高考專題復(fù)習(xí)平面向量-解析版

平面向量

1.1坐標(biāo)運(yùn)算

題干中給出向量的點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可以考慮直接運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算；題干中沒(méi)給點(diǎn)坐標(biāo)，但圖形很特殊，例如正方

形、矩形、正三角形、等腰三角形、直角三角形、直角梯形和圓時(shí)，也可以考慮建系運(yùn)用。

4=(玉，)'|)，匕=。2，/)

a+b=(x}+x2,yi±y2)

公式儲(chǔ)備:

ab=xlx2^yiy2

若ab,則*iy2=WX或若ab>則a=.

若a_Lh,則a力=0.

LI坐標(biāo)運(yùn)算公式運(yùn)用

例1.(2021全國(guó)三卷)已知向量

a=(3,1),b=(l,0).c=a+左機(jī)若a_Lc，則A=

10

【答案】

1()

【解析】C=(3+4,1)M-C=0,解得人=-1.

【變式14】(2021全國(guó)二卷14)已知向量

a=(l,3),b=(3,4),若(a-痛)_L方，則2=.

【答案】|

【解析】因?yàn)椤?動(dòng)=(1,3)-2(3,4)=(1一343-42),所以由(4一加)_1_力可得,

3(1-32)+4(3-42)=0.解得；1=(.

【變式1?2］設(shè)向量〃=(2,1),“是與〃方向相反的單位向

量，則e的坐標(biāo)為。

【答案】(-苧，-李)

【解析】設(shè)未知數(shù)求解即可。

【變式1?3】(2021全國(guó)新課標(biāo)10題多選)已知。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，點(diǎn)C(cosa,sina),鳥(cos",一sinb)，A(cos(a+0,sin(a+0),人。,0),則()

A.網(wǎng)=網(wǎng)

B.同=網(wǎng)

C.OAOP3=OPtOP2

D.OAOP\=OP》OP、

【答案】AC

2

【解析1A：of>=(cosa.sin<z)，Og=(cos尸,一sin尸)，所以|OPX|=Vcos'a+sina=1,

IO鳥|=J(cos尸f+(—sin夕)2=1故|。41=|08|，正確：

B：=(cosa-l,sina)?AP2=(cos/?-1,-sin/?)?所以

2222

IAP}|=-J(cosa-1)+sina=vcosa-2costz+1+sina=

J2(l-cosa)=^4sin2y=2|sin^|

，同理|A昨J(cos夕-+sin?尸=21sin§|,故||不一定相等，錯(cuò)誤；

C：由題意得：OAOf}=lxcos(a+y?)+0xsin(a+/?)=cos(a+/?)?

OF[-OP,=cosa?cos/?+sina?(-sin/?)=cos(a+P)'正確;

D：由題意得：Ol\-lxcos<aiOxsintz-costif?OP,OPy-cos^xcos(<ai/?)i(sin尸)xsin(ai/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p)，故一般來(lái)說(shuō)。4O[woq故錯(cuò)誤；

故選：AC

例2.已知直角梯形ABC。中，AD//

BC,ZADC=^,AD=2,BC=\tP為腰CO上的動(dòng)點(diǎn)，則12PA+3閡的最小值為.

【答案】7

【解析】尸（0，月,A（2,0）,6（l,〃），則以=（2,—y）,PB=（l,A—y）,所以2%+3/>8=（7,34一5力，

|2E4+3Pfi|=^72+（3/i-5y）2>7.即12PA+3叫「7

【變式2-1]在平面直角坐標(biāo)系.iQy中，已知圓

22

C.x+y-6x+5=0t點(diǎn)A8在圓上，且八8=2>/5,則|。4+。網(wǎng)的取值范圍是.

【答案】[4,8]

【解析】設(shè)A（X[,y）,鞏%力），AB中點(diǎn)

x+42

^0=-4^-

2:.OA+OB=2OM

2

由圓C:f+y2-6x+5=0可得：(^-3)2+/=4

.-.C(3.0),C4=r=2

,M在以C為圓心，半徑r=l的圓上

:.OM^OC-r=ZOM^OC+r=4

即2W|(W|W4

4<|OA+Ofl|<8

【變式2?2】如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,

AD=AAB+pAC,則儲(chǔ)〃的值為()

【答案】C.

【解析】建系計(jì)算即可.

