隨機(jī)過程考試

3、（10分）某商店顧客的到來服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過程，已知商店9：00開門，試求：（1）在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率；（2）若已知開門半小時(shí)中無顧客到來，那么在未來半小時(shí)中，仍無顧客到來的概率。3、解：設(shè)顧客到來過程為{N(t),t>=0}，依題意N(t)是參數(shù)為的Poisson過程。（1）在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率為：（2）在開門半小時(shí)中無顧客到來可表示為，在未來半小時(shí)仍無顧客到來可表示為，從而所求概率為：5.（10分）設(shè) 轉(zhuǎn)移概率矩陣四、（12分）設(shè)在[0,t)時(shí)段內(nèi)乘客到達(dá)某售票處的數(shù)目為一強(qiáng)度是（人/分）的泊松過程，試求：（1）在5分鐘內(nèi)有10位乘客到達(dá)售票處的概率；（2）第10位乘客在5分鐘內(nèi)到達(dá)售票處的概率；（3）相鄰兩乘客到達(dá)售票處的平均時(shí)間間隔。解記泊松過程為（1）（2）設(shè)W10為第10位顧客出現(xiàn)的到達(dá)時(shí)間（3）設(shè)T是兩位顧客到達(dá)間隔時(shí)間，因參數(shù)為λ的泊松過程{N(t),t≥0}的間隔時(shí)間序列相互獨(dú)立同服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，故兩位顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間E{T}=1/λ.六、（15分）設(shè)一個(gè)壇子中裝有4個(gè)球，它們或是紅色的，或是黑色的。從壇子中隨機(jī)地取出一個(gè)球，并換入一個(gè)另一種顏色的球，經(jīng)過次取球置換，令表示第次取球后壇中的黑球數(shù)。（1）是否構(gòu)成馬氏鏈,是否為齊次的，為什么?（2）試寫出其狀態(tài)空間與一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。解：的參數(shù)集為，狀態(tài)集為，當(dāng)X(n)的取值確定時(shí)，X(n+1)的取值完全由X(n)確定，故為馬氏鏈，（4分）（4分）與n無關(guān)，故為齊次馬氏鏈。（2分）（2）一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為二、（12分）設(shè)隨機(jī)過程只有兩條樣本函數(shù)，且，，分別求：（1）一維分布函數(shù)和；（2）二維分布函數(shù)。解1)對任意實(shí)數(shù)t∈R,有特別有，故2）一、（12分）已知隨機(jī)過程為隨機(jī)變量，服從上的均勻分布。試求：（1）任意兩個(gè)樣本函數(shù)，并繪出草圖；（2）隨機(jī)過程的特征函數(shù)；（3）隨機(jī)過程的均值函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)。解（1）（2）==（3）；2.設(shè)顧客以每分鐘2人的速率到達(dá)，顧客流為泊松流，求：（1）在5分鐘內(nèi)顧客數(shù)的平均數(shù)；（2）在5分鐘內(nèi)至少有一個(gè)顧客到來的概率。解：設(shè)表示內(nèi)顧客到達(dá)的數(shù)目，，故知（1）（2）（5分）三、（12分）設(shè)隨機(jī)過程，其中為常數(shù)，隨機(jī)變量服從瑞利分布：，且與相互獨(dú)立，試求隨機(jī)過程的均值函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)。解四、（14分）設(shè)隨機(jī)過程，其中是常數(shù)，與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從區(qū)間上的均勻分布，服從瑞利分布，其概率密度為試證明為寬平穩(wěn)過程。解：（1）與無關(guān)（2）.，所以（3）只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以為寬平穩(wěn)過程.七、（15分）設(shè)是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，其分布律為：,（1）試給出的一步轉(zhuǎn)移矩陣，并畫出概率轉(zhuǎn)移圖；（2）令，計(jì)算概率。解：（1）的一步轉(zhuǎn)移矩陣為轉(zhuǎn)移圖為：－－110.40.60.40.6(2)X(1)X(2)X(3)X(4)由樹杈圖可得：＝＋×2＋×2＋＝0.4048一．填空題（每空2分，共20分）1．設(shè)隨機(jī)變量，則的特征函數(shù)為。2．設(shè)隨機(jī)過程其中是隨機(jī)變量，具有概率分布列:則的數(shù)學(xué)期望為。3．強(qiáng)度為λ的泊松過程,是對應(yīng)的時(shí)間間隔序列，則隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布均值為____的指數(shù)分布。4．設(shè)是與泊松過程對應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，則服從參數(shù)為與的______分布。5．設(shè)隨機(jī)過程只有兩條樣本曲線，其中常數(shù)，且，，則這個(gè)隨機(jī)過程的狀態(tài)空間。6．馬氏鏈，狀態(tài)空間,記初始概率，絕對概率，步轉(zhuǎn)移概率，則7．設(shè)為馬氏鏈，狀態(tài)空間，記初始概率，一步轉(zhuǎn)移概率，則8．在馬氏鏈中，記，若，稱狀態(tài)為_常返______。七、（16分）已知齊次馬氏鏈的狀態(tài)空間為，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 （1）畫出概率轉(zhuǎn)移圖；（2）求二步轉(zhuǎn)移矩陣及轉(zhuǎn)移概率；（3）此鏈?zhǔn)欠駷楸闅v的，試求其平穩(wěn)分布。解（1）1/1/41/41/21/31/33/41/41/3123（2）因齊次馬氏鏈，有，故==0.4568（3）因?qū)θ我鈏，j∈E，有，P是正則陣，根據(jù)遍歷性定理此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的，且正則(遍歷)馬氏鏈的極限分布是平穩(wěn)分布，需求P的不動點(diǎn)概率向量，即滿足和解得平穩(wěn)分布為一．填空題（每空2分，共20分）1．設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則的特征函數(shù)為____________.2．設(shè),，其中與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則的相關(guān)函數(shù)________.3．強(qiáng)度為λ的泊松過程,是對應(yīng)的時(shí)間間隔序列，則隨機(jī)變量服從___________________________分布.4．設(shè)是參數(shù)為的泊松過程，在的條件下，對于，服從_________分布.6．馬氏鏈，狀態(tài)空間,記絕對概率，一步轉(zhuǎn)移概率，則三者之間的關(guān)系式為__________________.7．設(shè)為馬氏鏈，狀態(tài)空間，記初始概率，一步轉(zhuǎn)移概率，則_____.8．在馬氏鏈中，記則表示________________________________________.9．在直線上，如果質(zhì)點(diǎn)每次向前移動1步的概率都是，向后移動5步的概率是，則每個(gè)狀態(tài)的周