第12章全等三角形（基礎(chǔ)?？家族e壓軸）分類專項訓(xùn)練（解析版）

第12章全等三角形（基礎(chǔ)、?？?、易錯、壓軸）分類專項訓(xùn)練

【基礎(chǔ)】

一.全等圖形（共2小題）

1.（2022春?商水縣期末）有下列說法，其中正確的有（）

①兩個等邊三角形一定能完全重合；

②如果兩個圖形是全等圖形，那么它們的形狀和大小一定相同；

③兩個等腰三角形一定是全等圖形；

④面積相等的兩個圖形一定是全等圖形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】直接利用全等圖形的性質(zhì)分別分析得出答案.

【解答】解：①兩個等邊二角形不一定能完全重合，故此選項不合題意；

②如果兩個圖形是全等圖形，那么它們的形狀和大小一定相同，故此選項符合題意；

③兩個等腰三角形不一定是全等圖形，故此選項不合題意；

④面積相等的兩個圖形不一定是全等圖形，故此選項不合題意.

故選:4

【點評】此題主要考查了全等圖形，正確掌握全等圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2022春?永春縣期末）如圖是由四個用同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，則Nl+N2=180°.

【分析】根據(jù)SAS可證得△ABCgAEDC,可得出NBAC=NOEC,繼而可得出答案.

【解答】】解：由題意得：AB=ED,BC=DC,ND=N8=90°,

???△ABC妾△EOC（SAS）,

AZBAC=Z1,

Zl+Z2=180°.

故答案為：180°.

【點評】本題考查全等圖形的知識，比較簡單，解答本題的關(guān)鍵是判斷出△ABCgZXEDC.

二.全等三角形的性質(zhì)（共3小題）

3.（2022春?淄博期末）如圖，已知△ABDZ/XACE,AO=3,AB=7,BD=9,則AC的長為（）

7C.9D.無法確定

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：:△ABOg/XACE,AB=1,

：.AB=AC=7,

故選：B.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022春?招遠市期末）如圖所示，△A8C0ZV1七立在下列結(jié)論中，不正確的是（）

A.ZEAB=ZFACB.BC=EFC.CA平分N8C尸D.ZBAC=ZCAF

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：?:△ABgXAEF,

；?/B4C=NE4尸，

工/BAC-ZEAE=ZEAF-ZEAC,

：.^EAB=ZFAC,故A不符合題意;

??,'ARgAAEF,

/.RC-EF,故用不符合題意：

?：△ABCWAAEF,

：.AC=AFtNACB=NF,

：.Z1ACF=ZF=NACB,

???CA平分NBCF,故C不符合題意；

??,△AB（XZ\A",

???/BAC=NE4尸，

AZBAOZCAF,故。符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2022春?元陽縣期末）已知△48C的三邊長為x,3,6,△。石尸的三邊長為5,6,y.若AABC與ADEF

全等，則x+y的值為8.

【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等解答即可.

【解答】解：因為△ABC與△￡>￡：尸全等，

所以x=5,y=3,

所以x+y=8,

故答案為：8.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵.

三.全等三角形的判定（共4小題）

6.（2022春?溫江區(qū)校級期末）下列說法王確的是（）

A.兩個全等圖形面積一定相等

B.兩個等邊三角形一定是全等圖形

C.形狀相同的兩個圖形一定全等

D.兩個正方形一定是全等圖形

【分析】直接利用全等圖形的性質(zhì)以及定義，分別分析得出答案.

【解答】解：A.兩個全等圖形面積一定相等，故此選項合題意；

B.兩個等邊三角形不一定是全等圖形，故此選項不合題意；

C.形狀相同的兩個圖形不一定全等，故此選項不合題意；

D.兩個正方形不一定是全等圖形，故此選項不符合題意；

故選：A.

【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等圖形，正確掌握全等圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.（2022春?保定期末）如圖三角形紙片被遮住了一部分，小明根據(jù)所學(xué)知識畫出了一個與原三角形完全重

合的三角形，他畫圖的依據(jù)是（）

A.SSSB.AASC.ASAD.SAS

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理力SA得出即可.

【解答】解：他畫圖的依據(jù)是4s4,即有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，

故選:C.

【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全

等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有〃人等.

8.（2D22?連城縣校級開學(xué)）如圖，在△48C和△。即中，AB=DE,NB=NDEF,請你再補充一個條件,

能直接運用“SAS”判定△ABCg/XOER則這個條件是（）

A.NACB=NDEFB.BE=CFC.AC=DFD.ZA=ZF

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法即可確定.

【解答】解：添加條件：BE=CF,理由如下：

,:BE=CF,

：.BC=EF.