【變式2-3】已知點(diǎn)4氏。在圓/+9=1上運(yùn)動(dòng)，且

AB1BC,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則依+?8+岡的最大值為()

A.6B.7

c.8D.9

【答案】B

【解析】由他_L8C可知4C為直徑，則尸A+M=2PO,設(shè)雙如治)，貝I

PA+PB+PC=2PO+PB=(x0-6,y0),又?-5在圓上，.?.呼+城=1,(-14%41)，所以

\PA+PB+P(^=37-12^<49.故|用+P3+PC|47

【變式2-4】已知單位向量。力滿足“?〃=(),且

|c-a|+|c-2Z>|=>/5,則卜+24的取值范圍是()

A.[1,3]B.[2夜,3]

C.吐,2&

D.

【答案】D

【解析】以a力為基底建立直角坐標(biāo)系，可知a=(l,O),b=(O.I),設(shè)c=(x,y)

,一《+卜一況=J("lj+y2+商+(￥-2『=石

即C(x,y)到A(l,0),8(0,2)的距離和為B|人用=石

二.C在線段AB上，AB直線方程為2x+y-2=0

\c+2^=小+2p+y2,即線段AB匕動(dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)D(-2,0)的距離

通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得：卜+盟由=%“=號(hào)=4逐|c+24x=|閉=3

所以『+2］的取值范圍是［竽

【變式2-5］(2018屆成都零診16)在平面直角坐標(biāo)反萬(wàn)

中，已知點(diǎn)P在曲線“：丫=^^之0)上,曲線”與l軸相交于點(diǎn)B,與)軸相交于點(diǎn)0，點(diǎn)52,1)和

點(diǎn)￡(L0)滿足OD=2CE+/QP(九〃GR),則4+〃的最小值__________。

【答案】；

【解析】點(diǎn)P在曲線C上，設(shè)點(diǎn)P(2cosa,sina),a€0,^,曲線C與>軸相交于點(diǎn)B，則5(2.0),與丫

軸相交于點(diǎn)C，則。(0,1).故

.2sina-2cosa

A=----------------------

2cosa+sina.2sina-2cosa+3

OD=(2,1),CE=(1,-1)由題可解得4+4=------------------令

32cosa+sina

4=-------------

2cosa+sina

r,、2sina-2cosa+3、6-3cosa+6sina_..、”「八九］此、由、*小耳?1

/(?)=--------；-----,則/(/=不-------；———>0,「./(a)在0.-二單倜速增，最小值為二

2cosa+sina(zcosa+sina)*2J2

1.2線性運(yùn)算

1、四心問(wèn)題及重要結(jié)論:

重心：

外心:

內(nèi)心:

垂心:

2、中點(diǎn)結(jié)論：（畫圖說(shuō)明）

3、三點(diǎn)共線結(jié)論：（畫圖說(shuō)明）

4、等和線結(jié)論：（畫圖說(shuō)明）

1.2.1四心問(wèn)題

例3.已知△A6C的重心為O,則向量80=（

A.—ABH—ACB.—AB+—AC

33

2|

C.一AB+-ACD.—ABd—AC

3333

【答案】C

【解析】設(shè)瓦尸分別是AC,AB,BC的中點(diǎn)，由廣。是三角形ABC的重心，

所以8O=28E=2X(AE-A8)=2X15AC-A8)=-248+14C.

3331/J33

故選：C

【變式3/】在W中，。是三角形的外心，過(guò)點(diǎn)8作

BG_L4O于點(diǎn)G,AB=8,則AO/1G=（）

A.16B.8

C.24D.32

【答案】D

【解析】如圖，

A

C

B

AOAG=AO(AB+BG)=AOAB+AOBG，因?yàn)锽G_LAO,所以AOAG=AO-A3'又因?yàn)?是三角形的

外心，所以|Ab|cos/B4O=1|A%|，

2

-->->1T

所以A。?AG=月。-A8=—|ABF=-x64=32-

22

故選：D

【變式3?2】。是平面上一定點(diǎn)，A6,C是平面上不共線的

+而,〃e[0.xo),則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)、ABC的(

三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】

ABAC

因?yàn)橥?網(wǎng)分別表示向量AB,AC方向上的單位向量,

AH的方向與的角平分線一致，又因?yàn)椤ㄆ?

所以N8ACOP=OA+,所以

A8

AB

OP-OA=AP

所以向量AP的方向與的C的角平分線一致，所以P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)內(nèi)心.

