高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類(lèi)）課后習(xí)題及答案第十二章 微分方程答案

習(xí)題12—1(A)

1.指出下列各微分方程的階數(shù):

(1)xy1=3y；(2)(y-x3)dx-2xdy=0；

(3)(x+2)y"+p"=y；(4)yy*=2(＞,w)2-yf；

(5)y⑸+4y⑶一y"+2y=cos：x；(6)^-^+2,竽二/；

(7)/4)-2yw+2/-2y+y=0；

答案：(1)一階；(2)一階；(3)二階；(4)三階；(5)五階；(6)二階；(7)四階.

2.驗(yàn)證下列各函數(shù)是否為所給微分方程的解.如果是解，清指出是通解，還是特解？

(1)函數(shù)y=d,微分方程w'=3y；

(2)函數(shù)y=Csin3x,微分方程:/+9y=0；

2

(3)由母+己~+1=。確定的函數(shù)y=y(x),微分方程。+1)公+(x+y)6=0；

(4)函數(shù)y=e氏(其中；I是給定的實(shí)數(shù))，微分方程：T+y=0.

解：(1)因?yàn)閥'=3/,左式二盯'=尤3/=3V=右式，所以函數(shù)y=d是微分方程

W'=3y解.又因?yàn)楹瘮?shù)y=V不包含任意常數(shù)，所以是特解.

(2)因?yàn)閥"=-9Csin3x=-9y,即y"+9y=0,所以函數(shù)y=Csin3x是微分方程

y"+9y=0解，但是由于丁=。5訪3尢中只有一個(gè)任意常數(shù)，又因?yàn)槲⒎址匠淌嵌A的，所

以〉二?！斐?%既不是微分方程)，，+9y=0的通解，也不是特解，只是解.

(3)等式xv+上+x=C兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，有y+x旬+Y旬+1=0,整理得

2drdx

(y+])dx-^(x+y)dy=0,所以由xy+^-+x=C確定的函數(shù)y=y(x)是

2

(y+\)dx+(x+y)dy=0的解，又孫+三+^=。中含有一個(gè)任意常數(shù)，而

2

(y+1)小+(x+y)^=0是一階微分方程，所以xy+^-+x=C是

(y+l)dr+(x+=0通解.

(4)因?yàn)閥=eAt,則有=萬(wàn)』[所以＞照+y=AV+e2'=(23+l)e〃.當(dāng)4=一1時(shí)，

Z+J=U3+l)e^=0,則＞=?"是微分方程)1+y=0的解，并且是特解；當(dāng)力工一1

2

時(shí)，y*+y=(r+l)e^O,貝］y=e屈不是微分方程；T+y=O的解.

3.若函數(shù)y=ea*是微分方程V—y'=O的解，求的。值.

解：由〉=底＜得，y=ae&"yw=a3e^,將它們代入微分方程,一y'=0,得

y--y=?3eax-aex=a(a2-l)eax=O,所以a=7,0或1.

4.驗(yàn)證下列所給的各函數(shù)是微分方程的通解，并求滿(mǎn)足初始條件的特解.

(1)函數(shù))，=C?+i,微分方程町/=2y一2,初始條件y(l)=2；

(2)函數(shù)/+》2=。，微分方程?，+%=0,初始條件義1)=1；

(3)函數(shù)了=(。|+。2外-，微分方程y〃—2y'+y=0,初始條件M0)=0，/(0)=l.

解：(1)因?yàn)閥'=2Cr,所以孫'=q2&=2(以2+1)-2=2y-2.又了=&2中含有

一個(gè)任意常數(shù)，孫'=2y-2是一階微分方程，所以函數(shù)y=C?+l是微分方程

個(gè)'=2)，一2的通解.由y(l)=2,可得C=l,所以微分方程個(gè)'=2)-2滿(mǎn)足初始條件

武1)=2的特解是丁=r+1.

(2)對(duì)隱函數(shù)/十9二。的兩邊求關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，得2工+2?'=0,即》'+X=0.又

V+y2=c中含有一個(gè)任意常數(shù)，yy，+x=O是一階微分方程，所以隱函數(shù)f+y2=。是

微分方程》'+x=0的通解.由y(l)=l,可得。=2,所以微分方程》'+x=0滿(mǎn)足初始

條件y(l)=l的特解是/+丁=2.

x

(3)因?yàn)閥'=(G+G+Gx)e'，/=(2C2+C,+C2x)e,所以/-2/+y

vx

=(2C2+G+C2x-2C2-2G-2C2X+C,+C2x)e=0.又因?yàn)楹瘮?shù)y=(G+C2x)e中

含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，而)，〃-2)，'+y=0是二階微分方程，所以丁=(6+。2幻《是微

C.=0?

