2024-2025學(xué)年四川省德陽市高三上冊(cè)11月期中數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年四川省德陽市高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.【正確答案】C2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A.2 B. C. D.【正確答案】D3.一個(gè)盒子中裝有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球.若從中任取兩個(gè)球，則恰有一個(gè)紅球的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A4.已知，則（）A. B. C.2 D.3【正確答案】A5.設(shè)，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【正確答案】B6.定義在上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，結(jié)合求解不等式即得.【詳解】依題意，令，求導(dǎo)得，則在上單調(diào)遞減，由，得，不等式，則或，即或，解得或，所以不等式解集為.故選：B7.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在的右支上存在關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，使得為正三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)條件，利用幾何關(guān)系得到，又，得到，再結(jié)合雙曲線的定義得到，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，右焦點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切?，，所以為的中點(diǎn)，所以，故，易知，所以，由雙曲線的定義知，即，得.故選：D．8.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】取的中點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】解：取的中點(diǎn)，則，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，所以在上的投影的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).令函數(shù)，以下結(jié)論正確的有（）A. B.為偶函數(shù)C. D.的值域?yàn)椤菊_答案】AC【分析】根據(jù)取整函數(shù)的定義判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，，即，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由已知可得，所以，，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：由已知，則，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.10.等差數(shù)列中，，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，則【正確答案】ABD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)于A，，計(jì)算即可；對(duì)于B，由已知計(jì)算數(shù)列公差，再求值即可；對(duì)于C，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性比大??；對(duì)于D，由，，得.【詳解】等差數(shù)列中，，設(shè)公差為，若，則，A正確；若，，則，得，，B正確；若，，所以公差，當(dāng)時(shí)，有，則有，當(dāng)時(shí)，有，得，所以，則有，C錯(cuò)誤；若，則，因?yàn)?，所以，D正確．故選：ABD．11.已知正方體棱長(zhǎng)為為正方體內(nèi)切球的直徑，點(diǎn)為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，與所成角余弦值為B.當(dāng)面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.的取值范圍為D.與所成角的范圍為【正確答案】ABC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量即可得A正確，利用線面平行性質(zhì)以及椎體體積公式計(jì)算可得點(diǎn)的軌跡即是線段，可得B正確，利用極化恒等式計(jì)算可得C正確，由點(diǎn)的位置關(guān)系可知D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，如下圖所示：易知，則,可得，即當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，與所成角余弦值為，可得A正確；對(duì)于B，易知是邊長(zhǎng)為的正三角形，故其面積為，由三棱錐的體積為，可得點(diǎn)到平面的距離為，即點(diǎn)在與平面平行且距離為平面內(nèi)，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可得平面平面，且兩平面間的距離等于，所以點(diǎn)平面，又面，平面平面，即可得點(diǎn)的軌跡即是線段，因此點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，即可得B正確；對(duì)于C，依題意可知即為正方體的中心，如下圖所示：，又因?yàn)闉榍虻闹睆?，所以，即可得，又易知?dāng)點(diǎn)為正方體與球的切點(diǎn)時(shí)，最小；當(dāng)點(diǎn)為正方體的頂點(diǎn)時(shí)，最大；即，因此可得的取值范圍為0,2，即C正確；對(duì)于D，易知的中點(diǎn)即為球心，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，與所成的角最大，此時(shí)，顯然，結(jié)合兩直線所成角的范圍可知與所成角的范圍為錯(cuò)誤，即D錯(cuò)誤.故選：ABC三?填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，則的最小值為______.【正確答案】##4.5【分析】由數(shù)量積運(yùn)算可得，再由“1”的技巧及基本不等式得解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，?所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故13.函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用在內(nèi)有解即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，得不等式在內(nèi)有解，不等式，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因此，所以的取值范圍是.故14.雙曲線的離心率可以與其漸近線有關(guān)，比如函數(shù)的圖象是雙曲線，它的實(shí)軸在直線上，虛軸在直線上，實(shí)軸頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，，離心率為，已知函數(shù)的圖象也是雙曲線，其離心率為.則其離心率__________.【正確答案】【分析】根據(jù)材料得到雙曲線的軸和頂點(diǎn)的定義，根據(jù)雙曲線的離心率和其漸近線的斜率之間的關(guān)系求雙曲線的離心率，利用雙曲線的離心率的定義求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】直線和軸是雙曲線的兩條漸近線，由閱讀材料可知，雙曲線的焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸是直線，由頂點(diǎn)的定義知，對(duì)稱軸與雙曲線的交點(diǎn)即頂點(diǎn)，聯(lián)立得，解得：或，所以雙曲線的位于第一象限的頂點(diǎn)為，若將雙曲線繞其中心適當(dāng)旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€，則雙曲線的離心率，則，四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟15.如圖所示，直線之間的距離為2，直線之間的距離為1，且點(diǎn)分別在上運(yùn)動(dòng)，，令. (1)判斷能否為正三角形？若能，求出其邊長(zhǎng)的值;若不能，請(qǐng)說明理由;(2)求面積的最小值.【詳解】（1）過作，過作，垂足分別為，如圖，由，，得，在中，，在中，，由是正三角形，則，即，整理得，又，解得，所以.（2）由（1）知，，而，由，得，則當(dāng)，即時(shí)，取最大值，所以時(shí)，取得最小值.16.基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基計(jì)劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，某試點(diǎn)高校校考過程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．2022年報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布．其中，近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．已知的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計(jì)總體．（1）假設(shè)有84.135%的學(xué)生的筆試成績(jī)高于該校預(yù)期的平均成績(jī)，求該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是多少？（2）若筆試成績(jī)高于76.5進(jìn)入面試，若從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，設(shè)其中進(jìn)入面試學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望．（3）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設(shè)這4名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則：；；．【小問1詳解】由.又，，，所以該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是.【小問2詳解】由得，，即從所有參加筆試的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生筆試成績(jī)76.5以上的概率為.所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以.【小問3詳解】X可能取值為0，1，2，3，4，由題意可知，，，，，.所以，的分布列為X01234所以.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為棱上的動(dòng)點(diǎn).（1）若為中點(diǎn)，證明：平面；（2）若，在線段上是否存在點(diǎn)使得面與面夾角余弦值為，若存在，求出點(diǎn)位置，若不存在，說明理由.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，因?yàn)榈酌鏋榫匦危蕿锽D的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】底面為矩形，所以，平面，又平面，，如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸、軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，設(shè)，設(shè)，所以，可得，所以，，，，設(shè)面的法向量為，則，取，則，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)面的法向量為，則，取，則，可取，設(shè)面與面夾角為，則，化簡(jiǎn)得，即，解得或（舍），所以在線段上存在點(diǎn)使得面與面夾角余弦值為，此時(shí)，即點(diǎn)為（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn).18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處切線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使是的極大值，若存在，求出的取值集合；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）；（2）1個(gè)，理由見解析；（3）存在，.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，于是切線方程是，所以曲線在處切線的方程.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，是0.【小問3詳解】由是的極大值，得，使得當(dāng)時(shí)，且恒成立，求導(dǎo)得，因此是的變號(hào)零點(diǎn)，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是是的極大值，符合條件，所以的取值集合為.19.已知數(shù)列滿足，數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，且滿足.記，稱為由數(shù)列生成的“函數(shù)”.（