故選:B.

【變式3+】已知點(diǎn)0、N、P在ABC所在平面內(nèi)，且

I0AR。例=jOC|,NA+NB+NC3PAPB=PBPC=PCPA>則點(diǎn)。、N、P依次是、ABC的

()

A.重心、外心、垂心

B.重心、外心、內(nèi)心

C,外心、重心、垂心

D.外心、重心、內(nèi)心

【答案】C

【解析】

\OA\=\OB\^OC\，則點(diǎn)O到.ABC的：個(gè)頂點(diǎn)距離相等，

是二的夕卜心.

NA+NB+NC=。，:.NA+NB=-NC，

設(shè)線段A8的中點(diǎn)為M,則2NM=-NC，由此可知N為A6邊上中線的三等分點(diǎn)（靠近中點(diǎn)M）,所以N

是二ABC的重心?

PAPB=PBPC，?.PH（PA-PC）=PBCA=O.

即P8_LC4，同理由尸PC=PCRA，可得PCIAB

所以P是二ABC的垂心.

故選：C.

【變式3?4】已知。是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面

上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)「滿足0P=04+2（A3+4C），26（0,+00）,則點(diǎn)尸的軌跡一定通過(guò)

△ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心

C.重心D.垂心

【答案】C

【解析】

由原等式，得OP;以A8+AC），即AP=〃A8+AC），

根據(jù)平行四邊形法則，知AB+AC=24。（。為8c的中點(diǎn)），

所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△A8C的重心.

故選：C.

【變式3-5】設(shè)。為所在平面上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)戶滿足

°P=-9—+〃戛看―R+―^），其中A&C為4SC的三個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)

41K的

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

【答案】A

【解析】取5cll?點(diǎn)為M.貝I］。8+OC=2OM.

原式可得°P=°M+〃師嬴+麻嬴）,即

儲(chǔ)ABAC、BCABBCAC

MWPD=i一-+匚片一-）,等式左右兩邊同乘BC可得BCMP=2l（zj—j一-+7—j一-）x，又

ABcosBACcosC|4B|cos8AOcosC

BCAB=-\BC^Ali\cosB,HC-AC=\3C^AC\cosC

?BC(BP+CP)=0'

所以P軌跡一定過(guò)外心.

【變式3-6】已知。是平面上一定點(diǎn)，滿足

ARAC

OP=OA+^———+———）,2e［0,-HX）,則尸的軌跡一定通過(guò)的_（外心、垂心、

|AB|cosB|AC|cosC

重心、內(nèi)心）

【答案】垂心

【解析】

OP=OA+〃———+———),:,OP-OA=2(———+—^―)

|AB|cos6MClcosC\AB\cosB|AC|cosC

即AK際T際U'8s八網(wǎng)網(wǎng)，cose二耳畫，

?.BC(———+———)=一忸］+忸。|=0,———+———)垂直，即

|A818sB|4C|cosC1111|4B|cos?|AC|cosC

APIBC^

???點(diǎn)尸在8c的局線上，即尸的軌跡過(guò)AABC的垂心.

故答案為：垂心

【變式3-7】設(shè)。是平面上一個(gè)定點(diǎn)，k、B、C是平面

4c儡（440,?o））.則點(diǎn)P的軌跡為

上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足。

【答案】/B4c的角平分線

【解析】

ACAB='（信［+尚P'AP=A（e+e，其中q,e?為與AC、A8同向

因?yàn)椤恪阋?箴f=°A+'府［’所以“。一°、l2

的單位向量，因此弓+6與44c的角平分線方向向量同向，因?yàn)锳pLjG+e2同向，所以點(diǎn)P的軌跡為

aAC的角平分線.

1.2.2中點(diǎn)與三點(diǎn)共線結(jié)論

例4.在MC中，4。為8C邊上的中線，E為A。的中

點(diǎn)，若EB=mAB+nAC，則，■=(

1

A.3B,-3

【答案】C

【解析】

A

由4。為8c邊上的中線，E為AO的中點(diǎn)，可得:

131

EB=EA+AB=--(AB+AC)+AB=^AB--AC

?所以巴=一3,

44n

故選：C.