分方程y〃—2y'+y=0的通解.由初始條件y(0)=0,了(0)=1,有＜」得G=0,

。2+G=L

。2=1，所以微分方程/-2/+y=0滿(mǎn)足初始條件y(0)=0,yf(0)=1的特解是y=xeA.

習(xí)題12—1(B)

1.給定微分方程y'=2x+l,

(1)求過(guò)點(diǎn)(1,3)的積分曲線方程；

(2)求出與直線y=3x+l相切的積分曲線方程.

解：易驗(yàn)證y=Y+x+c是微分方程y=2x+i的通解.

(1)由曲線y=d+x+c過(guò)點(diǎn)(1,3),有3=1+1+。，得C=l,所求積分曲線為

y=x24-x+l.

(2)若曲線)，=_?+'+。與直線、=3t41相切，則有2X+I=3(斜率相等)，得*=1.

當(dāng)X=1時(shí)，y=4,所以切點(diǎn)為(1,4),將其代入y=f+%+c,有4=1+1+。，得c=2,

所求曲線為y=/+x+2.

2.將積分方程￡/(，油=0X?rsinx-cos%(其中/*)是連續(xù)函數(shù))轉(zhuǎn)化為微分方程，

y

給出初始條件，并求函數(shù)/(%).

解：將=-xsinx-cosx兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，有

2

f(x)=/(x)+xfr(x)-sinx-xcosx+sinx,

即r(x)=cosx,這就是所求的微分方程，容易得到其通解為

/(r)=Jcosw/r=sinr+C.

將x代入到原方程J；/?M/=0*a)_xsinx-cosx中，有0=/(])-1,得初始條件

為了(9=1，所以有1=1+。，得C=0,所求函數(shù)為/(x)=sinx.

習(xí)題12—2(A)

1.求下列可分離變量的微分方程的通解：

(1)?'=2V；(2)/=xe-y；

(3)了=j盯；(4)ydx4-(x2-3x)dy=0.

Vl+Jt2

解：(1)分離變量2ydy=4x3dx,兩邊積分j2)dy=j4x3dx,整理得通解為/=x4+C.

(2)分離變量e「dy=xdx,兩邊積分Jevd)，=J&Lr,整理得通解為ey=；/十。，或

寫(xiě)作y=ln(：+C).

(3)分離變量上=------,兩邊積分上=,,整理得通解為

yViT?JyJViT?

1nM=2jl+M+G，進(jìn)而原方程通解為：y=Ce2g.

(4)分離變量有曳=-=^,整理得電=_2_(」__l)dx,兩邊積分

yr-3xy3x-3x

——一-)dx,整理得通解為ln"|=—，(ln|x-3|—lnW)dr+G，進(jìn)而原方

x-?3x3

程通解為：(x-3)y3=Cx.

2.求下列齊次方程的通解：

(1)xyf=2x+yt(2)(x-2y)yr=y；

(3)(x2-y2)dx+xydy=0；(4)xdy-y(l+In—)dx=0.

x

解：(1)將方程改寫(xiě)為y'=2+)，令2=〃，則y=曳=〃+x也，于是原方程化為

xxdrdr

w+x—=2+w,BPdw=—,積分得〃=lnf+inC,即2=lnC?,所以原方程通

dxxx

解為y=xlnCx2.

(2)將方程改寫(xiě)為更=4—2,令土=y則如=u+y且，于是原方程化為

dyyydydy

v+y—=v-2,HPdv=-2—,積分得u=-21ny+lnC,即匹=ln￡,所以原方程

dyyyV

C

通解為x=yln^.

y

(3)將方程改寫(xiě)為包=工-2，令2=〃，則包="+%電，于是原方程化為

drxyxdxdx

w+x—=w--,即〃d〃二一生，積分得d=—ln|H+C,即耳=。-]!!/,所以原方

dxux22x2

程通解為y2=/(c-lnx2).

