工科數(shù)學(xué)分析 上冊（第2版）課件：常微分方程的應(yīng)用

《工科數(shù)學(xué)分析》常微分方程的應(yīng)用應(yīng)用范圍幾何：求曲線的形狀；探照燈反光鏡的

設(shè)計；物理：運動軌跡方程；衰變問題；

物體的冷卻問題；落體問題；發(fā)射問題；

自由振動問題；其他領(lǐng)域：生物，醫(yī)學(xué)，生態(tài)，經(jīng)濟，

保險，戰(zhàn)爭，人口控制與預(yù)測等等。用常微分方程求解實際問題的一般步驟建立微分方程，并確定初始條件；求出微分方程的解；對所的結(jié)果進行分析，解釋它的實際意義。如果它與實際相差甚遠，則應(yīng)修改模型，并重新求解。比如借助常見的物理規(guī)律，如：熱力學(xué)中的牛頓（Newton）冷卻定律：在一定的溫度范圍內(nèi)，一個物體的溫度變化速度與這一物體和其所在介質(zhì)溫度的差值成比例。如：電路的基爾霍夫（Kirchhoff）第二定律：在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數(shù)和為零。及問題的幾何意義、已知條件……解解代入條件后知故開始制動到列車完全停住共需建立微分方程，除了直接利用問題的幾何意義、物理意義之外，和定積分的應(yīng)用一樣，我們還可以利用微元法建立微分方程，其基本思想為：例4我艦艇發(fā)射核彈攻擊航母，核彈頭始終對航母，設(shè)航母沿y軸正向以勻速v行駛，核彈速度5v,設(shè)核彈由x軸點(a,0)處發(fā)射時，航母位于原點，求核彈的軌跡。解

設(shè)核彈軌跡y=y(x).當(dāng)核彈位于P點時，航母位于B(0,vt),從而又曲線段PA的長度為由上面兩式消去t，得上式兩端對x求導(dǎo)，有這是一個不顯含y的方程，即可降階求解。例5

有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.解水從孔口流出的速率滿足托里拆利定律。流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度取V為體積，則在時間間隔在重力作用下，液體從儲水罐開口處流出的速度與從開口中心位置到液面的垂直高度的平方根、以及重力加速度的二倍的平方根成正比.-----托里拆利定律(Torricelli’slaw)流量系數(shù)viscosity(internalfriction)shapeoftheoutlet/mechanics/gases-and-liquids/discharge-outflow-liquid-speed-torricellis-law/

而在水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:即為未知函數(shù)的微分方程.所求規(guī)律為可分離變量解例6則由牛頓第二定律ma=F得解此方程得代入上式得例7

拋物線的光學(xué)性質(zhì)實例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖得微分方程由AD﹒﹒﹒分離變量積分得,平方化簡得拋物線解受力分析由于將平衡位置取為原點，重力與一部分彈性恢復(fù)力相抵消，故不再考慮重力。它不包括在平衡位置時與重力相抵消的那一部分彈性力。物體自由振動的微分方程強迫振動的方程串聯(lián)電路的振蕩方程力學(xué)系統(tǒng)的“電模擬”例9物質(zhì)A與物質(zhì)B化合生成新物質(zhì)X,設(shè)反應(yīng)過程不可逆，在反應(yīng)初始時刻A，B，X的量為a,b,0,在反應(yīng)過程中，A，B失去的量為X生成的量，并且在X中所含A與B的比例為，已知X量x的增長率與A,B的剩余量的乘積成正比，比例系數(shù)為k>0,求反應(yīng)過程開始后t時刻生成物X的量x與時間t的關(guān)系。解

t時刻X中A,B的量分別為于是A，B的剩余量分別為又由于X的量x的增長率為，從而例10（物體冷卻問題）將一個100℃的物體放在室溫20℃的房間內(nèi)，經(jīng)過20分鐘后，測量物體的溫度，已降為60℃，問還需要多長時間物體的溫度才能降為30℃？解據(jù)牛頓冷卻定律：物體冷卻速率正比于物體與周邊環(huán)境的溫差?！胬?1例12：