【變式4-1】在./WC中，。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC

上，且滿足3A￡=AC，BE交AD于點(diǎn)/，則BF=（）

3-1

A.—AB4—ACB.-AB--AC

4444

C.—48H—ACD.--AB-^-AC

3333

【答案】A

【解析】

由題設(shè)可得如下幾何示意圖,

設(shè)BF=2BE，AF=pAD''''BE=AE-AB=^--AB'

ABF=ABE=^-AA^VAD=AB+AC^，AF…AC),

322

rfa旬“3、4n2AC"(A8+AC)

?AB+BF=AF^i(1-2)A8+—^―=上~----，

?*-BF=-BE=—--AB

444

故選:A.

【變式《2］已知A、3、C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)原點(diǎn)

2|

0),且。4=+2nOC(m>0,n>0),則一+一的最小值為()

ntn

A.10B.9

C.8D.4

【答案】C

【解析】因?yàn)?、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O),且OA=〃Q8+2〃OC(m>0,〃>0)，所以

m+2/i=l

—+l=f—+l\/n+2n)=4+—+->4+274=8

mn\mn)mn

當(dāng)且僅當(dāng)例=㈣，即時(shí)等號(hào)成立.

mn24

故選：C

【變式4.3】已知點(diǎn)M是.ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在

邊AC上，且EC=2AE，則向量EW=（）

A.-AC+-AB

23

B.—AC4—AB

62

C.—ACH—AB

26

D.—ACH—AB

63

【答案】D

2

【解析】IIIEC=2AE>則EC=qAC

)IO[11

貝|JEM=EC+CM=^AC+-CB=-AC+-(AB-AC)=-AB+-AC

故選：B

【變式4?4］如圖，在以BC中，點(diǎn)。滿足8O=2OC，過(guò)

點(diǎn)。的直線分別交直線4B、AC于不同的兩點(diǎn)M、N.T&AB=mAM?AC=nAN＞則的最小

值是（）

A

C.D.3+20

33

【答案】D

【解析】

i2

因?yàn)?O=2OC'所以4。=§48+'

因?yàn)锳8=/〃AM，AC=nANf所以4O=1AM+g4N，

因?yàn)镸、0、N三點(diǎn)共線，所以巴+2=1，〃?+2/7=3，

33

則_1+_1」1+4切+2〃）=4+&+竺〕$3+2、陣）=上地,

當(dāng)且僅當(dāng)2〃2=〃/時(shí)等號(hào)成立，

故■!■+」的最小值是3+2衣,

mn3

故選：D.

【變式小5】在ABC中，4）=2Q8，E是線段CD上除

2II

去端點(diǎn)外的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AS=a,AC=b,AE=-xa+yb,則一+一的最小值為___________.

3xy

【答案】4

【解析】

32

因?yàn)榈茫篈B=^AD，所以4E=§xA8+yAC=xA￡>+y4C，

又因?yàn)镃,E,D三點(diǎn)共線，則x+y=l,x>Qy>0,所以

_!_+_!_=（_1+_1）（工+）,）=2+2+上22+2,印工=4,當(dāng)且僅當(dāng)2=2,即x=y=：時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小

xyxyyx\yxy>x2

值為4.

故答案為：4.

【變式4-6］已知地8C上的高為2,“為6c

上一動(dòng)點(diǎn)，滿足A8sinB+ACsinC=A"，則AB+AC的最小值是

【答案】8

【解析】

因?yàn)锳8sinB+4c與山。=4”，〃為BC上一動(dòng)點(diǎn)，即從H,C三點(diǎn)共線，

山共點(diǎn)的三個(gè)向量，終點(diǎn)共線的充要條件得sinB+sinC=l-

ABC中，邊BC上的高八。=2,如圖:

2222

令A(yù)6=c,AC=b,則sin8=-,sinC=—,則一+丁=1,

cbcb

所以AB+AC=Z>+c=(Z>+c)-^—+^=4+—+-y-

當(dāng)且僅當(dāng)》=c時(shí)取"=",

所以當(dāng)〃=c時(shí)，AB+AC取最小值8.

故答案為：8.