在△A5C和△￡）￡：?中，

rAB=DE

?NB=NDEF，

BC=EF

工2ABC安/\DEF（SAS）,

故選：B.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

9.（2B22春?榕城區(qū)期末）加圖,已知人R=4。，AE=AC,/DAR=/F.AC.求證：/\ACD^/\AF.R.

【分析】先證明ND4C=NBAE,然后根據(jù)“S4S”可判斷△ACDg/XAEB.

【解答】證明：???ND48=NE4C,

:.ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,

即/￡>4C=N34E,

在△4。）和△AE8中，

rAD=AB

?ZDAC=ZBAE>

AC=AE

:?△ACDeXAEB（SAS）.

【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵，選用

哪一種方法，取決于題目中的已知條件.

四.全等三角形的判定與性質(zhì)（共6小題）

10.（2022春?鳳翔縣期末）如圖，銳角△力8C的兩條高80、CE相交于點O,且CE=BD,若NCBD=20。，

則/A的度數(shù)為（）

A.20°B.40°C.60°D.70c

【分析】首先利用直角三角形可得N8C。得度數(shù)，再根據(jù)“印「可得△8EC也△88,進而得到N8CO

=/CBE,可得NA.

【解答】解：8。是高，ZCBD=205,

AZBCD=180°-90°-20°=70°,

在RtABEC和RtACDB中,

[CE=BD,

lBC=CB，

ARtABEC^RtACDB（HL）,

:"BCD=NCBE=K0,

：.ZA=180°-70°-70°=40°.

故選:B.

【點評】本題考查直角三角形全等的判定和等腰三角形的性質(zhì)，熟練的掌握全等的判定方法是解題關(guān)鍵.

11.（2022春?永州期末）如圖，NAOC=NBOC,點尸在。。上，PQ_LO4與點。，PEJLOB與點E,若

OD=4,OP=5,則PE的長為（）

A.3B.V3C.4D.Vl5

【分析】利用勾股定理列式求出PD,再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得?石=尸/）.

【解答】解：???OO=4,OP=5,PD1OA,

由勾股定理得，PD=>7OP2-OD2=39

VZAOC=ZBOC,PD±OA,PEtOB,

???PE=PD=3.

故選:A.

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，勾股定理，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

12.（2022春?淄博期末）如圖，是△ABC的角平分線，。尸于點凡點、E,G分別是邊AB,AC±

的點，且OE=OG,則/AED+NAGD=180度.

【分析】過點。作OH_L4C于點”，由A。是△ABC的角平分線可得。尸=。"，可證出△￡）￡^^△06月

(HL),可得NAGO=NOE凡即可求解.

t解答】解：如圖，過點。作。〃14c于點從

'：DF±AB,

:?NDFE=90°,

:4。是△ABC的角平分線，

：.Db=DH,

■:DE=DG,

:?△DEFW4DGH(HL),

：.^AGD=ZDEFt

：.^AED+ZAGD=ZAED+ZDEF=\^°,

故答案為：180.

【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)犍是正確作出輔助線，證出△

DEF/ADGH.

13.(2022春?沈北新區(qū)期末)如圖，已知3￡>=C￡ZB=ZC,若48=7,40=3,則Z)C=4.

【分析】利用A4S證明△ABOgZXACE,WAC=AB,從而得出答案.

【解答】解：在△A8O與△4€1￡：中，

2A=NA

?NB=NC，

BD=CE

：.\ABD9XACECAAS),

**AC=ABf

*：AB=1,AD=3,

：.CD=AC-AD=AB-AD=1-3=4,

故答案為：4.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABOgZXACE是解題的關(guān)鍵.

14.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）填空完成下列說理：

如圖，AC與BD交于點0,聯(lián)結(jié)4B、DC、BC,已知NA=NO,AO=DO.

說明：ZABC=ZDCB.

在AAOB與△OOC中，

ZA=ZD（已知）

AO=DO（已知）

ZAOB=ZDOC（對頂角相等）

/.（ASA）

???/A8O=NOC0（全等三角形的對應(yīng)角相等）

OB=OC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

：./OBC=ZOCB（等邊對等角）

A^OBC+ZABO=ZOCB+ZDCO（等式性質(zhì)）

即/48C=NOCB.

【分析】根據(jù)對頂角相等得到NAO8=NOOC,再證明△AOSg△OOG所以O(shè)8=OC,根據(jù)等邊對等

角證明/08C=N0C8,最后根據(jù)等式性質(zhì)即可解答.