⑷將方程改寫(xiě)為包=2(l+ln2),令2=〃，則歹=曳=〃+了包，于是原方程化

dxxxxdxdx

為〃+不寞="(1+111〃)，即器^=g，積分得ln|ln〃|=mW+G，即ln〃=Ci(其中

C=±ec,),所以原方程通解為ln￡=a,或?qū)懽鱵=xe&.

x

3.求下列一階線性微分方程的通解：

(1)y'-xv=2x\(2)—+v=2er：

.dx

(3)/+ycosx=e-s,nx；(4)(2xy-cosx)dx+(x2+l)dy=0.

解：(1)法一：相應(yīng)齊次方程為y'—孫=0,即+=工也，積分得InbkgV+G，即

X2

y=Ce2(其中C=±eC|).

22222

.rXXXAT

令y=u(x)e2,代入原方程，有u'e2+xue2-xue2=2x,即u=2xe2,得

.?x2x2.

w(x)=12xe~dx=-2e-T+C,所以原方程通解為y=(一2/萬(wàn)+C)ey=CeT-2.

法二：P(x)=-x、e(x)=2x,方程通解為

y=[j0(x)J"'"dx+C]e=(j2xe”"&+(7))疝

=(j2xe2dr+C)e2=(-2e2+C)e2=Ce2-2.

(2)P(x)=l、G(x)=2e\方程通解為

y=[J0(x)/""dx+C]e=(J2e*"'dx+C)e"

=(j2e2xdv+C)e-r=(e2x+C)ex=eA+Cev.

(3)P(x)=cosx>e(x)=e-sir\方程通解為

),=[jQ(x)』“"出+Ck"⑴出=(Je』為8曲讓+。把一8加

=(Jdx+Qe-sinx=(x+Qe-Sint.

(4)方程化為y+，^y二W±,則有尸(x)=4Q(x)=草日，方程通解為

X-+1廠+lX~+lX*+1

>可。")』.出+。。3=4詈/含&+。/導(dǎo)

=(JcOSA-￡k+C)-lT=^^.

4.求下微分方程滿(mǎn)足所給初始條件的特解：

(1)—=---,y(3)=l；(2)xy'+xsec—=y,>>(1)=—；

dr2yx2

(3)y'-y=xe2x,y(0)=2；(4)xyUnx+y=lnx,y(e)=1.

解：(1)這是可分離變量方程，分離變量為2)dy=(l—x)dr,積分得)，2=-殳?匚+C,

即方程通解為V+攵/二，.由武3)=1,有C=3,方程特解為產(chǎn)+殳盧=3.

(2)這粘齊次方程y'+sec2=2,令上=〃，則曳=〃+x也，于是原方程化為

xxxdrdr

〃+x$+secw=〃，即cos〃d〃=---,積分得sin〃=一所國(guó)+。],即方程的通解為

sin-「TT1sin^-l

x=Ce*(其中c=±eG).由y(i)=-,可得。=一，所以方程特解為x=e'.

2e

(3)這是一階線性方程，P(x)=-Re(x)=xe2\因此，方程通解為

y=(Jxe2xe^<h(ir+C)J"=(jxe'dx+C)eA=[(x-l)ex+C)]ev.

由y(0)=2,有2=-1+。，得C=3,方程特解為y=3e'+2(大一1把2，.

(4)原方程可化為y'+—!—y=!，這是一階線性方程，P(x)=—!—、Q(x)=-,方

x\nxxx\nxx

程通解為

(*1(--—-f——<1A1?>11。

y=[|—eJx,nAdx+C]eJx,nx=(-ln-x+C)---=—lnx+---.

Jx2Inx21nx

由y(e)=l,有1=：+C,得。=2，所以方程特解為),=2(inx+—!—).

21221nx

習(xí)題12—2(B)

1.求下列伯努利微分方程的通解:

(1)yr-xy=—；(2)yf-y=xy2.

y

解：(1)n=~\,令2=丁『”=》2(1一〃=2),

dzdz

則原方程化為上一(1一九)xz=(l-〃)x,即上一2xz=2x,該方程通解為

dxdx

z=(j2xe,2nha+C)J2Hh=(j2xe-rdx+C)eA=(C-e-v)ev=Cex-1.

所以，原方程通解為丫2=。-2—1.

(2)n=2,令2=爐-"=，(1—〃=—1),

y

則原方程化為生一(1一〃)Z=(l-"X，即生"+z=-九，該方程通解為

dxdr

z=(-Jxe^d'dx+C)e=(C-JXQxdx)e~x=(C-xex+ev)e-x=Ce~x-x+1.