【變式小7】（2019屆成都一診16）已知G為./WC的重

心，過(guò)G點(diǎn)的直線與邊4B,AC分別相交于點(diǎn)RQ0若4P=/UB，則當(dāng)ABC與-MQ的面積之比為

w時(shí)，實(shí)數(shù)/.的值為___。

【答案】川成

【解析】由G為的重心可知AG=：48+g4C,又因?yàn)锳P=/UB以及只G,Q三點(diǎn)共線可得

AG=-L^P+fl--!-U（2,即絲=__=上_。接著分析三角形的面積比值，由于

3AI3A）AC,?32-1

1--------

3義

S.APQ=S..+S,A西=2sM即+二「1S..3=qS八腕+三、J[S.二,由題可知&ABC與■的面積之

jA-IjjjA—1

...20?A1a93T3

比為—，所rri以—?-------=—,解伴a=一或一。

93332-12045

【變式4-8］（多選）如圖直線/過(guò)/收的重心G（三條

中線的交點(diǎn)），與邊AB、4C交于點(diǎn)P、Q,且AP=/UB，AQ=〃AC,直線/將SBC分成兩部分,

分別為“閘和四邊形PQC8,其對(duì)應(yīng)的面積依次記為Sq”和右邊物談，則以下結(jié)論正確的是（）

C.多產(chǎn)的最大值為J

D.警絲絲的最大值為9

'△人加3

【答案】BC

【解析】

因?yàn)镚是.4?。的重心，所以AG=gAB+：AC，

因?yàn)锳P=/L4B,AQ=pAC9所以AG=[AP+；A。?

因?yàn)镻、G、Q三點(diǎn)共線，所以‘-+'-=1，-+-=3,B正確,

323MA〃

因?yàn)?A“=；MBAC?$in4，=；,APAQsinA，

所以辦SwSsS2-y=?,

因?yàn)椋?>0,〃>0,所以g+后，即322后，當(dāng)且僅當(dāng)4=〃時(shí)取等號(hào),

故加邊形g=_!__[w2_]=W,C正麗，故選：BC.

SMPQ344

1.2.3等和線

例5.如圖，在正六邊形械DEF中，點(diǎn)P是CDE內(nèi)

（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)人尸=/M8+〃AF（A〃eR）,則4+〃的取值范圍是（)

A.[L2]B.[2,3]

C.[2,4]D.[3,4]

【答案】D.

【解析】畫圖，利用等和線結(jié)論即可。

【變式5/】（2017年全國(guó)三卷理科12）在矩形ABCD

中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=+,則2+4的最大

值為（）

A.3B.272

C.45D.2

【答案】A.

【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)A(O」),B(O,O),C(ZO),D(Zl),P(x,力,

易得圓的半徑「=專，即圓C的方程是(X—2)2+爐=1，

AP=(x,y-]),AB=(0,-1),AD=(2,0)，若滿足AP=AAB+，

則5=2〃，〃/乂=]_),，所以％+〃J_y+1

ly-1=-222

設(shè)z=”y+l,即l-y+l-zuO,點(diǎn)P(x,y)在圓(x-2)?+,2=[上,

<2

所以圓心（2,0）到直線;—），+1-z=0的距離d￡r，即§而，解得14zW3,

所以z的最大值是3,即義+〃的最大值是3,故選A.

【變式5-2］如圖，在直角梯形ABC。中，

ADLAB,AB//DC,AD=DC=l,AB=2t動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線80相切的圓上或圓內(nèi)移動(dòng),

設(shè)AP=2A￡)+〃4B(A〃GR),則A+“的取值范圍是()

A.(1,2)B.(0.3)

【解析】畫圖，利用等和線結(jié)論即可。

【變式5-3］在三角形ABC中，AD=2DB,AE=2EC,P為

線段上的動(dòng)點(diǎn)，AP=AAB+JUAC,^JUER?則人+4=()

2

A.?B.-

3

C.-D.2

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意得點(diǎn)D為線段AB三等分點(diǎn)靠近B點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AC三等分點(diǎn)靠近C點(diǎn)的點(diǎn),

所以=AD+DP=AD+xDE=AD+A］AE-AD\

=xAE+[\-x)AD^

=|x4C+|(l-x)AB,

22222

所以〃=§x,4=§(l_.r),所以義+〃=§X+§0-％)=Q.

故選：B.

例6.在“48所在平面上的點(diǎn)。滿足PC=xE4+yP8,且

2x+3y=5,請(qǐng)指出點(diǎn)。的位置.

【解析】令PC=5PD=(2x+3y)PD.則PD=--—PA+——PB.

2x+3y2x+3y

即.PO=2工PA+.3ypq其中pa=_LPA,PB[=-PB.

2x+3y2x+3y23

由=1得點(diǎn)4再。共緣即點(diǎn)。在直線A4上.