【解答】解：在△A08與△OOC中，

ZA=ZD（已知），

AO=DO（已知），

ZAOB=ZDOC（對頂角相等），

ACASA）,

：.4AB0=NDC0（全等三角形的對應(yīng)角相等）,

OB=OC（全等三角形的對應(yīng)邊相等），

：,/CRC=/CCR（等邊對等角）.

A^OBC+ZABO=ZOCB+ZDCO（等式性質(zhì)），

即

【點評】本題主要考查對頂角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與應(yīng)用.

15.（2022春?沈北新區(qū)期末）如圖，4、E、F、B在同一條直線上，AE=BF,NA=NB,NCEB=NDFA,

【分析】首先利用ASA證明△APOg/kBEC,得8C=AO,再由等角對等邊得04=08,從而證明結(jié)論.

【解答】證明：?.?AE=8R

；.AE+EF=BF+EF,

即AP=BE,

在△A"）和△BEC中，

2A=NB

<AF=BE，

ZAFD=ZCEB

:?△AFDgABEC（ASA）,

：.BC=AD,

*：/4=NB,

：?OA=OB,

：,AD-OA=BC-OB,

：.OC=OD.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，證明△AagZkBEC是

解題的關(guān)鍵.

五.全等三角形的應(yīng)用（共1小題）

16.（2022春?鄲城縣期末）如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的模具不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要去商店配

一塊與原來一樣的三角形模具，那么最省事的是帶哪一塊去（)

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法結(jié)合圖形判斷出帶③去.

【解答】解：由圖形可知，③有完整的兩角與夾邊，根據(jù)“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形，

所以，最省事的做法是帶③去.

故選：C.

【點評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

六.角平分線的性質(zhì)（共1小題）

17.（2022?遵義模擬）如圖，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=AE,DELAB,若NBDE=46°,則NO4E

=23°.

【分析】先利用鄰補角求出NCDE,再根據(jù)角平分線的判定判斷出N4DE=L/CDE，最后利用三角形

2

內(nèi)角和求出ND4E.

【解答】解：?:NBDE=46：

AZCDE=1800-ZBDE=180°-46°=134°,

*：DE.LAB,

.*.ZDE4=90o,

又NDEA=90°,NC=90°,

???D4是/CDE的角平分線，

???/ADE】NCDE1X1340=67°，

工在RtZ\AOE中，

AZDA￡=1800-ZDEA-ZADE=180°-Z90°-67°=23°，

故答案為:23°.

【點評】本題考查角平分線的判定，能判斷出AO平分NC0E是解題的關(guān)禳.

【?？肌?/p>

一.全等圖形（共1小題）

1.（2022春?濟南期中）如圖.在2X2的正方形網(wǎng)格中.線段人山的端點均在格點卜.則/1+/2=

90°.

【分析】首先證明△COO0△A08,利用全等三角形的性質(zhì)可得N1=N8人。，進而可得答案.

【解答】解：由題意可得CO=AO,BO=DO,

A0=C0

在△COO和△4。6中＜Zo=zo?

BO=DO

???△COOgZVIOB(SAS),

???N1=/8AO,

???N2+NB4O=90°,

，N1+N2=9O°.

故答案為：90.

【點評】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等圖形的判定方法和性質(zhì).

二.全等三角形的性質(zhì)（共6小題）

2.（2022春?揚山縣校級期末）如圖,△A8C空△OEC,B,C,。三點在同一直線上，若CE=6,AC=9,

則8。的長為（）

C.12D.15

【分析】關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：,:XABC/ADEC,CE=6,AC=9,

:.RC=CE=6.CD=AC=Q.

:.BD=BC+CD=6+9=15,

故選：D.

【點評】此題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等解答.

3.（2022春?長安區(qū)期末）如圖，點A,0,B,尸在一條直線上，△ABCgAFOE.若A尸=10,40=3.5,

則8。的長為（）

A.3B.3.5C.6D.7

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出A8=OF,求出40=8尸=3.5,再代入BO=A〃-AD-B產(chǎn)求出即可.

【解答】解：'：XABC9XFDE、

:.AB=DF,

:?AB-BD=DF-BD,

即AD=BF,

???40=3.5,

：.BF=3.5,

VAF=10,

：.BD=AF-AD-BF=10-3.5-3.5=3,

故選：A.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.

4.（2022春?蕭縣期末）如圖，點B,C,。在同一條直線上，且CE=2,CD=4,則8。

的長為（）

C.4.5D.6

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，進而解答即可.

【解答】解：,:△ABC@4DEC,CE=2,CD=4,

:.BC=CE=2,

:?BD=BC+CD=4+2=6,

故選：D.

