高考二輪考點(diǎn)專題突破檢測：集合簡易邏輯函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式專題 解題方法技巧專題 解析幾何專題(含詳細(xì)答案)

專題達(dá)標(biāo)檢測

一、選擇題

1.已知集合4={Hiva}，8=31Wxv2"且4U（：/）=R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.B.a<\C.心2D.a>2

解析：[依=（-8,i）“2,+oo）,又人口（腹8）=艮數(shù)軸上畫圖可得。22,故選

答案：C

2.已知命題p：9人/命題/x+長[一右一21則下冽說法正確的是（）

A.〃是g的充要條件

B.〃是g的充分不必要條件

C.p是q的必要不充分條件

D.〃是q的既不充分也不必要條件

解析：（W2*WT=-2WXS-1,即[—2,-1]

?則2,—z].

1

又[-2,—1]—2,—2.

?'?p是q的充分不必要條件.

答案：B

3.（2010?湖南）金小?等于（）

A.-21n2B.21n2￡.-In2D.In2

解析：VJM^//r=ln娟=ln4—In2=1n22—In2=21n2—In2=ln2.

答案：D

4.（2010?課標(biāo)全國）設(shè)偶函數(shù)危）滿足外）=/一8（x20）,則以心一2）>0}=（）

A.{x\x<—2或x>4]B.{x|x<0或x>4}

C.{小<0或x>6}D.{x|x<—2或x>2}

解析：???凡丫）=/一8。20）且於）是偶函數(shù)；

8,GO,

[—8,x<0,

x—220,

*4（X-2）3-8>0,

x—2<0,fQ2,fx<2

或3={或{t

—(x—2)3—8>0,[x>4,lx<0.

解得x>4或x<0,故選B

答案：B

5.(201。浙江)設(shè)函數(shù)兒1)=45血(2?+1)一心則在下列區(qū)間中函數(shù)及x)不存在零點(diǎn)的是

()

A.1-4,-2]B.[-2,0]

C.[0,2].D.[2,4]

解析：???4))=4sinIX),

K2)=4sin5-2v0,

:,函數(shù)人外在[0,2]上存在零點(diǎn)；

V/(-2)=-4sin1+1<0B.

???函數(shù)4》)在[—2,0]上存在零點(diǎn)；.

又會(huì)尋一；<4,

借-5=4—管一加)，

而加2)<0,???函數(shù)人幻在⑵4]上存在零點(diǎn).故選A.

答案：A

6.已知函數(shù)H%)=0?+/+山+]的圖象如右圖所示，且|即|<|對，則有)

A.a>0,b>0,<?<0,d>0

B.a<0,b>0,c<0,d>0

C.￡?<0,b>0fc>0td>0

D.a>0,b<0,c>0,d<0

解析：因，(x)=3ox2+2bx+c,由題意可知導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象如右圖所示，所以

a<0,c>0,一襲0，則伏0,由原函數(shù)圖象可知辦0.

答案：C

二、填空題

7.已知函數(shù)凡r)=o?+Aosx—x,且人-3)=7,則/3)的值為

解析：設(shè)g(x)=av+反os4，則g(x)=g(—X).由人-3)=g(—3)+3,得g(—3)=逐一

3)—3=4,所以g(3)=g(—3)=4,所以13)=以3)—3=4—3=1.

答案：1

8.已知函數(shù)?￥)=鼠1+3(￡—1)/一爐+I(QO)的單調(diào)減區(qū)間是(0,4),則k的值是

解析：f(1)=34+6(&-l)x

?二函數(shù)的單調(diào).減區(qū)間是(0,4),?\f(4)=0,

答案：|

9.(2010?煙臺(tái)模擬)已知函數(shù)例)的值域?yàn)閇0,4]。包-2,2]),函數(shù)ga)=or-l,

[-2,2],任意即￡[—2,2],總存在即￡[—2,2],使得g(w)=#q)成立，則實(shí)數(shù)。的

值范圍是.

解析：由題意知[0,4]是g(Q值域的子集.

而g(x)的值域?yàn)閇―2同一l,2|a|-1].

顯然一2⑷一1<0,故只需2間一124,即同斗

55

--

22

55

答

或

案2-V-

a2a、-2

10.(2010?濰坊模擬)給出定義：若，〃一拉。+氐其中小為整數(shù))，則小叫做離實(shí)數(shù)x

最近的整數(shù)，記作{x}=m在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)凡￥)=僅一{處|的四個(gè)命題:

①函數(shù)y=/U)的定義域?yàn)镵，值域?yàn)閨_0，5」；

②函數(shù))，=段)的圖象關(guān)7直線x=卻任Z)對稱；

③函數(shù)y=ya)是周期函數(shù)，最小正周期為I；

④函數(shù)y=y(x)在[一；，m上是增函數(shù).

