2025屆黑龍江省齊齊哈爾市高考壓軸卷數(shù)學試卷含解析

2025屆黑龍江省齊齊哈爾市高考壓軸卷數(shù)學試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．2．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)所有直線與l異面B．α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交3．若（），，則（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．14．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和棱上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．5．三國時代吳國數(shù)學家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用，化簡，得.設(shè)勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）A． B． C． D．6．的二項展開式中，的系數(shù)是（）A．70 B．-70 C．28 D．-287．數(shù)列滿足：，，，為其前n項和，則（）A．0 B．1 C．3 D．48．已知正方體的棱長為1，平面與此正方體相交.對于實數(shù)，如果正方體的八個頂點中恰好有個點到平面的距離等于，那么下列結(jié)論中，一定正確的是A． B．C． D．9．中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或10．若，，，點C在AB上，且，設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．11．設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若，則()A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，，若線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標為，則的值為_________.14．在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點（3,4），則該雙曲線的準線方程為_____．15．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項積為，，（且），則__________.16．已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于，兩點，為坐標原點.（1）若直線過橢圓的上頂點，求的面積；（2）若，分別為橢圓的左、右頂點，直線，，的斜率分別為，，，求的值.18．（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）已知外接圓半徑,求的周長.19．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)直線上的定點在曲線外且其到上的點的最短距離為，試求點的坐標.20．（12分）已知函數(shù)(mR)的導函數(shù)為．（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．21．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前22．（10分）已知矩陣,二階矩陣滿足.（1）求矩陣;（2）求矩陣的特征值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，求出底面面積，代入錐體體積公式，可得答案．【詳解】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，其底面面積，高，故體積，故選：．【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求幾何體的體積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．2、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.3、A【解析】

利用復數(shù)的模的運算列方程，解方程求得的值.【詳解】由于（），，所以，解得或.故選：A【點睛】本小題主要考查復數(shù)模的運算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當時，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當時，最?。藭r由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.5、A【解析】分析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，，則弦為2，故而大正方形的面積為4，小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選：A.點睛：應用幾何概型求概率的方法建立相應的幾何概型，將試驗構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量．(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在數(shù)軸上即可；(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型．6、A【解析】試題分析：由題意得，二項展開式的通項為，令，所以的系數(shù)是，故選A．考點：二項式定理的應用．7、D【解析】

用去換中的n，得，相加即可找到數(shù)列的周期，再利用計算.【詳解】由已知，①，所以②，①+②，得，從而，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項分別為1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故選：D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應用，在求時，先算出一個周期的和即，再將表示成即可，本題是一道中檔題.8、B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖（1）恰好有3個點到平面的距離為；如圖（2）恰好有4個點到平面的距離為；如圖（3）恰好有6個點到平面的距離為.所以本題答案為B.【點睛】本題以空間幾何體為載體考查點，面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力，屬于難題.9、A【解析】

根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點在x、y軸上兩種情況討論，進而求得雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得：，得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點在x、y軸上兩種情況討論：

①當焦點在x軸上時有：②當焦點在y軸上時有：∴求得雙曲線的離心率2或．

故選：A．【點睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值．此題易忽視兩解得出錯誤答案．10、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應用，向量的基本定理的應用及向量共線定理等知識的綜合應用．11、D【解析】

利用與的關(guān)系，求得的值.【詳解】依題意，所以故選：D【點睛】本小題主要考查函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)函數(shù)表達式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計算函數(shù)定義域,然后求導,根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)單調(diào)性,對應函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域為.，當，，單增，當，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運算,同學們還可以用特殊值法等方法進行判斷.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

設(shè)，寫出直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理求得，由拋物線定義得焦點弦長，求得，再寫出的垂直平分線方程，得，從而可得結(jié)論．【詳解】拋物線的焦點坐標為，直線的方程為，據(jù)得.設(shè)，則.線段垂直平分線方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1．【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題，根據(jù)拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關(guān)鍵．14、【解析】

代入求解得,再求準線方程即可.【詳解】解：雙曲線經(jīng)過點,,解得,即．又,故該雙曲線的準線方程為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了雙曲線的準線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，進而求得，再利用對數(shù)運算求得的值.【詳解】由于，，所以，則，∴，，.故答案為：【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.16、（-4，2）【解析】試題分析：因為當且僅當時取等號，所以考點：基本不等式求最值三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點求得橢圓的焦點，由此求得，結(jié)合橢圓離心率求得，進而求得，從而求得橢圓的標準方程，求得橢圓上頂點的坐標，由此求得直線的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得兩點的縱坐標，由此求得的面積.（2）求得兩點的坐標，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，由此求得的值，根據(jù)在橢圓上求得的值，由此求得的值.【詳解】（1）因為拋物線的焦點坐標為，所以橢圓的右焦點的坐標為，所以，因為橢圓的離心率為，所以，解得，所以，故橢圓的標準方程為.其上頂點為，所以直線：，聯(lián)立，消去整理得，解得，，所以的面積.（2）由題知，，，設(shè)，.由題還可知，直線的斜率不為0，故可設(shè)：.由，消去，得，所以所以，又因為點在橢圓上，所以，所以.【點睛】本小題主要考查拋物線的焦點，橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線與橢圓，三角形的面積等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.18、（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡整理并結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周長．【詳解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周長a+b+c=3+3．【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（1）的普通方程為．的直角坐標方程為（2）（-1，0）或（2，3）【解析】

（1）對直線的參數(shù)方程消參數(shù)即可求得直線的普通方程，對整理并兩邊乘以，結(jié)合，即可求得曲線的直角坐標方程。（2）由（1）得：曲線C是以Q（1,1）為圓心，為半徑的圓，設(shè)點P的坐標為，由題可得：，利用兩點距離公式列方程即可求解?！驹斀狻拷猓海?）由消去參數(shù)，得．即直線的普通方程為．因為又，∴曲線的直角坐標方程為（2）由知，曲線C是以Q（1,1）為圓心，為半徑的圓設(shè)點P的坐標為，則點P到上的點的最短距離為|PQ|即，整理得，解得所以點P的坐標為（-1，0）或（2，3）【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程及極坐標方程化為直角坐標方程，還考查了轉(zhuǎn)化思想及兩點距離公式，考查了方程思想及計算能力，屬于中檔題。20、（1）（2）{1，2}．【解析】

（1）求解導數(shù)，表示出，再利用的導數(shù)可求m的取值范圍；（2）表示出，結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值，再結(jié)合導數(shù)及基本不等式求出的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合．【詳解】（1）因為，所以，所以，則，由題意可知，解得；（2）由（1）可知，，所以因為整理得，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，又因為，所以存在，使得，設(shè)，是關(guān)于開口向上的二次函數(shù)，則，設(shè)，則，令，則，所以單調(diào)遞增，因為，所以存在，使得，即，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，又由題意可知，所以，解得，所以正整數(shù)k的取值集合為{1，2}．【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究極值問題一般轉(zhuǎn)化為導數(shù)的零點問題，恒成立問題要逐步消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題求解，適當構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，本題綜合性較強，難度較大，側(cè)重考查數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).21、（1）an=2n【解析】

(1)先設(shè)出數(shù)列的公差為d，結(jié)合題中條件，求出首項和公差，即可得出結(jié)果．(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和．【詳解】解：(1)設(shè)公差為d的等差數(shù)列{