再由PC=5PD知點(diǎn)C在直線AB,上，其中P\=5PA，PB2=5%.如下圖:

【變式6-1】如圖,04,Q8是圓。上的三點(diǎn),且線段CO的延

長(zhǎng)線與線段BA的延長(zhǎng)線交于圓。外的點(diǎn)D，若0C=mOA+nOB，則m+〃的取值范圍是.

【答案】("，一1)

【解析】令OC?20。,則由點(diǎn)D在圓。夕卜，且在CO的延長(zhǎng)上可知2<-1.

由比=尤加=mOA+nOB得°D=？04+V°B

AA

由民AO三點(diǎn)共線可得3+：=1=>w4-n=A<-l.

X4

【變式6.2】給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量。4和。6，

它們的夾角為120.如圖所示，點(diǎn)C在以。為圓心的圓弧A6上變動(dòng)?若OC=xQA+)08其中xyeH,則

x+).的最大值是.

【答案】2

【解析】畫圖，利用等和線結(jié)論即可。

【變式6-3】如圖，四邊形。鉆。是邊長(zhǎng)為1的正方形,

OD=3,點(diǎn)P為BCD內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OP=aOC"OD(a,BeR),則a+4的最大值等于

【答案】-

3

【解析】畫圖，利用等和線結(jié)論即可。

【變式6?4】在APA8所在平面上的點(diǎn)C滿足

。。="<4+)中",且尤+,，=2,請(qǐng)指出點(diǎn)(^的位置.

【解析】令PC=2PD=(x+y)P/j〃lJPD=-^—PA+-^—PH.

x+yk+y

由—+上=1得點(diǎn)A仇。共線，即點(diǎn)。在直線上.

x+yx+y

再由PC=2PD知點(diǎn)C在直線A'B'上，其中RV=2必依'=2?8,如下圖:

\

【變式6?5］若是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)C滿足

PC=xPA+yPB，且2x+3y=4,其中.*>0,y>0,則|PC\的取值范圍為_____.

【答案】［岑，I2)

［解析］令PC=4PD=(2x+3y)PD，則PD=--—PA+——PB.

2x+3y2x+3y

ep.PD=2xP\+3-VPB.，其中PA=-PA,PB,=-PB.

2x+3y2x+3y23

由丁=i知點(diǎn)。在線段A4上(不含點(diǎn)如下圖：

2x+3y2x+3y

由于在APA4中,1班1=3,1|=2,幺尸4=60。,且點(diǎn)D在線段A4上（不含端點(diǎn)A，4），因此

IPH國(guó)叨|<|M|,其中PH是邊44上的高.又由AB：=（PB「PA）2=PB：+PA2-2PB「PA=7可得

|人用|=".再由5”《=；1P4卜128/&11/42與=；|481|「〃|可得|「〃|=半.所

以.曄iqpO|<3.再由PC=4PD可知U^qPC|<12.

13數(shù)量積運(yùn)算

1.數(shù)量積公式：ab=\a\\b\cos6

2.關(guān)于公式說(shuō)幾點(diǎn)：

①怎么理解向量夾角（畫圖說(shuō)明）

②數(shù)量積的正負(fù)與夾角的銳鈍有什么關(guān)系（用充分必要說(shuō)明）

3.什么是向量的投影：（通過(guò)畫圖推導(dǎo)出投影公式）

a在b上的投影：

b在。上的投影：

4.投影有正負(fù)嗎？（聯(lián)想到直線截距有正負(fù)嗎？）

5.極化恒等式（中線分解）（適用于起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相對(duì)固定的兩個(gè)向量的數(shù)量積）

ab=-[（a+b）2-（a-b）2]

4

1.3.1巧用投影

例7.已知向量外/>滿足,卜訓(xùn)=2島且?。?。+加，則〃在〃方向上的投影為（）

A.3B.-3.

C..空I）.”

22

【答案】B.