其中正確的命題的序號(hào)是.

解析：①由定義知：一/<￥—{%}《；

.,?.OW|x-{x}|W^

■r

.\Ax)的值域?yàn)?,2，

，①對，②對，③對，④錯(cuò).

答案：???

三、解答題

11.設(shè)集合A為函數(shù)y=ln(—f-2x+8)的定義域，集合8為函數(shù)〉=1+工、的值域，

人I1

集合。為不等式(or—》a+4)W0的解集.

⑴求AC8；

(2)若CGCRA,求。的取值范圍.

解：(1)由一d—2x+8>0,解得4=(—4,2),

又y=x+47=(x+1)+47-1，

J1X十1

所以8=(—8,-3]U[1,+8).

所以AC8=(-4,-3]U[1,2).?

(2)因?yàn)橐駻=(-8,-4]U[2,+8).

由(ar-!)a+4)W0,知q#0.

①當(dāng)a>0時(shí)，由(x—Ja+4)W0,得。=[一4,曰不滿足C*A；

②當(dāng)a〈0時(shí)，由[一十)(1+4)20,得。=(一8,-4)u[《，+8),欲使CG]小,

則]很2,

解得一孚Wa<0或OQW內(nèi).

又〃<0,所以一坐Wa<0.

綜上所述，所求。的取值范圍是一坐，0)

12.(2010?湖南)已知函數(shù)凡r)=f+Zu+c(b,cWR),對任意的x^R,恒有

f。)小心).

(1)證明：當(dāng)x20時(shí)，Ax)W(x+c9；

(2)若對滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式7(c)-"b)WM(c2一從)恒成立，求M的

小值.

(1)證明：易知/a)=2x+b.由題設(shè)，對任意的xGRZt+bWf+bx+c,即f+

(力-2)x+c—b20恒成立，所以(b—2)2—4(c—b)WO,從而c21+1.于是c2l,

且c2?彳Xl=|b|,因此2c—8=c+(c—b)>0.

故當(dāng)x^O時(shí)，有(1十。2-/(幻=(2。一。)4+《。一1)1。.

即當(dāng)x20時(shí)，fix)^(x+c)2

(2)解：由⑴知，問外當(dāng)時(shí)，有M岑李二仁廠二篝

hc+2/?11

號(hào)則一1U<1,77『7=2-j7j7；.而函數(shù)g(r)=2—的值域是

CU-1C1II1II

(-8,,).因此，當(dāng)C>|〃時(shí)，W的取值集合為|,+8).

當(dāng)c=|臼時(shí)，由(1)知，b=±2,c=2.此時(shí)1。一/(6)=—8或0,。2—y=0,從而貝c)

一加)盤武一戶)恒成立.

3

綜上所述，M的最小值混.

13.(2009.湖南)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距機(jī)米.余下工程只需

兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x

米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+也)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋

墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為)，萬元.

(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)用機(jī)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小？

解：(1)設(shè)需新建〃個(gè)橋墩，則(〃+1沈=機(jī)，即〃=；—1,所以y=y(x)=256〃+(〃

1)(2-\-\[x)x=25?；—1)+/(2+S)X=25：1+nrjx-^-2m—256.

3

(2)由(1)如，/'(x)=-^^+加一3=景工2-512).

3

令/(力=0,得彳2=512,所以x=64.

(XVV64時(shí)，/(x)<0,共工)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)：

當(dāng)64<x<640時(shí)，f(x)X),人外在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).所以於)在％=64處取

最小值.此時(shí)〃=；—1=鬻-1=9.

故需新建9個(gè)橋墩才能使)，最小

專題達(dá)標(biāo)檢測

一、選擇題

1.設(shè)十是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集.若對任意a、有。十則

稱4對運(yùn)算十封閉.下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算

封閉的是（）

A.自然數(shù)集B.整數(shù)集

C.有理數(shù)集D.無理數(shù)集

解析：A：自然數(shù)集對減法，除法運(yùn)算不封閉，如1—2=-14N,1：2=*N.

B：整數(shù)集對除法運(yùn)算不封閉，如1：2=*Z.

C：有埋數(shù)集對四則運(yùn)算是封閉的.

D：無理數(shù)集對加法、減法、乘法、除法運(yùn)算都不封閉.