【點評】此題考查全等二角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等二角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等解答.

5.（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，其中NA=36°,ZC=24°,則/B=（）

B.100°C.120°D.135°

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出NC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案.

【解答】解：NC=24°,

???NC=NC=24°,

???NB=I8O0-ZA-ZC=180°-36°-24°=120°,

故選：C.

【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)

犍.

6.（2。22春?偃師市期末）如圖，若△ABC也△。后尸，A尸=2,"）=8,則尸C的長度是6

A

【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等解答即可.

【解答】解："：XABC妾XDEF,A尸=2,尸。=8,

：.AC=FD=S,

：,FC=AC-AF=S-2=6,

故答案為：6.

【點評】此題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等解答.

7.（2022春?晉江市期末）如圖，△48C0△AOE,且點石在上，若ND4B=3O。，則NC￡0=150°

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NB=N。，根據(jù)對頂角相等得到N8〃E=NWM,求出NBEO,根據(jù)

鄰補角的定義計算，得到答案.

【解答】解：VAABC^AADE,

；?NB=ND,

■:NBHE=NDHA,

???NBED=ND4B=3O°,

/.ZCED=180°-NBED=150°,

故答案為：150。.

【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

三.全等三角形的判定（共4小題）

X.（2022春?郛城具期末）如圖,F.^AO=CO,若以“SAS”為依據(jù)證明△.4。/?烏八。）。.還要添加的條

件BO=DO.

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到人O=CO,NAOB=NCOD,然后即可得到△4OB且△□%）需要添加

的條件.

【解答】解：'：AO=CO,NAOB=NCOD,

???添加條件80=。。，貝iJZ\AO8gZ\COO（SAS）,

故答案為：B0=D0.

【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

9.（2022春?濟南期末）已知：如圖，NCAB=NDBA,只需補充條件4c=5），就可以根據(jù)“SAS”得

【分析】根據(jù)S4S的判定方法可得出答案.

【解答】解：補充條件AC=8O.

理由：在△ABC和△84D中，

AC=BD

<ZCAB=ZDBA，

AB二BA

△ABgZ\8AO（SAS）.

故答案為：AC=BD.

【點評】此題主要考查了全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA.AAS.HL.

10.（2022春?普寧市期末）如圖，NA=/B=90°,AB=60,E,尸分別為線段AB和射線8。上的一點，

若點E從點B出發(fā)向點A運動，同時點尸從點B出發(fā)向點。運動，二者速度之比為3：7,運動到某時刻

同時停止，在射線AC上取一點G,使△AEG與aBE尸全等，則AG的長為18或70.

c

AEB

【分析】設(shè)BE=3f,則8/=7f,使aAEG與ABE尸全等，由NA=N8=90°可知，分兩種情況：

情況一：當B￡=AG,6"=A￡時，列方程解得7,可得4G；

情況二：當5七=4E，8/=AG時，列方程解得Z,可得AG.

【解答】解：設(shè)8E=3/,則BF=7f,因為/A=NB=90°,使AAEG與△BE/全等，可分兩種情況:

情況一：當BE=AG,時，

9：BF=AE,AB=60,

，7f=60-36

解得：t=6,

.??AG=8E=3/=3X6=18；

情況二：當BE=AE,BF=AG時,

*：BE=AE,AB=60,

.*.3/=60-36

解得：r=10,

:.AG=BF=F=1X10=70,

綜上所述，4G=18或AG=70.

故答案為：18或70.

【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想是解答此題的關(guān)鍵.

11.(2022春?龍口市期末)如圖，ZC=90°,4c=20,BC=\0,AX_LAC,點P和點。同時從點A出發(fā),

分別在線段AC和射線4X上運動，且AB=PQ,當4P=10或20時,以點A,P,。為頂點的三角形與

△ABC全等.

【分析】分兩種情況：①當AP=8C=10時；②當月P=CA=20時；由證明RtZ\4BCgRtZ\PQA(”L)；

即可得出結(jié)果.

【解答】解：

，N/HQ=90°,

???NC=N%Q=90°,

分兩種情況：

①當4P=BC=10時，

在RtzXABC和RtAQM中，

[AB=PQ,

，

lBC=i\P

/.RtAABC^RtA0/^(HL)：

②當AP=CA=20時，

在△ABC和中，

[AB=PQ,

1AP=AC'

.*.RtAABC^RtAPCA(HL)；

綜上所述：當點P運動到AP=10或20時，△4BC與△APQ全等；

故答案為：10或20.

【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法；熟練掌握直角三角形全等的判定方法，本題需要分類討

論，難度適中.