【解析】考慮b在°上的投影為所以只需求;由aA.a+b可得:

W'

〃.([+〃)=a+a-h=0'所以a*=-90

【變式7/］若過(guò)點(diǎn)P（1J）的直線/與"?：9+y2=4相交

于A"兩點(diǎn)，則04的取值范圍是。

【答案】［TO］

【解析】本題中因?yàn)?4,08位置不斷變化，所以不易用數(shù)量積定義求解，可考慮利用投影，即過(guò)B作直線

的垂線，

垂足為。，通過(guò)旋轉(zhuǎn)4B可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)08_1_。4時(shí)，。4。3=0,A3位于其他位置時(shí)，。點(diǎn)始終位于04的

反向延長(zhǎng)線上，OAOB=-\OA\\OD\,故。4。8<0,故（QVO8）=0,下面尋找最小值，即|￡>。|的最

大值，可得當(dāng)B在。4上的投影與C市合時(shí)，|力4|最大，即為|AC|,此時(shí)直線OP即為直線AB。所以

（CMOB）=-\OA\-\OE\=4Hoe1=-r1=-4,進(jìn)而OAOB的范圍是［-4,0］

答案：［-4,0］

【變式7?2】已知=且QAO"的夾角為

150,點(diǎn)C是從。的外接圓上優(yōu)弧演上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則Q4.0C的最大值是

【答案】*

【解析】當(dāng)MC與04同向時(shí)，od在QA上的投影最大.?.（O4OC）、=國(guó)收4

在.A08中，|AZ；|2=\0A^+\OB^-2\O^\OB\cosAOB=7.-.|AB|=>/7

.2R=IM=，=2幣即R="

sinAOB1

2

二國(guó)=|ON|+|N￡>|=；10Al+R=；+/

???3。%=1叫網(wǎng)［+"

【變式7-3］如圖，在等腰直角ABC中，AC=BC=2*

點(diǎn)M,N分別是八比8。的中點(diǎn)，P點(diǎn)是.ABC內(nèi)（包括邊界）任一點(diǎn)，則4V.MP的取值范圍是

pN

B

【答案】［-3,3］

【解析】因?yàn)镻點(diǎn)為ABC內(nèi)任?點(diǎn),所以很難用定義表示出4V,MP,考慮利用投影定義。由,叫長(zhǎng)為

定值，可得4V為卜必乘以MP在AV上的投影，所以只鐳找到投影的范圍即可。由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)范圍

可知，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，投影最大；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí),投影最小。

AN-MPMAX=ANMB=-(AC+AB)-AB=3,

22

7.ANMPMIN=ANMA=-(AC+AB)i--AB)=-3，

2'2

即可求得AN-MP的范圍為［-3,3］

【變式7-4］如圖，在ABC中，AB=BC=4,Z4BC=30

,4）是邊BC上的高，則AOAC的值等于（

8

【解析】由圖中垂直可得：AC在通上的投影為|AD|,所以3/右=卜41只需求出▲械的高即可。

由已知可得|4。|=|4用.5加48。=2,所以AD-AC=\AT^=4

【變式7-5］如圖，。為4?C的外心

回=4,AC=2."AC為鈍角，”是邊8C的中點(diǎn)，則4W.A。的值為（)

B

M

B.5

C.61).7

【答案】B.

【解析】外心。在上的投影恰好為它們的中點(diǎn)，分別設(shè)為只Q，所以A0在ARAC上的投影為

網(wǎng)=；網(wǎng),|匈=電小而M恰好為BC中點(diǎn)，故考慮4M=；（48+4C）,

所以AM-AO=^AB+AC\AO=^[ABAO-^ACAO）=；（*.+JAC『）=5.

【變式7?6】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為乙乙4=60也為

DC中點(diǎn),若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則■?AN的最大值為（）

A.3B.26C.6D.9

【答案】D.

【解析】思路：在所給菱形中AM方向大小確定，在求數(shù)量積時(shí)可想到投影定義，即乘以AN在4W

上的投影，所以AM的最大值只需要尋找4V在AM上的投影的最大值即可，而A點(diǎn)也確定，所以只

需在菱形內(nèi)部和邊界尋找在AM投影距離A最遠(yuǎn)的，結(jié)合圖像可發(fā)現(xiàn)C的投影距離4最遠(yuǎn)，所以

（AM-AN）^=AMAC，再由4）,旗表示后進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可

（AA/-/W）=AMAC=[AD+DM]■\AD+Z>C）=（AD+；OC）（AO+OC）

，2I.23

=AD+-DC+-ADDC=9

22

【變式7-7】已知°為線段AB上一點(diǎn)，P為直線AB外一

PA.pcPB?PC

點(diǎn)，，為PC上一點(diǎn)，滿足照一網(wǎng)=4,慳一/山何=同?且

aJACAPBIBA

DZ（2>0），則]可的值為（）

B.4

C.3D.5

【答案】C.

