人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第四章4-3-2第1課時等比數(shù)列的前n項和公式課件

第1課時等比數(shù)列的前n項和公式第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．掌握等比數(shù)列的前n項和公式及其應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運算)2．會用錯位相減法求數(shù)列的和．(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)3．能運用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題．(數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模)(教師用書)如今手機越來越普遍，用手機發(fā)送信息傳達(dá)情誼也成為年輕人的時尚．一條溫馨的信息會帶給我們無窮的溫暖．一條信息，一種關(guān)懷，設(shè)想一人收到某信息后用10分鐘將它傳給兩個人，這兩個人又用10分鐘將此信息各傳給未知此信息的另外兩個人，如此繼續(xù)下去，一天時間這種關(guān)懷可傳達(dá)給多少人？[討論交流]問題1．等比數(shù)列的前n項和公式是什么？問題2．等比數(shù)列的前n項和公式是如何推導(dǎo)的？問題3．等比數(shù)列的前n項和公式與通項公式有什么關(guān)系？[自我感知]經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1等比數(shù)列的前n項和公式探究問題1若等比數(shù)列{an}的首項是a1，公比是q，如何求該等比數(shù)列的前n項的和？

[新知生成]1．等比數(shù)列的前n項和公式已知量首項、公比和項數(shù)首項、末項和公比公式

2．推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和的方法叫做錯位相減法．該方法一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項積的前n項和，即若{bn}是公差d≠0的等差數(shù)列，{cn}是公比q≠1的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn·cn}的前n項和Sn時，可以用這種方法．【教用·微提醒】

(1)用等比數(shù)列前n項和公式求和，一定要對該數(shù)列的公比q＝1和q≠1進行分類討論；(2)公式一中的n表示的是所求數(shù)列的項數(shù)；(3)公式二中，an表示數(shù)列的最后一項．(4)利用an＝a1qn-1可以實現(xiàn)兩個公式的相互轉(zhuǎn)化．

189

反思領(lǐng)悟

(1)“知三求二”：在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三個量，通過列方程組，就能求出另外兩個量，這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．(2)注意：在解決與前n項和有關(guān)的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．

na1【教用·微提醒】

(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)時，{an}是首項為(Aq－A)，公比為q的等比數(shù)列．(2)等比數(shù)列前n項和公式的結(jié)構(gòu)特點即qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)．[典例講評]

2．?dāng)?shù)列{an}的前n項和Sn＝3n－2.求{an}的通項公式，并判斷{an}是不是等比數(shù)列．

法二：由等比數(shù)列{bn}的公比q≠1時的前n項和Sn＝A·qn＋B滿足的條件為A＝－B，對比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比數(shù)列．[母題探究]

若將本例改為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項和為Sn＝3n+1－2k，則實數(shù)k＝________．

－4

反思領(lǐng)悟

用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．[學(xué)以致用]

3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1.(1)試求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求Sn.

2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．

243題號1應(yīng)用遷移√

23題號142．在正項等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，則n＝(

)A．6 B．7C．8 D．9√

23題號41√

243題號14．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a4＝－8，則{an}的前6項和為________．

－211．知識鏈：(1)等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)．(2)等比數(shù)列前n項和公式的基本運算．(3)等比數(shù)列前n項和公式的結(jié)構(gòu)特點．2．方法鏈：公式法、錯位相減法．3．警示牌：等比數(shù)列前n項和公式分q＝1與q≠1兩種情況，因此當(dāng)公比未知時，要對公比進行分類討論．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．如何使用等比數(shù)列前n項和公式求和？

2．等比數(shù)列前n項和公式是如何推導(dǎo)的？

3．錯位相減法的適用情形及注意事項分別是什么？[提示]

(1)適用范圍：它主要適用于{an}是公差不為0的等差數(shù)列，{bn}是公比不為1的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和．(2)注意事項：①利用“錯位相減法”時，在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時，應(yīng)注意使兩式錯項對齊，以便于作差，正確寫出(1－q)Sn的表達(dá)式．②利用此法時要注意討論公比q是否等于1的情況．閱讀材料棋盤上的麥粒一般認(rèn)為，國際象棋起源于古印度．國際象棋的棋盤由64個格子組成，如圖所示．據(jù)說國王為了獎賞發(fā)明者，讓發(fā)明者提一個要求．發(fā)明者說：我想在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，在第2個格子里放上2顆麥粒，在第3個格子里放上22顆麥粒