四.全等三角形的判定與性質(zhì)(共6小題)

12.(2022?陳倉區(qū)一模)如圖所示，A、。、B、E四點在同一條直線上，若AO=BE,ZA=ZEDF,NE+

ZCBE=180°，求證：AC=DF.

【分析】根據(jù)NE+NCBE=180°,NA8C+NC8E=180°,可得NE=NA8C根據(jù)AO=BE可得AB=OE,

利用4sA證明△ABCgZXOEF,可得結(jié)論.

【解答】證明：???/E+NCBE=180°,ZABC+ZCBE=\SO°,

/.7E=/ARC.

?:AD=BE,

；.AD-DB=BE+DB,

即AB=DE,

在△ABC和△/)￡：尸中，

2A=NEDF

<AB=DE，

ZABC=ZE

:.叢ABC沿4DEF(ASA),

：.AC=DF.

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)ASA證明△A5C0△。即是解題的關(guān)鍵.

13.(2022春?興慶區(qū)校級期末)如圖，8。為△ABC的角平分線，E為4B上一點，BE=BC,連結(jié)

(1)求證：ABDC”ABDE；

(2)若AB=7,CD=2,NC=90°,求△ABO的面積.

(分析］(1)根據(jù)SAS可證明△BDC妾ABDE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出NBEO=NC=90°,DC=DE,根據(jù)三角形的面積公式可得出答案.

【解答】(1)證明：???80為△A8C的角平分線，

:?NBCD=NEBD,

在和△BOE中，

FBC=BE

,NCBD=NEBD，

BD=BD

:.ABDC/4BDE(SAS)；

(2)解：'：/\BDgABDE,

:.NBED=NC=90°,DC=DE,

VDC=2,

：.DE=2,

：.SMBD=-AB*DE=^X1X2=1.

22

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，證明是解題的關(guān)鍵.

14.(2022?淮陰區(qū)模擬)已知：如圖，點、E,尸在上，BE=CF,AB=DC,N8=NC.求證：NA=N

D.

【分析】根據(jù)S4S證明△人BFgAOCE,由全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】證明：???8E=CE

???BE+EF=CF+EF,

:?BF=CE,

在△ABr和△/)(?￡中，

'AB二CD

<ZB=ZC,

BF=CE

???△A5修△OCE(SAS),

???NA=ND

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考基

礎(chǔ)題.

15.(2022?溫州模擬)如圖，四邊形A8CO中，AD//BC,E為CO的中點，連結(jié)8E并延長交AO的延長

線于點尸.

(1)求證：4BCE學(xué)AFDE；

(2)連結(jié)4E,當4E_L8/，BC=2,4。=1時，求A8的長.

【分析】（1）由“A4S”可證△DAE^^C尸E；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BE=E/，BC=DF,由中垂線的性質(zhì)可得AB=A凡可得結(jié)論；

【解答】解：（1）,：AD//BC,

:?NF=NEBC,NFDE=NC,

???點E為CO的中點，

:?ED=EC,

在和七。中，

2F=NFBC

<ZFDE=ZC>

ED=EC

：AFDE迫4BEC（A4S）；

（2）VAFDE^AfiEC,

:?BE=EF,BC=DF,

???AE_LBF,

：.AB=AF,

：.AB=AF=AD+DF=AD+BC=1+2=3,

???A5的長為3.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，證明是本題的關(guān)

鍵.

16.（2022春?余江區(qū)期末）綜合與探究

如圖U）,AB=9cm,AC1AB,8O_LAB垂足分別為A、B,AC=7c〃?.點尸在線段A8上以2cm/s的速度

由點4向點8運動，同時點。在射線BD上運動.它們運動的時間為f（s）（當點P運動結(jié)束時，點。運

動隨之結(jié)束）.

(1)若點。的運動速度與點尸的運動速度相等，當1=1時，產(chǎn)與△8PQ是否全等，并判斷此時線段

PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；

(2)如圖(2),若“ACJLA&BO_LA8”改為“NCAB=NOR4"，點Q的運動速度為xcm/s,其它條件不

變，當點尸、。運動到何處時有△AC尸與△BPQ全等，求出相應(yīng)的x的值.

【分析】(1)根據(jù)SAS證明aACP和△BPQ全等，進而解答即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出方程解答即可.

