人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章4-3-1第1課時(shí)等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式課件

第1課時(shí)等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．借助教材實(shí)例理解等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．會(huì)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決相關(guān)的問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)4．能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)(教師用書)有位印度教宰相向國(guó)王推薦了一種在當(dāng)時(shí)尚無(wú)人知曉的游戲，國(guó)王對(duì)這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，作為對(duì)宰相忠心的獎(jiǎng)賞，他便問(wèn)那位宰相，他想要得到什么賞賜．宰相開口說(shuō)道：“請(qǐng)您在棋盤上的第一個(gè)格子上放1粒麥粒，第二個(gè)格子上放2粒麥粒，第三個(gè)格子上放4粒麥粒，第四個(gè)格子上放8粒麥?！疵恳粋€(gè)格子中放的麥粒數(shù)目都必須是前一個(gè)格子中麥粒數(shù)目的兩倍，直到最后第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了．”“好吧！”國(guó)王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了宰相的這個(gè)請(qǐng)求．顯然64格的麥粒數(shù)可以組成一個(gè)數(shù)列：1，2，22，23，24，…，263，這就是我們今天要探討的等比數(shù)列．[討論交流]

問(wèn)題1．等比數(shù)列的定義是什么？問(wèn)題2．等比中項(xiàng)的定義是什么？問(wèn)題3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？問(wèn)題4．如何推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式？問(wèn)題5．如何判定等比數(shù)列？[自我感知]

經(jīng)過(guò)認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1等比數(shù)列的概念探究問(wèn)題1觀察下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列，回答下面的問(wèn)題．(1)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)有趣的問(wèn)題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問(wèn)各有幾何？”構(gòu)成數(shù)列：9，92，93，94，95，96，97，98；

[新知生成]等比數(shù)列的概念文字語(yǔ)言一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第____項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于____________，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的______，公比通常用字母q表示(q≠0)符號(hào)語(yǔ)言2同一個(gè)常數(shù)公比q【教用·微提醒】

等比數(shù)列中的任何一項(xiàng)都不能為零，公比可以為正數(shù)或負(fù)數(shù)，但絕對(duì)不能為零．

反思領(lǐng)悟

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，否則，不是等比數(shù)列，且等比數(shù)列中任意一項(xiàng)不能為0，對(duì)于含參的數(shù)列需要分類討論．

√√

探究2等比中項(xiàng)探究問(wèn)題2任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，那么，任意兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？

[新知生成]等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的__________，此時(shí)，G2＝____．

等比中項(xiàng)ab

√

√探究3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式探究問(wèn)題3類比等差數(shù)列，你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？請(qǐng)結(jié)合等差數(shù)列的定義寫出其符號(hào)表達(dá)式．

法二：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…，由此可得an＝a1qn-1(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．

a1qn-1

擺動(dòng)【教用·微提醒】

(1)q＜0或q＝1時(shí)，等比數(shù)列通項(xiàng)公式不具備指數(shù)型函數(shù)特點(diǎn)．(2)等比數(shù)列的單調(diào)性由a1和q共同決定，只有q＞0且q≠1時(shí)存在單調(diào)性．【鏈接·教材例題】例1若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求{an}的第5項(xiàng)．分析：等比數(shù)列{an}由a1，q唯一確定，可利用條件列出關(guān)于a1，q的方程(組)，進(jìn)行求解．

【鏈接·教材例題】例2已知等比數(shù)列{an}的公比為q，試用{an}的第m項(xiàng)am表示an.

[典例講評(píng)]

3．(1)若{an}為等比數(shù)列，則“a1＜a3＜a5”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)(源自湘教版教材)已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列．①若a2＝2，a5＝54，求{an}的通項(xiàng)公式；②若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n.√(1)B

[若等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，可得a1＜a3＜a5一定成立；反之，例如數(shù)列{(－1)n+12n}，此時(shí)滿足a1＜a3＜a5，但數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，所以“a1＜a3＜a5”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的必要不充分條件．]

反思領(lǐng)悟

求a1和q的兩種方法(1)通性通法：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法．(2)整體代換法：充分利用各項(xiàng)之間的關(guān)系，直接求出q或qn整體后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡(jiǎn)化運(yùn)算．

√

an－1·an＋1a1qn-1

分析：根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行證明．

兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，得log3an＝log333-2n＝3－2n.所以log3an＋1－log3an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2.又log3a1＝log33＝1，所以，{log3an}是首項(xiàng)為1，公差為－2的等差數(shù)列．[典例講評(píng)]

4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋a，試判斷{an}是不是等比數(shù)列．[思路引導(dǎo)]利用an與Sn的關(guān)系確定通項(xiàng)an，再用定義加以證明．

[母題探究]

1．將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變?yōu)椤癮1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”．(1)證明：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

2．將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變?yōu)椤癝n＝2－an”．求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

243題號(hào)1應(yīng)用遷移√

23題號(hào)14

√

23題號(hào)41

±4243題號(hào)14．已知在等比數(shù)列{an}中，若它的首項(xiàng)為2，公比為3，則通項(xiàng)公式an＝________．2×3n-1

[等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)為2，公比為3，可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2×3n-1.]2×3n-11．知識(shí)鏈：(1)等比數(shù)列的概念．(2)等比中項(xiàng)的概念．(3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其與函數(shù)的關(guān)系．(4)等比數(shù)列的判定與證明．2．方法鏈：方程(組)法、構(gòu)造法、定義法、整體代換法．3．警示牌：x，G，y成等比數(shù)列?G2＝xy，但G2＝xy

x，G，y成等比數(shù)列．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．等比數(shù)列的概念中，應(yīng)從哪幾個(gè)方面理解？[