所以，原方程通解為‘二Ce7-x+l.

y

2.用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q求下列微分方程的通解：

(1).+2x=Jy+x>；(2)y=ylx-y-\；

(3)xy'-\-y=y(lnx+Iny)；(4)2xyyf=y2+xtan—.

x

解：(1)令y+/=〃，則包+21=電，于是蟲(chóng)=4，分離變量有半=心，積分

drdxdx

得24=x+C,原方程通解為+d=x+c.

(2)令x-y+l=",貝口一包二包，于是1一包=4，即包=1—4,分離變量得

dxdvdxdx

-=J^—=-dx,或2(1+/一)小后=一族，積分得2(〃+ln|〃一1|)=CT,

Vw(Vw-l)11

所以原方程通解為2QX-y+1+ln"jx_y+l|)=C-x.

,八八n.tdyd〃nd〃u,八f口/dudr3八r

(3)令個(gè)=〃，則y+x—=一,十是一=—Inw,分離變量得n----=一，積分得

dxdxdxxwlnwx

lnlnw=lnCr,即〃=e0,所以原方程通解為y=■!■?&.

x

(4)—=u,即y?=x",則2yy'=〃+x—，原方程化為xu+x1—=xu+xtan〃，

xdrdx

分離變量有(：01〃(1"=曳，該方程通解為111$山"=1110;,即sin〃=Cr,所以原方程通

解為sinL=Cx.

x

3.求微分方程ydxTx+舊+F)6=0(),>0)的通解.

解：將方程改寫(xiě)為蟲(chóng)++)'=±+Jl+(為2這是以x=x(y)為未知函數(shù)的齊

dyyyVy

次方程，為此令x=則工=")，蟲(chóng)，于是方程化為y半=>+/,分離變量有

dyaydy

/如二電,積分得ln(u+Jl+y2)=iny+lnC,BRv+71+v2=Cy,進(jìn)而原方程

VI+v2y

通解為y="+2&.

4.求微分方程出=」方的通解.

dxx+y

解：方程改寫(xiě)為生=二+y,即史一二二丁，這是一階線性微分方程，通解為

dyydyy

=y(C+Jdy)=C>+y2.

5.設(shè)函數(shù)/*)連續(xù)，且不恒為零，若/(工)=匚/(力@+2//2?)s，求函數(shù)/(x).

解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，有r(x)=〃x),分離變量有4/=dx,得通解為

f

/(x)=Ce.記=〃，則/(x)=J：/(f)df+2a,令％=0,得初始條件

/(0)=2a.用x=0代入到/(x)=Ce'之中，有C=2i,所以/(x)=2ae1

由a=J,2⑺5=4叫:re2,dr=2a?；一J；e2d)=2/?一ge"j)

=2a2(e2-1e2/|i)=a2(e2+l),

12er

得。=一一，所以/(X)==—.

e-+1e+1

6.設(shè)連續(xù)函數(shù)/3)滿(mǎn)足J一1,求函數(shù)/3).

解：方程f/(Z)d/=f(x)-1兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，有/⑴=廣(幻，令y=f(x),

J1+t尸(x)+x

firV+Xdrr

則方程可以改寫(xiě)為「二2——，即------=y,這是一階線性微分方程，通解為

dy>dyy

f4y?空

x=ey(C+1'dy)=y(C+jdy)=y(C+y).

1代入到方程f*/⑴

用x=山=/(?-1之中，得初始條件/⑴=1,于是

Jlf2(t)+t

1=C+1，故。=0,于是x=/,即所以函數(shù)為/*)=&(注：根據(jù)初始條件/(1)=1,

所以不能取/*)=-4).

習(xí)題12—3(A)

1.求下列各微分方程的通解:

(1)/=x2+l；⑵=cosx+e2r；

⑶丁"-2孫’=0；(4)/-y=e2x；

(5))，〃+2—=0.

i-y

2i

解：⑴/=j(x+\)dx=-x+x+C1,

342

y=1(^x+x+C1)dr=-^x+-^x+C1x+C2.

(2)y”=J(cosx+e2r)dv=sinx+—e2r+2G

1..i

y=f(x7x

sinx+—e+2C,)dx=-cosx+—e~+2C,x+C2

2x2v2

y=j(-cosx+-^e+2Ctx+C2)dx=-sinx+^e4-CjX+C2x+C3.