【解答】解：(1)ZLACPg△BP。，PC.LPQ,

理由：:ACLAB,BD1AS,

，N4=N8=90°,

\'AP=BQ=2,

???B尸=7,

:.BP=AC,

在△ACP和△BP。中，

'AP=BQ

?NA=NB，

AC=BP

/.(SAS),

：?NC=/BPQ,

VZC+ZAPC=90°,

AZAPC+ZBPQ=90°,

???NCPQ=90°,

：.PCLPQ；

(2)①若△ACFg/XBPQ,

貝|J4C=B尸，AP=BQ,

可得：7=9-262t=xt,

解得：x=2,，=1；

②若八

貝|JAC=8Q,AP=BP,可得：l=xt,2r=9-2/

解得：具，t^>.

X94

綜上所述，當aACP與aBP。全等時x的值為2或零.

【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△ACP和asp。全等解答，解決此題的

是注意分類討論.

17.(2022春?南山區(qū)期末)如圖，CO是經(jīng)過NBC4頂點C的一條直線，CA=CB,E、尸分別是直線CO

上兩點，且NBEC=NC"=a.

(1)若直線CO經(jīng)過N8C4的內(nèi)部，且￡、尸在射線。。上.

①如圖1,若N6CA=9U°,a=9(T,則BE=C7；

②如圖2,若0°<ZBCA<180°,請?zhí)砑右粋€關(guān)于a與N8CA關(guān)系的條件a+N8CA=180°,使①

中的結(jié)論仍然成立，并說明理由；

(2)如圖3,若直線CO經(jīng)過NBC4的外部，a=N8C4,請?zhí)岢鲫P(guān)于七/，BE,4尸三條線段數(shù)量關(guān)系的合

理猜想，并簡述理由.

【分析】(1)由N8C4=90°,ZBEC=ZCM=a=90°,可得NC3E=NAC/，從而可證△8CEg△(?",

故BE=CF.

(2)若BE=CR則可使得△BCEgACAF.根據(jù)題目已知條件添加條件，再使得一對角相等，XBCaX

C4尸便可得證.

(3)題干已知條件可證△BCEg^CAF,故8E=CF，EC=FA,從而可證明痔=BE+A尸.

【解答】解：(1)VZBEC=ZCM=a=90°,

：,ZBCE+ZCBE=\S00-ZBEC=90°.

又???N8CA=N8CE+N4c尸=90°,

:./CBE=ZACF.

在△BCE和△CA產(chǎn)中，

rZBEC=ZCFA,

<ZCBE=ZACF,

BC=AC.

.,.△SCE^ACAF(A4S).

：.BE=CF.

(2)a+ZBCA=180°,理由如下：

?：NBEC=NCFA=a,

：.NBEF=1800-NBEC=1800-a.

又VNBEF=NEBC+NBCE,

???N￡BC+NBCE=1800-a.

又?.?a+/8cA=18(T,

???NBCA=1800-a.

/.ZBCA=ZBCE+ZACF=1800-a.

：,/EBC=/FCA.

在和△CA產(chǎn)中，

rZCBE=ZACF,

,ZBEC=ZCFA,

BC=CA.

:.△BCaACAF(AAS).

：.BE=CF.

(3)EF=BE+AF,理由如下：

???NBCA=a,

???NBCE+NACF=1800-ZBCA=180°-a.

又,：￡BEC=a,

；?NEBC+NBCE=1800-ZBEC=180°-a.

:?/EBC=NFCA.

在△BEC和△。胡中，

rZEBC=ZFCA,

<ZBEC=ZFCA,

BC=CA.

/.△BEC^ACM(A4S).

/.RF-CF,EC=FA.

：.EF=EC+CF=FA+BEtB|JEF=BE+AF.

【點評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

五.全等三角形的應(yīng)用(共1小題)

18.(2022春?臨渭區(qū)期末)小明與爸爸媽媽在公園里蕩秋千，如圖，小明坐在秋千的起始位置A處，OA

與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1.2,〃高的8處接住他后用力一推，爸爸在C處接住他,

若媽媽與爸爸到OA的水平距離8￡＞、CE分別為16〃和2m,ZBOC=90°.

(1)△08。與△COE全等嗎？請說明理由；

(2)爸爸是在距離地面多高的地方接住小明的？

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)得出NCOE=NOBD,根據(jù)A4s可證明△COEg/\O8。；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出CE=OZ),OE=BD,求出OE的長則可得出答案.

【解答】解：(1)4OBD與4c0E全等.

理由如下：

由題意可知NCEO=N5OO=90°,OB=OC,

VZBOC=90°,

；?NCOE+NBOD=NBOD+/OBD=90；

???ZCOE=NOB。，

在△COE和△OBO中，

rZCOE=ZOBD

?ZCEO=ZODB?

