人教A版高中數學選擇性必修第二冊第四章4-1第2課時數列的遞推公式及前n項和課件

第2課時數列的遞推公式及前n項和第四章數列4.1數列的概念整體感知[學習目標]

1．理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項．(數學運算)2．會用累加法、累乘法由遞推公式求通項公式．(邏輯推理、數學運算)3．會用an與Sn的關系求通項公式．(邏輯推理、數學運算)(教師用書)觀察某次智力測試中的一道題：數列1，3，6，10，15，…中數字出現的規(guī)律是：a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，….(1)你能寫出該數列的第8個數嗎？(2)你能用an＋1與an的一個數學表達式描述該數列相鄰兩項之間的關系嗎？[討論交流]

問題1．遞推公式的含義是什么？問題2．一般的數列{an}，該如何表示其前n項和？[自我感知]經過認真的預習，結合對本節(jié)課的理解和認知，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構探究1數列的遞推公式探究問題1觀察鋼管堆放示意圖，尋求規(guī)律，建立數學模型．自上而下，第1層鋼管數為4，第2層鋼管數為5，第3層鋼管數為6，第4層鋼管數為7，第5層鋼管數為8，第6層鋼管數為9，第7層鋼管數為10.若用an表示鋼管數，n表示層數，則可得出各層的鋼管數為一個數列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相鄰兩層的鋼管數之間有沒有關系？即an＋1與an有沒有關系？[提示]

有，an＋1＝an＋1(1≤n≤6，n∈N*)．[新知生成]遞推公式：如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用__________來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．【教用·微提醒】

(1)與數列的通項公式一樣，并不是所有的數列都有遞推公式．(2)數列的通項公式和遞推公式是給出數列的兩種不同表示方法，但它們的用途一致，都能確定一個數列．一個式子【鏈接·教材例題】例4圖4.1－3中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形．在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數依次構成一個數列的前4項，寫出這個數列的一個通項公式．[解]

在圖4.1－3(1)(2)(3)(4)中，著色三角形的個數依次為1，3，9，27，即所求數列的前4項都是3的指數冪，指數為序號減1.因此，這個數列的一個通項公式是an＝3n-1.

反思領悟

根據遞推公式寫出數列的前幾項，要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可．另外，解答這類問題時還需注意：若已知首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式；若已知末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式；若項數很大，則應考慮數列的周期性．[學以致用]

1．(源自人教B版教材)分別寫出下列數列{an}的一個遞推關系，并求出各個數列的第7項．(1)1，2，4，7，11，…；(2)－1，2，5，8，11，…；(3)1，－2，4，－8，16，….[解]

(1)因為a2－a1＝2－1＝1，a3－a2＝4－2＝2，a4－a3＝7－4＝3，a5－a4＝11－7＝4，所以an＋1－an＝n，即an＋1＝an＋n.從而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22.

探究2

an與Sn的關系探究問題2如果已知數列{an}的前n項和，如何求a6呢？[提示]

用{an}的前6項和減去前5項和．[新知生成]1．數列{an}的前n項和：把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝_________________．2．數列的前n項和公式：如果數列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的前n項和公式．a1＋a2＋…＋an

【教用·微提醒】

由Sn求an，應分n＝1與n≥2兩種情況，分別進行計算后，再驗證兩種情形可否用統(tǒng)一的式子表示．若不能，則用分段的形式表示．

[典例講評]

2．已知Sn為數列{an}的前n項和，根據條件求{an}的通項公式．(1)Sn＝3n－7；(2)Sn＝2n2－30n.

(2)因為Sn＝2n2－30n，所以當n＝1時，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.顯然a1＝－28適合上式，所以an＝4n－32，n∈N*.[母題探究]

將本例(2)的條件“Sn＝2n2－30n”改為“Sn＝2n2－30n＋1”，其他條件不變，求an.

發(fā)現規(guī)律

由前n項和求通項公式的步驟(1)先利用__________，求出a1.(2)用n－1(n≥2)替換Sn中的n得到一個新的關系Sn－1，利用an＝____________(n≥2)便可求出當n≥2時an的解析式．(3)注意檢驗_______時的值是否符合n≥2時an的解析式，若符合，則合并；若不符合，則用分段函數表示通項公式an.a1＝S1Sn－Sn－1n＝1

反思領悟

由遞推公式求通項公式的常用方法(1)歸納法：根據數列的某項和遞推公式，求出數列的前幾項，歸納出通項公式．(只適用于選擇題、填空題)(2)迭代法、累加法或累乘法，遞推公式對應的有以下幾類：①an＋1－an＝常數，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．②an＋1＝pan(p為非零常數且p≠1)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求積的)，使用累乘法或迭代法．③an＋1＝pan＋q(p，q為非零常數且p≠1)，適當變形后轉化為第②類解決．

√

243題號1應用遷移√1．若數列{an}的前n項和Sn＝n2－1，則a4＝(

)A．7 B．8C．9 D．17A

[∵數列{an}的前n項和Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝(16－1)－(9－1)＝7.故選A.]23題號14

√A

[由題意得當n＝3時，a3＝2＋0＝2，當n＝4時，a4＝2×1＝2，當n＝5時，a5＝2＋2＝4，當n＝6時，a6＝2×2＝4，當n＝7時，a7＝2＋4＝6，當n＝8時，a8＝2×4＝8，當n＝9時，a9＝2＋6＝8，所以{an}的前9項和S9＝a1＋a2＋…＋a9＝0＋1＋2＋2＋4＋4＋6＋8＋8＝35.故選A.]23題號413．在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，則an＝______________．

243題號1

1．知識鏈：(1)數列的遞推公式．(2)數列的前n項和Sn與an的關系．(3)由遞推公式求通項公式．2．方法鏈：歸納法、累加法、累乘法、迭代法．3．警示牌：(1)累加法、累乘法中不注意驗證首項是否符合通項公式．(2)由Sn求an時忽略驗證n＝1時的情況．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．數列的遞推公式有什么特點？它與通項公式的區(qū)別是什