如（g+1）+（1-啦）=2,

巾一巾二0,啦X啦=2,

由他=1,其運(yùn)算結(jié)果都不屬于無理數(shù)集.

答案：C

2.（2010?武漢質(zhì)檢）若x,y￡R,則“x>l或y>2”是“x+y>3”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：本題考查充分必要條件的判斷.

據(jù)已知若x>l或y>2=/x+y>3,反之研究當(dāng)x+）>3時(shí)是否推出x>l或y>2,

由于命題：xWl且yW2=x+yW3為真，其逆否命題即為x+y>3=x>l或y>2,由

題的等價(jià)性可知命題為真，因此或y>2是x+y>3成立的一個(gè)必要但不充分條件.

答案：B

3.（2010?濟(jì)南模擬）為了得到函數(shù)產(chǎn)sin（2L§的圖象，可以將函數(shù)尸cos2x的圖象「

（）

A.向右平移專個(gè)單位長度

B.向右平移W個(gè)單位長度

C.『向左平移/個(gè)單位長度

D.向左平移9個(gè)單位長度

解析：本題考查函數(shù)圖象的平移變換.

n(j-2^=>y=siii^7t—(j-2^J=>y=sin^2x+^=>y=sin2^r-4-^,

由y=cos2x=y=si:

=sinQ-^ny=sin2(L&,

又y

可見由y=sin2（x+￡）的圖象向右移動(dòng)升金=筆3三個(gè)單位，得到產(chǎn)sin2G—專）

的圖象.

答案：B

4.已知拋物線*=-20。＞0）的焦點(diǎn)F的任一直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，則蘇+

/j為定值（）

1234

A「B~C.-D.~

PPPP

解析：取通徑MN,則|EV1=FM=P，

1,12

\FM\+\FN\=p'

答案：B

5.（2009?江西）甲、乙、丙、丁4個(gè)足球隊(duì)參加比賽，假設(shè)每場匕賽各隊(duì)取勝的概率相

等，現(xiàn)任意將這4個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組（每組兩個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽，勝者再賽，則甲、乙相

的概率為（）

A6B4C.JD，2

i2

解析：甲、乙兩隊(duì)分到同組概率為P|=1,不同組概率為尸2=東又：各隊(duì)取勝概率

均為去

工甲、乙兩隊(duì)相遇概率為尸=1+,溫溫=；.

答案：D

（2。。9?陜西淀義在R上的偶函數(shù)加,對任意和應(yīng)可。，+8）3"力有號(hào)三詈

6.

<0則

)

A.人3）4—2）勺。）

B.川）勺（一2）勺（3）,

C./（-2）＜7（1）＜/（3）

D.犬3）41）勺（一2）

解析：對任意內(nèi)，必￡[0，+8）（k#應(yīng)），有二誓＜0,則也一由與兒。）一人為）

必一X|

異

號(hào)，因此函數(shù)兀0在[0,+8）上是減函數(shù).又在R上是偶函數(shù)，故人-2）=人2）,

由于3＞2＞1,故有｛3）勺（一2）勺（1）.

答案：A

二、填空題

7.（2009?廣東理）若平面向量a,b滿足|。+目=1,a+b平行于x軸，。=（2,—1）,則〃

解析：?.?|a+b|=l,a+b平行于x軸，故a+b=（l,0）或（一1,0）,Aa=（l,0）-（2,

-1）=（一1/）或。=（一1,0）—（2,—1）=（一3,1）.

答案：（一1,1）或（一3,1）

8.已知兀丫）是定義在（一8,0）U（0,+8）上的奇函數(shù)，且當(dāng)x￡（0,+8）時(shí)，單調(diào)

遞增，又?=0,設(shè)A是三角形的一內(nèi)角，滿足人cosA）＜0,則A的取值范圍是

解析：

作出滿足題意的特殊函數(shù)圖象，如圖所示，由圖知，0＜83人＜!或一1?0$人＜一3.

答案:你卻侍兀）

9.若存在[1,3],使得不等式4+（。-2）4—2＞0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

解析：考慮命題：“存在a￡[l,3],使得不等式a?+（a-2）x-2＞0成立”的否定為

“任取?！辏?,3］,使得不等式以2+g—2)x—2W0恒成立”.變換主元得到y(tǒng)(a)=a(f

+x)—2x—2W0,對任意的。￡［1,3］恒成立，則只要滿足/U)WO且13)W0即可，所

22

以一1WxWg,故x的取值范圍是x<-1或x>y

、2

答案：x<—1或

10.若二次函數(shù)_/^)=4/一2(?—2次一2。2—〃+1在區(qū)間［-1,1］內(nèi)至少有一個(gè)值°,使

fic)>0,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

解析：此題從反面分析，采取補(bǔ)集法則比較簡單.如果在［-1,1］內(nèi)沒有點(diǎn)滿足

4。)>0,

則/(T)W0,

則

川)W0.”-3如四

=pW-3或

取補(bǔ)集為卜1一3<渴｝,即為滿足條件的p的取值范圍.