OC=OB

???△COEdOB。(A45)；

(2):△COE四△OBZ),

:.CE=OD,OE=BD,

■:BD、CE分別為1.6m和2m,

：.DE=OD-OF-CE-RD=2-1.6=04(〃?)，

?70=1.2〃?，

：.AE=AD+DE=\.6（w）,

答：爸爸是在距離地面1.6m的地方接住小明的.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，證明△COEg/XOBO是解題的關(guān)鍵.

六.角平分線的性質(zhì)（共3小題）

19.（2022?鳳翔縣一模）如圖，在△ABC中，ZC=90°,40是N8AC的角平分線，若CD=3,AB=8,

則△MO的面積是（）

C

【分析】過點。作OE_L4B于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OE,根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：過點。作。E_LA8于E,

???A。是NBAC的角平分線，OE_LAB,ZC=90°,

:.DE=CD=3,

AB*DE=AX8X3=12,

22

故選：D.

C

【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

20.（2022春?槐蔭區(qū)期末）如圖，點C在N4OB的平分線上，COJ_OA于點。，且CO=2,如果E是射線

OB上一點，那么CE長度的最小值是2.

A

【分析】過點。作CE_LOB于點E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：過點C作CE_LOB于點￡

,點C在NA08的平分線上，CQ_LQA于點。，且C￡>=2,

：.CE=CD=2,

即CE長度的最小值是2,

故答案為：2.

【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

21.（2022春?永豐縣期末）如圖，四邊形ABCD中，N8CO=90°,NABD=NDBC,AB=4,DC=6,則

【分析】過。作DELBA,交BA的延長線于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DC=6,根據(jù)三角形的面

積公式求出即可.

【解答】解：過。作OE_L8A,交8A的延長線于E,

VZBCD=90°，NABD=NDBC,

：.DE=DC,

VDC=6,

：.DE=6,

???A8=4,

：?AABD的面積是,xABxDE=yX4X6=,2*

故答案為：12.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，能根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE=OC=6是解此題的

關(guān)鍵

【易錯】

一.全等三角形的判定（共5小題）

1.（2022春?遼陽期末）在△ABC中，D,E分別是AC、BC上的點，過點Z）作OF_LA8,DG上BC,垂足

分別是點尸，G,連接。E,若DF=DG,BE=DE,則下面三個結(jié)論：

①BF=BG；

②DE//BF；

③△4）尸gZiCOG.

其中正確的是（）

A.①③B.②?C.①②D.①?③

【分析】連接8Q,根據(jù)垂直定義可得/0四=/82。=/860=/06。=90°,再根據(jù)HL證明RtZXBAD

^RtAfiGD,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得8P=8G,NFBD=NGBD,即可判斷①，再根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)可得NGBO=N3OE,從而可得NFBD=NBDE,即可判斷②，最后根據(jù)AOWCZ）,即可判斷③.

【解答】解：連接見），

VDF1AB,DG-LBC,

/.ZDFA=ZBFD=ZBGD=ZDGC=90°,

?;DF=DG,BD=BD,

LRtABFD絲RSGD(HL),

:?BF=BG,

故①正確；

?；RtABFD9RtABGD,

：.NFBD=NGBD,

?:BE=DE,

J/GBD=/BDE,

:./FBD=/BDE,

：.DE!/BFt

故②正確；

VZAFD=ZDGC=9O0,DF=DG,ADKCD,

:.AADF和△CDG不全等，

故③不正確；

所以，上面三個結(jié)論，其中正確的是①②，

故選：C.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

2.（2022春?保定期末）如圖，抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀敵人的碉堡，需要測出我軍陣地與敵人碉堡的距離,

我軍戰(zhàn)士想到一個辦法.他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部

點&然后轉(zhuǎn)過身，保持剛才的姿勢，這時視線落在了我軍陣地的點E上；最后，他用步測的辦法量出自

【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：戰(zhàn)士的視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點&然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時視線落在了

我軍陣地的點E上；

得NA=ZD,

*：AC=DF,

.??NAC8=NO”￡=9（r,

:.判定△48。0△OPE的理由是4sA.

故選：C.

【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等

三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有HL等.

3.（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）在下列條件中，能判定△ABC和B'C全等的是（）

A.4B=A'B',BC=B'C,NA=/A'

B.NA=NA',ZC=ZC;,AC=B'C

C.NA=NA',/B=/B',NC=NC'

D.AB=A'B',BC=B'C,NB=NB'.

【分析】三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角及

其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.依據(jù)上述

方法進行判斷即可.