（3）方程不顯含不令了=〃（幻，則y〃=p',于是也-2a=0,分離變量為蟲(chóng)=2M!X,

drp

積分得ln|p|=f+C,即p=3C/2（其中3G=±*）,于是原方程降階為y'=3C*,

原方程通解為y=J3C,x2ck=Cd+6.

（4）方程不顯含y,令了=〃&），則），"=〃'，于是P'-P=e2"這是一階線性微分方

程，其通解為〃=（卜2%-向口+。|）」”=（］＞口+。］片=（。'+。”'，于是原方程降階為

2xx2v2x

y=e+C,e,所以原方程的通解為y=j（e+C.e^dr=1e+Cg'+C2.

（5）方程不顯含x,令y'=g（y）,貝ijy〃=qq',于是q皿+金=0,即蟲(chóng)+-^-=0,

dy1-ydy1-y

這是可分離變量的方程，先分離變量四=一包~,再兩邊積分，并整理可得

qi-y

q=C］（y-\）.所以曳=G（y-1）,解得y=GeG'+l，這就是原方程的通解.

ax

2.求下列各微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解：

（1））嚴(yán)=5+1，＞0）=1，yo）=i，/（i）=^；

(2)y-y=2x,y(0)=1,y(0)=0；

(3)/=e2y,y(0)=0,yr(0)=l.

解：(l)y"=f(4+l)dr=--^+%+G，由y"⑴"，得￡=0,所以)，〃=一一^+x：

Jx2x~22x

2

y=f(一一^-+x)dr=—+-X+C2,由y'⑴=1,得C2=0,所以了=-!-+!%2：

J2x~2x22x2

y=J(—=-+Q?由y(l)=l,得G="，

5

+

所以方程滿(mǎn)足初始條件的特解為y6-

(2)方程不顯含y,令了二0(?,則y〃=〃'，原方程化為p'-〃=2x,此方程通解為

dvXxAx

P=(S2xe^'dx+G)e/&=(J2xe-dx+G)e'=(C]-2XQ~-2e~)e=C(e-2x-2,

即？=。2)-2工一2,由)，'(0)=0,得G=2,從而y=2(ex-x-l),此方程通解為

Av2

y=2^(e-x-l)dx=2e-x-2x+C2,由y(0)=l,得G=7,所以方程滿(mǎn)足初始條

件的特解為y=2e*—x2—2x—1.

(3)方程不顯含x，令y'=-y),則y〃="’，于是qq'=e2v,分離變量有qdq=e2ydy,

積分得p2=e2「+G，即介=±加2，+￡,由y'(0)=l,可知道y'>0,所以

y'=Je2，'+G,再由興0)=0,y'(0)=l,得C|=0,所以y'=e).分離變量有e-'dy=dx,

積分得—e-，=x+G，由武0)=°，得G=T，于是Y->=x-l,化簡(jiǎn)為y=-ln(l-x),

這就是方程滿(mǎn)足初始條件的特解.

習(xí)題12—3(B)

1.求下列各微分方程的通解：

f

(1)y(")=e"+f(a,b為常數(shù))；(2)xyff-yin^-=0；(3)/=(/)2.

x

解：(1)由于Je'“dx=/e%卜’心=貴工山，故原方程的通解為

arb+n12

y———e+[(Z?+ii)(h+/?—I)??,(/?+1)]x+Clx"+C^x"+,,,+Cn_^x+Cn.

(2)方程不顯含y,令y=p(")，則y"=〃，，于是A//=pinR,即p'=KlnK,

xxx

這是齊次方程，令'=〃，則p'=生=〃+工包，原方程化為〃+上包二〃ln〃，分離變

xdrdxdx

量有———=—,積分得ln（ln〃—l）=lnC/,即K=〃=eG"l原方程降階為

”（Inw-1）xx

y=xeC|X+,,原方程通解為

c,A+1c,x+,c,t+lc,t+,

y=jA-edx-=卷（xe-Je）dx=^e（x一卷）+G.

（3）方程既不顯含y,也不顯含x.

（方法1）令y'=p（x）,則丁"="則〃’=〃2,分離變量有雪二心:,積分得一2_=/一或

PP

即.二」一，原方程降階為y'=」一，所以原方程的通解為

C|-xC*|-x

y=[-^=C2-]n（Cy-x）.