3

答案：一3<p%

三、解答題

11.設(shè)函數(shù)兀0=cos(2x+§+si1n

(1)求函數(shù)?r)的最大值和最小正周期：

(2)設(shè)A,B,C為△48C的三個(gè)內(nèi)角，若cos3=/

焉)=一；，且。為銳角，求sinA.

…兀71,1—cos2x

解：(1)/(%)=cos2xcosj—sin2xsing+--------=

1c近.,11c

geos2x—^sin2x十/一/cos2x

_1

=2-2s,n2M.

所以當(dāng)2x=-］+2E,即％=一：+桁(左￡2)時(shí)，人工)取得最大值，以切電大值=出乎,

於)的最小正周期T=專=兀，

故函數(shù)共制的最大值為巨滬，最小正周期為兀

1

由-

2)X94

解得sinC=2-

又C為銳角，所以C=號(hào)由1cos求得sinB=4左

因此sinA=sin[7t—(B+C)]=sin(B4-C)

=sinBcosC+cosBsinC

=2^2X1,lx^32書+小

2X2+326

12.（2009?全國I理）在數(shù)列｛斯｝中，67,=1,。〃+|=。+3斯+空■.

⑴設(shè)小=半，求數(shù)列"的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和￡.

解：（1）由己知得仇=q=1,且弟

n~r1n

即幾+1=瓦+干，從而用=/+亍

岳=勿+3，

兒=仇-[+尸(〃22).

于是兒=6+:+3~|---1-￡-[=2—￡T(〃22).

又加=1,

故所求的通項(xiàng)公式仇=2一冊.

(2)由(1)知%=2〃一新T，故

S”=(2+4+…+2〃)一(1----

設(shè)北=1+*+/---b/T，①

①一②得,

1----Fy7-r-^

1

2n

2〃=2-

1

〃+2

?.4—2〃T

〃I2

:.Sn=/?(?+1)+5T-4r

13.如圖所示，橢圓C：夕+$=13>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為尸(1,0),且過點(diǎn)(2,0).

(1)求橢圓。的方程：

(2)若A8為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線/：x=4與x軸交于點(diǎn)N,直線4尸與8N交于

點(diǎn)M,

(i)求證：點(diǎn)M恒在橢圓。上；

(ii)^AAMN面積的最大值.

方法一：(1)解：由題設(shè)。=2,c=l,從而b2=J—c2=3,

22

所以橢圓。的方程防■+苧=1.

(2)⑴證明：由題意得尸(1,0)、N(4,0).

22

設(shè)A(加，〃)，則8(〃?，一〃)(〃W0),^~4-y=1.?

A尸與8N的方程分別為：〃(x—1)一(〃?-l)y=。，

n(x—4)+(m—4)y=0.

n(x—l)—(m—l)y=O②

設(shè)刈)，則有0of

”(沏一4)+?！?4加=0,③

由②③得的=IS3〃

yQ=2m-5'

,(54-8尸3J(5/_8)2+l?〃2

出土彳+3=4(2w-5)2-h(2/n-5)2=4(2w~5)2

(5/n-8)2+36-9An2

=4(2m-5)2=L

所以點(diǎn)例恒在橢圓。上.

22

(ii)解：設(shè)AM的方程為x=)+l,代入，+3=1,

得⑶2+4)y2+6(y-9=0.

設(shè)4項(xiàng)，》)、“。2，”)，則有乃+竺=3/；；

J,-V2=3r+4,

r~~；--y——4小々3『+3

lyi—%1—v(為十”)-4y,2—3,+4?

令3』+4=犯24),則

4小7入一1

6一竺1=；

=4小、-G)叼

=4小、一(；一分+；.

因?yàn)?24”0<1號(hào)所以當(dāng)作=小

即2=4"=0時(shí),加一”1有最大值3,此時(shí)AM過點(diǎn)F4AMN的面積50明產(chǎn)如日?明

9

一力1有最大值,

方法二：(1)同方法一.

