工科數(shù)學(xué)分析 上冊（第2版）課件：函數(shù)的單調(diào)性與極值

函數(shù)的單調(diào)性

與極值《工科數(shù)學(xué)分析》函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的最大值和最小值一、單調(diào)性的判別法定理這是單調(diào)的充分條件。證應(yīng)用Lagrange定理,例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．這是單調(diào)的必要條件。定理證二、單調(diào)區(qū)間求法問題:如例1，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:例2解單調(diào)區(qū)間為例3解單調(diào)區(qū)間為注意:區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,例4證三、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.

---可參見書中P134,例2，3，4函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的最大值和最小值一、函數(shù)極值的定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)（費(fèi)馬定理）定義注意:例如,定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)通常會列表討論例5解列表討論極大值極小值圖形如下定理3(第二充分條件)證同理可證(2).例6解圖形如下注意:例7解注意:

函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).三、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的最大值和最小值一、最值的求法步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,哪個大哪個就是最大值,哪個小哪個就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值(最大值或最小值).二、應(yīng)用舉例例8解計算比較得實際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例9解如圖,解得例10某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當(dāng)租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)．試問房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時收入最高.最大收入為三、小結(jié)注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念