工科數(shù)學(xué)分析 上冊（第2版）課件：常微分方程綜合例題

《工科數(shù)學(xué)分析》常微分方程綜合例題微分方程習(xí)題課主要內(nèi)容典型例題基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.可化為齊次方程5.線性方程6.伯努利方程可降階方程線性方程解的結(jié)構(gòu)定理1;定理2定理3;定理4歐拉方程二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根及其對應(yīng)項f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法一、主要內(nèi)容微分方程解題思路一階方程高階方程分離變量法常數(shù)變易法特征方程法待定系數(shù)法非變量可分離降階作變換作變換1、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解．通解

微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解

確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始條件用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題．(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法2、一階微分方程的解法(2)齊次方程解法作變量代換齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程．(3)可化為齊次的方程解法化為齊次方程．(4)一階線性微分方程上述方程稱為齊次的．上述方程稱為非齊次的.齊次方程的通解為（使用分離變量法）解法非齊次微分方程的通解為（常數(shù)變易法）(5)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程．3、可降階的高階微分方程的解法解法特點

型接連積分n次，得通解．

型解法代入原方程,得特點

型解法代入原方程,得４、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根

確定其通解的方法稱為特征方程法.特征方程為特征方程為特征方程的根通解中的對應(yīng)項推廣：

階常系數(shù)齊次線性方程解法６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法

待定系數(shù)法.7、歐拉方程

歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.的方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))，二、典型例題例1解原方程可化為代入原方程得分離變量兩邊積分所求通解為例2解原式可化為原式變?yōu)閷?yīng)齊次方程通解為一階線性非齊方程伯努利方程代入非齊次方程得原方程的通解為利用常數(shù)變易法例3解代入方程，得故方程的通解為例4解特征方程特征根對應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為原方程的一個特解為故原方程的通解為由解得所以原方程滿足初始條件的特解為例5解特征方程特征根對應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為由解得故原方程的通解為由即例6解（１）由題設(shè)可得：解此方程組，得（２）原方程為由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為解例7這是一個歐拉方程．代入原方程得(1)和(1)對應(yīng)的齊次方程為(2)(2)的特征方程為特征根為(2)的通解為設(shè)(1)的特解為

(1)