(2)(i)證明：由題意得人(1,0)、N(4,0)，

22

設(shè)4(/篦，n),則8(M，一〃)(〃W0),詈+,=1.①

4尸與BN的方程分別為〃。-1)一(加一1?=0,②

心一4)+(〃?-4))，=0.③

由②③得；當(dāng)x#電寸，/一￡._；，n~2x~5'?

22

把④代入①，得了+全=1。￥0).

「3

呼一(卅一l)y=0,

當(dāng)時(shí)，由②③得<

—|n+(7n+4)y=0,

〃=0,

解得八與〃W0矛盾.

b=o，

22

所以點(diǎn)M的軌跡方程為：+、=1()$0),

即點(diǎn)M恒在橢圓。上.

（ii）同方法一

專題達(dá)標(biāo)檢測

一、選擇題

1.（2010?山東濰坊）直線xcosa+小y+2=0的傾斜角的范圍是)

A（6-2）U（rflB[0,，愕，"）

c[。,?]D.[*y]

解析：由直線xcosa+3y+2=0,所以直線的斜岸為人=一守

設(shè)直線的傾斜角為￡,貝|]tan￡=一二后-.

又因?yàn)橐蛔锛匆蛔鳺tan0W坐，所以￡￡[（），黎]口愕，兀）

答案：B

2.若圓f+J—4x—4y—10=0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線/：欠+力=0的距離為

2啦，

則直線/的傾斜角的取值范圍是（）

B話,n\

D.[0,外

解析：由題意知，圓心到直線的距離d應(yīng)滿足UWdW巾,號(hào)gw&n〉+

b2

+4。慶0.

顯然方W0,兩邊同除以/A得02+4C）+I（O.

解得—2-3W宗2+小.

攵=一*2￡［2—小，2+小］,。0［金，招］故選B.

答案：B

3.（2010.陜西）已知拋物線）?=2pMp>0）的準(zhǔn)線與圓x2+y2-6x-7=0相切，則p的值

（）

A.1B.1C.2D.4

解析：圓9+）,2一6%—7=0的圓心坐標(biāo)為（3,0）,半徑為4.

y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線方程為％=一多

.?.3+§=4,，p=2.故選C.

答案：C

4.（2010?廣東中山）設(shè)F^F2為橢圓寧+/=］的左、右焦

點(diǎn)，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊

形PRQFz面積最大時(shí)，包?包的值等于（）

A.0B.2C.4D.-2

解析：易知當(dāng)P、。分別在橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，四邊形PKQF2面積最大.

此時(shí)，尸|（一小，0）,尸2（、氏0）,P（0,l）,

PFi=（—^3,—1）,尸產(chǎn)2=（3—沏，一%），

:.際1?麗=-2.

答案：D

x22

5.已知為、尸2是雙曲線孑一方v=13>0,加>0）的兩焦點(diǎn)，以線段"2為邊作正三角形

Mg,若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（r）

A.4+2小B.小一1

cW；?D邛+］

解析：設(shè)正三角形的邊的中點(diǎn)為4則”（0,小c）,尸i（一c,0）.

所以《一2c）?〃點(diǎn)在雙曲線上,

化簡/一8，+4=0,

解得/=4+2#,所以6=巾+1.

答案：D

6.（2010?全國I）已知網(wǎng)（）的半徑為1,PA、PB為該國的兩

條切線，A、B為兩切點(diǎn),那么育-了市的最小值為（）

A.一4+歷B.-3+也

C?—4+2也D.—3+2歷

解析：設(shè)NAPB=20,|茴|=乃則禰?施=|育|?|儲(chǔ)I

cos20=|PA|2COS20=（|PO|2-1）?（1-2sin20）=（x2-1）

*（1一亳）=￡-2—1+譽(yù)＞-3+2也，當(dāng)且僅當(dāng)』=亳，

即1=瀝時(shí)取等號(hào)，故選D.

答案：D

二、填空題

7.（2010.遼寧沈陽）若直線/經(jīng)過點(diǎn)3—2,—1）和（一。一2,1）且與經(jīng)過點(diǎn)（一2,1）,斜率為

一匏勺直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為.

解析：由于直線/與經(jīng)過點(diǎn)（一2,1）且斜率為一1的直線垂直，可知。一2#一。一2.

答案：音2

8.若雙曲線《一呼=1的左焦點(diǎn)在拋物線J=2px的準(zhǔn)線上，則p的值為_______

JP

解析：由題意可列式、^+金蘭，解得p=4.