J

C}-x

（方法2）令了=虱），），則y〃=qd，于是q半=d，分離變量芍q半=^,積分得

d>,dy

\nq=y-C2,即原方程降階為曳=9匕，分離變量為e02rdy=心，積分得

dx

-^-y=x_C]t化簡(jiǎn)為y=C2—ln（G—x）,這就是原方程的通解.

2.求下列各微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解：

cor=i+（y）2,y（o）=i,y（o）=o；

（2）/=（//+/,y（o）=o,y（o）=i：

（3）y/=2（y2-/）,y（0）=l,*0）=2.

解：（1）按不顯含y的方程求解，（注：本題按不顯含x方程求解困難）.

令y，=p（x）,則y〃=",于是p'=l+〃2,分離變量有一務(wù)=心，積分得

1+P

r

arctan/?=x+C1,即arctany=x+Clt由/（0）=0,得G=°，于是y'=tanx,積

分得y二「anAdx=G-ln|cosX，由y（O）=l,得。2=1，所以方程滿(mǎn)足初始條件的特

解為y=1-m18sx.

（2）令y'=q（y）,則<=字/,得勺”二^+”因?yàn)閝=0不滿(mǎn)足初始條件y（0）=1,

dy

所以gwO,分離變量有=dy,積分得arctang=y-C1，即y'=4=tan(y-G).

q+1

由初始條件y(O)=O,y'(O)=l，有l(wèi)=tan(O+C),得G=^,一馬.

44

分離變量_曳_=心，積分并整理得sin0-f)=GeX.再由初始條件y(0)=0,得

t?an/(y-冗-、)4

C2=-孝，所以原方程滿(mǎn)足初始條件的特解為y=arcsin二竽+?.

(3)這是不含x的二階可降階微分方程，令y'=4(y),則)，〃=w',則方程化為

yqd=2(/-G?

因?yàn)?=0不滿(mǎn)足初始條件y(0)=2,所以夕工0,分離變量有‘幺=2曳，積分得

夕-1y

ln(q-1)=111。］/,解得)/=9=6丁+1.

由初始條件)，(0)=1,/(0)=2,有2=G+1,得G=l，故)/=/+］,分離變

量有增二二出，積分得airtany=x+G，再由初始條件y(0)=1,得C,二工，所以

y+14

原方程滿(mǎn)足初始條件的特解為arctany=x+~,即y=tan(x+-)="二］.

4”41-tanx

習(xí)題12—4(A)

1.指出下列各對(duì)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的線性相關(guān)性:

(1)3%與一；(2)e*與xe*：

(3)e-'與e'"；(4)e'與5e1

(5)sinx與sin2x；(6)sinxcosx與sin2x；

(7)e'secx與e*tanx；(8)Inx與Inx"(//>0).

2

解：(1)因?yàn)槎?±不恒為常數(shù)，所以3%與爐在區(qū)間(一8,+8)內(nèi)線性無(wú)關(guān).

3x3

xe"

(2)因?yàn)橐?x不恒為常數(shù)，所以e'與疣”在區(qū)間(一8,+8)內(nèi)線性無(wú)關(guān).

er

e-2.t

(3)因?yàn)橐?不恒為常數(shù)，所以e-與e-2x在區(qū)間(-oo,+oc)內(nèi)線性無(wú)關(guān).

e

(4)因?yàn)榻?5恒為常數(shù)，所以e"與5廿在區(qū)間(一8,+8)內(nèi)線性相關(guān).

e

sin

(5)因?yàn)?----=2cosx不恒為常數(shù)，所以sinx與sin2x在區(qū)間(-8,+8)內(nèi)線性無(wú)關(guān).

sinx

sin2x

(6)因?yàn)槎?---:—二2恒為常數(shù)，所以sinxcosx與sin2x在區(qū)間(一8,+8)內(nèi)線性相

sinxcosx

關(guān).

(7)因?yàn)镴^3=sinx不恒為常數(shù)，所以？飛6€工與己’1&11/在區(qū)間(-8,+8)內(nèi)線性

esecx

無(wú)關(guān).

Inx”

(8)因?yàn)樯?一=〃>0恒為常數(shù)，所以Inx與In/在區(qū)間(0,+8)內(nèi)線性相關(guān).

