與g(x)=ln(x+〃)+2的

圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則實數(shù)。的取值范圍是()

(1、)

A.-8,-B.(—8,e)

C.■(i0D.口(,Jn

解析由題意知，方程y(—x)—g(x)=o在(o,+8)上有解，

即e~A+2—ln(x+6z)—2=0在(0,+8)上有解，即函數(shù)>=?一”與

y=ln(x+a)的圖象在(0,+8)上有交點。函數(shù)y=ln(x+a)可以看

作由y=lii￥左右平移得到，當avO時，向右平移，兩函數(shù)圖象總

有交點，當。=0時，兩函數(shù)圖象總有交點，當〃>0時，向左平

移，由圖可知，將函數(shù)y=lnx的圖象向左平移到過點(0,1)時，兩

函數(shù)的圖象在(0,+8)上不再有交點，把(0』)代入y=lnCx+a),

得l=ln?,即a=e,所以0<〃<e。綜上，a<eo

答案B

?法悟通

解決由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)

鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或

不等式求解。

e'+m

g(x)=/a)

(|Mlnx|,x>n0,

+x,若g(x)有且僅有一個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(—8,—1)B.[―1,+°0)

C.(一8,0)D.[0,+8)

解析如圖，g(x)有且僅有一個零點等價于方程式x