答案：4

9.（2010?上海）圓C：?+/一力:一為+4=0的圓心到直線3x+4y+4=0的距離d=

解析：V?+/-2x-4y+4=0,A（x-l）2+（y-2）2=I.

圓心g）到3收，+4=。的距離為人氏群辿=3.

答案：3

10.(2009?湖南)過雙曲線C：力一比＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓f+y2=〃2的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A、氏若/405=120。(0是坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為

解析:

如圖，由題知OA_L4尸，OB_LB產(chǎn)且NAO8=120。,

「?N40尸=60°,

又OA=atOF=c,

**c=OF=cos60°=2,

W=Z

答案：2

三、解答題

11.(2010?寧夏銀川)設(shè)直線/的方程為(〃+l)x+y+2—a=0(a￡R).

(1)若/在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求/的方程；

(2)若/不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.「

解：(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零，???a=2,方程即為

3x+y=0.

???當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，由截距存在且均不為0,

a-2

:.—7T=?—2,即。+1=1,

。十1

.*.?=0,方程即為x+y+2=0.

(2)解法一：將/的方程化為y=—(a+l)x+。-2,

.??]閾/,"W—1.

[a-2^0[a-2^0,

綜上可知a的取值范圍是aW—1

解法二：將/的方程化為(x+y+2)+a(x—1)=0(?！闞).

它表示過A：x+y+2=0與方工一1=0的交點(diǎn)(L-3)的直線系(不包括x=l).由

圖象可知/的斜率為-3+1)20,即當(dāng)aW-l時(shí)，直線/不經(jīng)過第二象限.

12.P為橢圓春味=1上任意一點(diǎn)，R、尸2為左、右焦點(diǎn)，如圖所示.

(1)若PFi的中點(diǎn)為M,求證:

|M0|=5一江|；

(2)若/尸/尸2=60°,求出QIIPF,之值:

(3)橢圓上是否存在點(diǎn)P,使蘇??麗=0,若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在,

試說明理由

(1)證明：在△QPF2中，M。為中位線,

一|

：\PFA2aPQ|

,\MO\=22

IP川＜l

=?-2^=5-2|1FDF,r1l-

⑵解:???|產(chǎn)品|+|明|=10,

22

???|P尸11+|PF2|=100—2|P尸#|PF2|,

在△PFi尸2中，cos60—2IPF1IIPF2I，

.,.|PFII|PF2|=100-21PMi?\PF2\~36,

???|PBHP尸2尸竽

(3)解：設(shè)點(diǎn)PQ),加，則叫+瑟=1.①

易知尸I(-3,0),尸2(3,0),故夕丹=(一3一即，一%),

尸產(chǎn)2=(一3一沏，一兆)，

???尸尸i?9尸2=0,，/一9+^=0,②

由①②組成方程組，此方程組無解，故這樣的點(diǎn)。不存在.

13.(2010?浙江金華)已知拋物線￥=4)，的焦點(diǎn)為F,A、B是

拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且肅=/而(入＞0).過A、B兩點(diǎn)分別

作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.

(1)證明：同?蘇為定值；

(2)設(shè)AAMB的面積為S,寫出S=/“)的表達(dá)式，并求S的最小值.

⑴證明：由已知條件，得尸(0,1),力＞0.

設(shè)4(%1，乃)，BQ》J2)-

由A尸=刀有，即得（一M.1—%）=，%2，52-1），

-.V|=lv,①

*2

1—乃=丸。2—1），②

將①式兩邊平方并把yi=1x?,力=定代入得M=下九.③

解②、③式得乃=九力=:，

且有X]X2=—Axl=-4Ay2=~4,

拋物線方程為），=（/,求導(dǎo)得）/=5.

所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是y=&G-x|）+M，y=1t2（x—>2）+y2,

即y=^x\x—^x\f

11,

解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為隹蟲，-1）

所以一2）.（彳2—xi，"一月）=

址一片一=0,

所以前?后為定值，其值為0.

（2）解：由（1）知在aABM中，F(xiàn)MVAB,

因而S=^\AB\\FM\.r

「因?yàn)閨4月、IRQ分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線5=-1的距離，所以|4回=|4月+|8月

=乃+)'2+2

=2+a2=("+排.

于是S=*4和襁1=氐"+力）3,

由知S>4,且當(dāng)2=1時(shí)，S取得最小值4

專題達(dá)標(biāo)檢測

一、選擇題

1.若。、匕表示互不重合的直線，表示不重合的平面，則。〃a的一個(gè)充分條件是

）

A.a//a//pB.a】B，a_L0

C.a//b,b//aD.aC\p=b,Ha,a//b

解析：A,B,C選項(xiàng)中，直線。都有可能在平面。內(nèi)，不能滿足充分性，故選D.