Inx

2.驗(yàn)證函數(shù)y=e2x,必二年?,是微分方程y〃—4)，'+4y=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，并寫(xiě)

出該方程的通解.

解：因?yàn)楸囟?2,所以乂=2e2",>f=4e2t,因此

)；-4乂+4y=4e2t-8e2x+4e2v=0,

所以y=e?'是y〃-4y'+4)，=0的解；

同理，為=1??'是y"-4y'+4y=0的解.

又因?yàn)?=<=x不恒為常數(shù)，所以函數(shù)K=e2',%=是微分方程

/-4/+4y=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.

因此二階線性齊次微分方程y"—4)，'+4y=0通解為

2X

y=Gy+C2y2=(￡+C2X)Q.

3.通過(guò)觀察給出微分方程y〃+y=O的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，并寫(xiě)出該方程的通解.

解：y〃+y=O是二階線性齊次微分方程，改寫(xiě)為y〃二-y,二階導(dǎo)數(shù)與自身呈相反數(shù)的函

數(shù)有Y=sinx,y2=cosx,它們是y"+y=0的兩個(gè)解，又匹=?^=81%不恒為常

ysinx

數(shù),于是y=sinx,%=cosx線性無(wú)關(guān)，所以方程_y〃+y=0的通解為

y=Ctsinx+C2cosx.

4.寫(xiě)出下列各二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解：

(1)y"-3y'+2y=0；(2)y"-10y'+25y=0；

⑶/-2y+10y=0；(4)=一2%=0.

解：(1)特征方程為產(chǎn)―3r+2=0,即1)(r-2)=0,特征根為乙=1、r2=2(不相

等實(shí)根)，所以方程/-3y+=0的通解是y=Ge'+Qe2x.

(2)特征方程為一―10〃+25=0,即(——5)2=0,特征根為/=弓=5(兩個(gè)相等實(shí)

5t

根)，所以方程y〃-1Oy'+25y=0的通解是y=(G+C2x)e.

(3)特征方程為/一2廠+10=0,由二次代數(shù)方程求根公式，得特征根為

尸一/"'"-4竺二工士'匕”二］±3,(一對(duì)共枕復(fù)根)，所以方程y"-2y'+10y=0的

2a2

通解是y=(Gcos3x十C?sin3x)ev.

(4)特征方程為r-2=0,特征根為「=JI、r2=-^2(不同實(shí)根)，所以方程

票-2x=0的通解是x=ge"+Ge-"(注意，是自變量，x是因變量).

5.求下列各微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解：

(1)噸+3也-4y=0,>0)=2,/(0)=-3；

drdr

(2)y"-2y'+y=0,y(0)=1,y'(0)=2；

(3)y"—4y'+5y=0,y(0)=1,y'(0)=0.

解：(1)特征方程為，+3/-4=0,即(r-l)(r+4)=0,特征根為a=1、4=-4，

所以方程票+3祟-4y=0的通解是y=C,ez+，且今=C"-.

，八-G+G=2,(C,=1,

由初始條件y(0)=2,y'(0)=-3,有〈二4-.得《二，所以方程滿(mǎn)足初始

C,-4C2=-3,[C2=L

條件y(0)=2,yf(0)=-3的特解是y=e'+e』.

(2)特征方程為，-2r+l=0,即(r-l)2=0,特征根為/=4=1,所以方程

v

y〃-2y'+y=0的通解是y=(C,+C2x)e,且y'=(G+G+C2x)e\

由初始條件y(O)=l,y'(0)=2,有,?二匕。得竹二)所以方程滿(mǎn)足初始條件

[C與+G=2,C?—1,

y(O)=l,火0)=-1的特解是)，=(1+幻門(mén)

(3)特征方程為r-4r+5=0,由二次代數(shù)方程求根公式，得特征根為

2x

r=4±'：-2°=2±"所以方程y〃-4y+5)，=0的通解是y=&cosx+C2sinx)e,

且)/=[(2G+。2)85%+(2。2-CJsin^]e2r.

[C.=1,(C.=1,

由初始條件y(O)=l，y'(0)=0,有I.二「八得-所以方程滿(mǎn)足初始條

2￡+C2=0,[G=-2，

件y(0)=1,/(0)=0的特解是y=(cosx-2sinx)e2v.

