隨機過程考試

3、（10分）某商店顧客的到來服從強度為4人每小時的Poisson過程，已知商店9：00開門，試求：（1）在開門半小時中，無顧客到來的概率；（2）若已知開門半小時中無顧客到來，那么在未來半小時中，仍無顧客到來的概率。3、解：設顧客到來過程為{N(t),t>=0}，依題意N(t)是參數(shù)為的Poisson過程。（1）在開門半小時中，無顧客到來的概率為：（2）在開門半小時中無顧客到來可表示為，在未來半小時仍無顧客到來可表示為，從而所求概率為：5.（10分）設 轉移概率矩陣四、（12分）設在[0,t)時段內(nèi)乘客到達某售票處的數(shù)目為一強度是（人/分）的泊松過程，試求：（1）在5分鐘內(nèi)有10位乘客到達售票處的概率；（2）第10位乘客在5分鐘內(nèi)到達售票處的概率；（3）相鄰兩乘客到達售票處的平均時間間隔。解記泊松過程為（1）（2）設W10為第10位顧客出現(xiàn)的到達時間（3）設T是兩位顧客到達間隔時間，因參數(shù)為λ的泊松過程{N(t),t≥0}的間隔時間序列相互獨立同服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，故兩位顧客到達的平均間隔時間E{T}=1/λ.六、（15分）設一個壇子中裝有4個球，它們或是紅色的，或是黑色的。從壇子中隨機地取出一個球，并換入一個另一種顏色的球，經(jīng)過次取球置換，令表示第次取球后壇中的黑球數(shù)。（1）是否構成馬氏鏈,是否為齊次的，為什么?（2）試寫出其狀態(tài)空間與一步轉移概率矩陣。解：的參數(shù)集為，狀態(tài)集為，當X(n)的取值確定時，X(n+1)的取值完全由X(n)確定，故為馬氏鏈，（4分）（4分）與n無關，故為齊次馬氏鏈。（2分）（2）一步轉移概率矩陣為二、（12分）設隨機過程只有兩條樣本函數(shù)，且，，分別求：（1）一維分布函數(shù)和；（2）二維分布函數(shù)。解1)對任意實數(shù)t∈R,有特別有，故2）一、（12分）已知隨機過程為隨機變量，服從上的均勻分布。試求：（1）任意兩個樣本函數(shù)，并繪出草圖；（2）隨機過程的特征函數(shù)；（3）隨機過程的均值函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)。解（1）（2）==（3）；2.設顧客以每分鐘2人的速率到達，顧客流為泊松流，求：（1）在5分鐘內(nèi)顧客數(shù)的平均數(shù)；（2）在5分鐘內(nèi)至少有一個顧客到來的概率。解：設表示內(nèi)顧客到達的數(shù)目，，故知（1）（2）（5分）三、（12分）設隨機過程，其中為常數(shù)，隨機變量服從瑞利分布：，且與相互獨立，試求隨機過程的均值函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)。解四、（14分）設隨機過程，其中是常數(shù)，與是相互獨立的隨機變量，服從區(qū)間上的均勻分布，服從瑞利分布，其概率密度為試證明為寬平穩(wěn)過程。解：（1）與無關（2）.，所以（3）只與時間間隔有關，所以為寬平穩(wěn)過程.七、（15分）設是獨立同分布隨機變量序列，其分布律為：,（1）試給出的一步轉移矩陣，并畫出概率轉移圖；（2）令，計算概率。解：（1）的一步轉移矩陣為轉移圖為：－－110.40.60.40.6(2)X(1)X(2)X(3)X(4)由樹杈圖可得：＝＋×2＋×2＋＝0.4048一．填空題（每空2分，共20分）1．設隨機變量，則的特征函數(shù)為。2．設隨機過程其中是隨機變量，具有概率分布列:則的數(shù)學期望為。3．強度為λ的泊松過程,是對應的時間間隔序列，則隨機變量是獨立同分布均值為____的指數(shù)分布。4．設是與泊松過程對應的一個等待時間序列，則服從參數(shù)為與的______分布。5．設隨機過程只有兩條樣本曲線，其中常數(shù)，且，，則這個隨機過程的狀態(tài)空間。6．馬氏鏈，狀態(tài)空間,記初始概率，絕對概率，步轉移概率，則7．設為馬氏鏈，狀態(tài)空間，記初始概率，一步轉移概率，則8．在馬氏鏈中，記，若，稱狀態(tài)為_常返______。七、（16分）已知齊次馬氏鏈的狀態(tài)空間為，狀態(tài)轉移矩陣為 （1）畫出概率轉移圖；（2）求二步轉移矩陣及轉移概率；（3）此鏈是否為遍歷的，試求其平穩(wěn)分布。解（1）1/1/41/41/21/31/33/41/41/3123（2）因齊次馬氏鏈，有，故==0.4568（3）因對任意i，j∈E，有，P是正則陣，根據(jù)遍歷性定理此馬氏鏈是遍歷的，且正則(遍歷)馬氏鏈的極限分布是平穩(wěn)分布，需求P的不動點概率向量，即滿足和解得平穩(wěn)分布為一．填空題（每空2分，共20分）1．設隨機變量服從標準正態(tài)分布，則的特征函數(shù)為____________.2．設,，其中與是相互獨立的隨機變量，均服從標準正態(tài)分布，則的相關函數(shù)________.3．強度為λ的泊松過程,是對應的時間間隔序列，則隨機變量服從___________________________分布.4．設是參數(shù)為的泊松過程，在的條件下，對于，服從_________分布.6．馬氏鏈，狀態(tài)空間,記絕對概率，一步轉移概率，則三者之間的關系式為__________________.7．設為馬氏鏈，狀態(tài)空間，記初始概率，一步轉移概率，則_____.8．在馬氏鏈中，記則表示________________________________________.9．在直線上，如果質點每次向前移動1步的概率都是，向后移動5步的概率是，則每個狀態(tài)的周