答案：D

2.（2010?全國I）正方體ABCZ）-486功中與平面ACG所成角的余弦值為（）

A坐B.坐C.|D坐

解析：???88|〃Z）Oi，???。坊與平面4cs所成的角即為8叢與平面ACQ所成的角，

設(shè)其大小為伍設(shè)正方體的棱長為1,則點(diǎn)。到面ACQ的距離為坐，所以sinJ=9，

得cos6=坐，故選D.

答案：D

3.如圖，已知△ABC為直角三角形，其中/ACB=90。，M為4B的中點(diǎn)，PM垂直于

△A8C所在平面，那么)

A.PA=PB>PC

B.PA=PB<PC

C.PA=PB=PC

D.PA^PB^PC

解析：:M是RtZ\A8C斜邊A8的中點(diǎn)，???MA=M8=MC.又平面A8C,，M4、

MB、MC分別是附、PB、PC在平面ABC上的射影，=PB=PC.應(yīng)選C.

答案：C

b

4.如圖，啤酒瓶的高為/?,瓶內(nèi)酒面高度為〃，若將瓶蓋蓋好倒置，酒面高度為/

+力=/0,則酒瓶容積與瓶內(nèi)酒的體積之比為()

卜

A.1+*且。+人＞力

B.1+,且a+b<h

Cr.1+￡且a-\-b>h

D.1+楙且。+〃＜力

解析：設(shè)啤酒瓶的底面積為S,啤酒瓶的容積為V%

瓶內(nèi)酒的體積為V3,

則V?-V?=SP,

即得V亞=丫酒+Sb=S(a+力,

,%S(a+〃)b

?京=Sa=1十7

X***Sa'>Sa,即o'>at

*.h=a'+b>a+b,

y?h

2一且a+b<h.

.*.TVTa=1+a

答案：B

5.在正三棱錐S-ABC中，歷、N分別是棱SC、8c的中點(diǎn)，且MALL4M,若側(cè)棱SA

=2小，則正棱錐S—ABC外接球的表面積是（）

A.12JIB.32冗

C.36兀D.48兀

解析：由于MALLAM,MN//BS,則BS_LAM,

又根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)知8S_L4C,則BSJ_平面SAC,于是有N4SB=NBSC=NCSA

=90°,SA、SB、SC為三棱錐S—ABC外接球的內(nèi)接正方體的三條棱，設(shè)球半徑為

則4尸=35川=36,球表面積為4冗川=36兀

答案：C

6.（2010.北京）如圖，正方體ABCD-A向GP的楂長為2,動(dòng)點(diǎn)E,6在棱A向上,

點(diǎn)P,。分別在棱AO,CD上，若EF=1,AtE=x,DQ=y,DP=z（x,yfz大于零）,

則四面體尸￡尸。的體積（=）

A.與x,y,z都有關(guān)

B.與％有關(guān)，與y,z無關(guān)

C.與y有關(guān)，與x,z無關(guān)

D.與z有關(guān)，與x,y無關(guān)

EF=1,是定值.

_1_面AODA且PNU面AODA,

，PN_L面力|81CD.

"：PD=z,/AiQA=45°,

???PN丹z,：?VPEFQ=^EFQPN與居y無關(guān)，與z有關(guān)，故選D.

答案：D

二、填空題

7.（2010?湖南，13）下圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20加3的幾何體的三視圖,

貝ijh=cm.

正視圖側(cè)視圖

解析：直觀圖如圖，則三棱錐中AO_LA&AD1AC,ABA.AC,

???體積V=1x^A5AC/i=20,

：.h=4.

答案：4

8.如圖所示，在正方體，A8CD-A冏G5中，M、N分別為先_____C,

A1B1，CG的中點(diǎn)，P為4）上一動(dòng)點(diǎn)，記a為異面直線PM/：；；、/

與AN所成的角，則a的取值集合為_______./

答案:局M二P

9.已知一個(gè)凸多面體共有9個(gè)面，所有棱長均為1,其平面展開圖如圖所示，則該凸

多

面體的體積V-.

解析：該幾何體形狀如圖所示，是一個(gè)正方體與正四棱錐的組合體，正方體的體積

是

1,正四棱錐的體積是坐，故該凸多面體的體積為1+*.