6.求下列各二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解：

(1)y"+y=l+x；(2)yn+2y'+y=2e-v；

(3)2/+y-y=3+x-x2；(4)y〃-y=4xe1

解：(1)相應(yīng)齊次方程為y〃+y=0,特征方程產(chǎn)+1=0,特征根為石=八r?=T,相

應(yīng)齊次方程通解為丫=Gcosx+C2sinx.

這里f(x)=l+x,〃=1、2=0不是特征根，因此設(shè)y?=or+6,將其代入到原方

程之中，有ar+b=l+x,比較系數(shù)得。=1、8=1,于是原方程的一個(gè)特解為

y*=1+x.原方程的通解為y=Y+yt=C(cosx+C2sinx+1+x.

(2)相應(yīng)齊次方程為y〃+2y'+y=0,特征方程/+2〃+1=0,即(r+l)2=0,特征

x

根為4=R=-1,相應(yīng)齊次方程通解為丫=(G+C2x)e.

這里/(乃=26-',〃=0、4二-1是二重特征根，因此設(shè))/=/.恁-'=4/?-二

將其代入到原方程之中，化簡(jiǎn)有為=2,得。=1,于是原方程的一個(gè)特解為y*=/e-x,

x2x

原方程的通解為y=(G+C2x)Q-+xe-.

(3)相應(yīng)齊次方程為2)，"+y'-y=0,特征方程2r+〃一1=0,即(2/一1)(尸+1)=0,

特征根為4=-1、與=1/2,相應(yīng)齊次方程通解為丫=。6-'+。2b，2.

這里/。)=3+%-/，九=2、4=0不是特征根，因此設(shè)y*=a?+及+c,代入到

-a=-1,

原方程之中，有4a+(2"+8)一(以2+bx+c)=3+x-%2,比較系數(shù)有，2。-6二1,得

4a+b-c=3f

。=1、b=l、c=2,于是原方程的一個(gè)特解為y*=f+工+2.

t/22

所以，原方程的通解為y=Y+y=Ge-'+C2e+x+x+2.

(4)相應(yīng)齊次方程為)產(chǎn)一〉二0,特征方程/一1=0,特征根為(=1、r2=-1,相應(yīng)

r

齊次方程通解為Y=C,e+C2e-\

這里/*)=4xe',2")=4x,〃=1、4=1是單重特征根，因此設(shè)

y*=x(4x+b)e'=(ar?+Z?x)e”,將其代入到原方程之中，化簡(jiǎn)有2〃+2(2ar+Z?)=4x,

比較系數(shù)得。=1、b=-\,于是原方程的一個(gè)特解為y*=(—-x)e1所以原方程的通解

-V2r

為y=丫+y*=Ge*+C2e+(x-x)e.

7.求下列各二階常系數(shù)線性非齊次微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解：

(1)y*-2y=6x-l,y(0)=l，y'(0)=3；

(2)/+4y=5e\y(0)=0,/(0)=l；

解：(1)相應(yīng)齊次方程為y〃-2y=0,特征方程產(chǎn)-2r=0,特征根為弓=0、0=2,

2x

相應(yīng)齊次方程通解為丫=G+C2e.

這里/(幻=6%一1,〃=1、4=0是單重特征根，因此設(shè))「=x(a￥+Z?)=av2+法，

3

代入到原方程之中，有-4ax+24/一加二6X一1,得。=一一，〃=-1,于是原方程的一個(gè)

2

特解為-=一1—一%.

所以，原方程的通解為〉=丫+丁*=。I+02?2*—；/一］.

2x

y=2C2e-3x-l,由初始條件y(0)=l,/(0)=3,有|得G=-1、

C2=2,所以方程)，"-2y=6x-l滿(mǎn)足初始條件)，(0)=1,)，'(0)=3的特解為

j=2e2r--x2-x-l.

2

(2)相應(yīng)齊次方程為y〃+4y=0,特征方程產(chǎn)+4=0,特征根為4=2八弓=一2"相

應(yīng)齊次方程通解為丫=CCOS2X+C2sin2x.

這里f(x)=5e],〃=0、4=1不是特征根，因此設(shè)y'=ae'.代入到原方程之中，

有小、+4ae'=5e\得。=1于是原方程的一個(gè)特解為y*=ex.

所以，原方程的通解為y=￥+：/=Gcos2x+C2sin2x+e"

fA

y=-2C,sin2x+2C2cos2x+e,由初始條件y(0)=0,