【解析】思路：從條件上判斷很難用代數(shù)方式求解，所以考慮作圖觀察幾何特點(diǎn)，則

由倩=胃及所求?？上氲酵队芭c數(shù)量積的關(guān)系'即“在

\PA-PB\=\AI^=\OPAM

上的投影相等，即可得到PC平分4PB再分析

ACAPAC_AP

0)=>A/=A網(wǎng)+向‘q網(wǎng)+網(wǎng)為ACAP的單位向量，由平行四

邊形性質(zhì)可得和向量平分NE4C,而4與和向量共線，從而A/平分NMC,由此可得/為必尸8的內(nèi)

BlBA

心，作出內(nèi)切圓。所求■視為加在麗上的投影，即忸修，由內(nèi)切圓性質(zhì)影后

|P*|PE|

\AD\=\AF\,所以網(wǎng)網(wǎng)=(四+同)-(同+網(wǎng))=小耳-網(wǎng)=4,且有1M+|四=|明=10,

］網(wǎng)=1陽(yáng)

可解得早半

=\BF\=3

IM

132向量分解

例8.在直角梯形ABCQ中，AB//CD,』BAD=；,且

AB=AD=^CD=\,M是88的中點(diǎn)，且BN=2ND，則CM-4V的值為()

【解法一：建系】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為X軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題可知

D(0,0),C(2,0),A(0,l),A/(1,l),fl(l,1),設(shè)N(x,y),BN=2ND,:.(x-1,j-1)=2(-x,-y),解得，

3127

:.CMAN=

2336

【解法二；分解】

AN=AD+DN=ADA--DB=AD+-(DA+AB)2,八14c

由圖可知，33=-AD+-AB；

113

CM=CD+DA+-AB=-2AB+DA+-AB=——AB-AD；

222

2132-21.->1

:.4N-CM=(—A。+-AB)(--AB-AD)=-ADAB一一AD——AB'一一ADAB

332333

217

=0——xl——xl—0=-—.

326

【變8?1】如圖，在ABC中

ZMC=120,AB=NAC=l,。是邊BC上一點(diǎn)，DC=2BD,則4Z8C=

【答案】-g

【解析】"O.BC=(AC一砌=

12I22R

-AC+-ABAC--AB'=--

3333

【變8.2】菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,ZBAD=120?點(diǎn)及廠

分別在BCCZ)上，且BE=2BC,DF=xDC,AE-AF=\,CECF=~,貝()

【答案】D.

【解析】AE=AB+BE=AB+ABC,AF=AD+DF=AD+pDC

CE=(\-X)CB,CF=(\-p)CD..AEA尸=(AB+43C)(AO+〃OC)

ABAD+ABCAD+juDCAB+ApBCDC=-2+4A+4p+2^

CE-CF=(l-A)(l-xz)CBCD=-2(Azz-(2+//)+l)

3f7

-?+4(2+//)+9.2ft=12(2+*)+初=—/+〃=—

二，/、3nl2=>\I?

-2(辦-(4+〃)+1)=-萬(wàn),_“+〃)={

【變8-3】如圖，已知在，/WC中，

ADLAB,BC=>I3BD\A[^=\,則4cA￡>=

A

"DC

【答案】G

[解析】ACAD=AD一(石一1)Aq?AO==&

1.3.3極化恒等式

例9.(2017?全國(guó)2)已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角

形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則0A?(P8+PC)的最小值是()

【答案】B

【詳解】

方法一：

取BC中點(diǎn)。,連接AD，記AD中點(diǎn)為H

PB+PC=2PD

:.PA(PB+PC)=2PAPD

=?(PW+HA)-(PH+HD)

=2(PH+HA)(PH-HA)

2223

=2(PH'-HA')>-2HA'=——

2

方法二：

建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則40,6)，伏TO)，。(1,0)，

設(shè)P(x,y)，貝lJA4=(_x,VJ_y)，PB={-\-x-y),PC=(l-x,-y)-

則PA?(PB+PC)=2x2-2島+2y2=2[x2+(y

當(dāng)％=0，”在時(shí)，取得最小值2x

，2

故選：B?

【變式9?1】（2021?陜西西安市?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高

三其他模擬）正..ABC的邊長(zhǎng)為3,M是正ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則MA（2MB+MC）最小值是

（）

A.-B.-2

4