答案：1+十

10.（2010?四川）如圖，二面角。一/一6的大小是60。，線段月BUa,e~~-一j

B0,48與/所成的角為30。，則A8與平面尸所成的角的

正弦值是.B/

解析：過4作AC_L平面尸于C,C為垂足，連結(jié)CB,過C作。。_12于。“連結(jié)

4D,則4O_L/,

JNAOC為二面角1一/一4的平面角，即NAOC=60。.

???AC",???NABC為直線AB與平面”所成角.設(shè)八2一1,則人。一*人（7一9坐

=亞

一4，

亞「

??sinNA8c一一［一4?

答案:小

三、解答題

11.（2010?江蘇無錫）如圖,在三棱柱A8C—4181G中，ABLBC,

BC1BC）,AB=BCVE、F、G分別為線段AG、AG、BB\

的中點(diǎn)，求證：

⑴平面ABCL平面4BC,；

（2）E尸〃平面BCGB）；

（3）G-L平面A8￡.

證明：(1)：8C_LAB,BC工BG，ABCBG=B,，上C_L平面ABG.

???8CU平面ABC,J平面4BC_L平面ABG.

(2Y：AE=EC},AiF=FCP：.EF//AA].

???E阿平面BCGBi，???防〃平面BCGBi.

(3)連結(jié)EB,則四邊形"GB為平行四邊形.

VEBXACp：.FG±AC\.

???BC_L面ABC”

???Bi”BE,；?FGtBiCi.

???5Gn4G=G，???GF_L平面ABC.

12.已知側(cè)棱垂直于底面的囚楂柱48CO—A歸IG5的底面是菱形，

且ND4B=60。，AD=AA[f/為棱BB|的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AG

的中點(diǎn).

(1)求證：直線〃平面A3C￡＞；

(2)求證：平面AFGJ^BfACGAi；

(3)求平面AFCy與平面ABC。所成的銳二面角的大小.

(1)證明：延長G尸交C6的延長線于點(diǎn)N,連結(jié)4V.因?yàn)椤笆堑闹悬c(diǎn)，所以“

為GN的中點(diǎn)，5為CN的中點(diǎn).又M是線段AG的中點(diǎn)，故MF//AN.

又MH平面ABCD,ANU平面ABCD,

???“/〃平面A8CD.

⑵證明：(如上圖)連結(jié)瓦)，由直四棱柱A8CO—4181Go可知：A|A_L平面ABC。,

又「BOU平面ABC。，

???AiA_L8D.

???四邊形48CO為菱形，，4C_LBD.

又???ACC4iA=A,AC.&AU平面ACG4,

???8。_1平面4。。|4.

在四邊形O4NB中，DA#BNADA=BN,

所以四邊形DANB為平行四邊形.

故NA//BD,，乂4_1平面4。64].

又「NAU平面A尸G

:.平面APG，平面4CGA1

(3)解：由(2)知BO_L平面ACGA，

又AGU平面ACCA，

/.BD±AC|,,:BD//NA,AAC1±AZA,

又因8OJ_4c可知NA.LAC.

:.NGAC就是平面AFCi與平面ABCD所成銳二面角的平面角.

CiC__L

在RtZXGAC中，tanNGAC=,故NGAC=30°.

CA小

???平面與平面ABCDu所成銳二面角的大小為30°.

13.(2010?湖北，18)如圖，在四面體ABOC中，OC_LOA,OC1OB,一

NAO8=120°,且OA=OB=OC=1.

(1)設(shè)P為AC的中點(diǎn).證明：在A8上存在一點(diǎn)Q,使尸。_L04,

AR

并計(jì)算器的值；

(2)求二面角O—AC-B的平面角的余弦值.

解:解法一：(1)在平面0A8內(nèi)作OMLOA交48于M連結(jié)NC.

又OA_LOC,???OA_L平面ONC.

NCU平面ONC,：?OA±NC.

取。為AN的中點(diǎn)，則PQ〃NC,

???PQ_LOA.

在等腰AAOB中，N4OB=120。,

???N0AB=NO8A=3O。.

在RtZkAON中，NOAN=30。，

ON=^AN=AQ.

An

在△ONB中，ZNOB=I2O°-9O°=3O°=ZNBO,:?NB=ON=AQ,＜而=3.

(2)連結(jié)PMPO.

由OCJ_QA,OCA.OB知OC_1"平面OAB.

又ONU平面OAB,：.OC1ON.

又由ONLOA知0汽_1_平面AOC.

???OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影.

在等腰RtZXCQA中，尸為AC的中點(diǎn),