【解答】解：當AB=A'B',BC=B'C,NA=NA'時，不能判定△ABC和△4'B'C'全等，NA

與NA'不是已知兩邊的夾角；

當NA=NA',ZC=ZCZ,AC=B'C時，不能判定aABC和AA'B'C全等，B'C不是NA'

與NC'的夾邊；

當NA=N4',NB=NB「NC=NC'時，不能判定△ABC和B'C全等，不存在AAA的方法;

當48=4'B',BC=B'C,NB=NB'時，能判定△ABC和B1C全等，依據(jù)是SAS.

故選：Q.

【點評】本題主要考查了全等二角形的判定，解題時注意：若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第二

邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另

一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊.

4.（2022春?阜新縣期末）如圖所示，已知N1=N2,要使△ABCgZXAOE,還需條件（）

A.AB=AD,BC=DEB.BC=DE,AC=AE

C.NB=ND,NC=NED.AC=AE,AB=AD

【分析】根據(jù)N1=N2求出根據(jù)全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,看看題

目給的兩邊是否是夾NBA。和ND4E的兩個對應(yīng)邊即可，注意：AA4和SSA不能判斷兩三角形全等.

【解答】解：???N1=N2,

JZ1+ZE4C=Z2+ZE4C,

AZBAC=乙DAE,

由于全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,則

A、不是夾N8AC和NZME的兩個對應(yīng)邊，故本選項錯誤；

B、不是夾NBAC和ND4E的兩個對應(yīng)邊，故本選項錯誤；

C、根據(jù)三個角對應(yīng)相等，不能判定兩三角形全等，故本選項錯誤；

。、是夾N84C和ND4E的兩個對應(yīng)邊，故本選項正確.

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS,4s4,A4S,SSS,其中

A44和SSA不能判斷兩三角形全等.

5.（2022?盤龍區(qū)二模）如圖，已知四邊形A8C。中，AB=\0cm,BC=8cm,CD=l2cm,NB=NC,點、E

為48的中點.如果點P在線段8C上以3c〃心的速度沿8-C-B運動，同時，點。在線段CO上由C點

向。點運動.當點。的運動速度為-匕或3或立或至c7〃/S時，能夠使尸E與△CQP全等.

-134-4-

D

A

【分析】設(shè)點P在線段BC上運動的時間為f,分兩種情況討論，①點P由B向C運動時，XBPE/XCQP

②△BPE經(jīng)△CP。，③點尸由。向B運動時，ABPEWACQP,④根據(jù)全等三角形的對應(yīng)

邊相等列方程解出即可.

【解答】解：設(shè)點P在線段4c上運動的時間為f,

①點P由8向C運動時，BP=3t,CP=8-3f,

■:ABPE芻ACQP,

：,BE=CP=5,

.\5=8-3r,

解得f=l,

：.BP=CQ=3,

此時，點。的運動速度為3+l=3cMs；

②點尸由8向C運動時，

MBPE々ACPQ,

:?BP=CP,

.*.3/=8-3r,

,一4

3

此時，點。的運動速度為：5+佟=爭加s；

③點P由C向B運動時，CP=3r-8,

:△BPEgZXCQP,

：.BE=CP=5,

???5=3f-8,

解得t=Alt

3

:.BP=CQ=3,

此時，點。的運動速度為3+里=工加s；

313

④點P由。向5運動時，

■:ABPE沿ACPQ,

：.BP=CP=4,

3/-8=4,

/=4,

,：BE=CQ=5,

此時，點Q的運動速度為5+4=2?〃心

4

綜上所述：點Q的運動速度為-tc〃?/$或3cml§或而或」耳〃次；

1354

故答案為：2或3或§或生.

1344

【點評】本題考查三角形全等的判定，掌握動點問題在解決全等三角形時邊長的表示及分情況討論，它們

也是解決問題的關(guān)鍵.

二.全等三角形的判定與性質(zhì)（共6小題）

6.（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB>AC,A￡>是△ABC的角平分線，點E在A。上，

過點E作ERLBC于點尸，延長CB至點G,使8G=2尸C,連接EG交AB于點”，EP平分NGEC,交AO

的延長線于點P,連接PH，PB,PG,若NC=/EGC+/BAC,則下列結(jié)論：

①NAPE=2NAHE；②PE=HE；③A8=GE；④SMAB=SNGE.

2

其中正確的有（）

A.①②③B.①②③④C.①②D.??④

【分析】過點P分別作GE,AB,AC的垂線，垂足分別為/,M,N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知，PM

=PN=PL易證PH平分NBGE,即NPHM=NP/〃.設(shè)NPEH=a,ZPAB=P，由外角的性質(zhì)可得/APE

=a-p,ZAHE=2a-2p,所以NAPE=2NA"E；故①正確；由外角的性質(zhì)可得NP”