人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第五章5-2-3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課件

5.2.3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．了解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．綜合運(yùn)用函數(shù)的求導(dǎo)法則解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書(shū))法國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家笛卡爾說(shuō)過(guò)：“我只會(huì)做兩件事，一件是簡(jiǎn)單的事，一件是把復(fù)雜的事情變簡(jiǎn)單”．我們學(xué)習(xí)了較簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)，還可以把兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)進(jìn)行“復(fù)合”，怎樣復(fù)合呢？那么，對(duì)于復(fù)合后的函數(shù)如何求導(dǎo)呢？我們是否也有簡(jiǎn)單的方法？[討論交流]

問(wèn)題1．復(fù)合函數(shù)的定義是什么？問(wèn)題2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是什么？[自我感知]

經(jīng)過(guò)認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫(huà)出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1復(fù)合函數(shù)的概念探究問(wèn)題1函數(shù)y＝log2(3x＋2)是如何構(gòu)成的？[提示]

y＝log2(3x＋2)，其中3x＋2“占據(jù)”了對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x中x的位置，f(x)＝log2x，而f(3x＋2)＝log2(3x＋2)，這里有代入、代換的思想，則函數(shù)y＝log2(3x＋2)是由內(nèi)層函數(shù)一次函數(shù)和外層函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)合而成，是復(fù)合函數(shù)．[新知生成]復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝___________．f(g(x))

BCD

[A不是復(fù)合函數(shù)；BCD都是復(fù)合函數(shù)．]√√√反思領(lǐng)悟

若f(x)與g(x)均為基本初等函數(shù)，則函數(shù)y＝f(g(x))或函數(shù)y＝g(f

(x))均為復(fù)合函數(shù)．[學(xué)以致用]

1．函數(shù)y＝sin(2x－1)如果看成復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))，下列式子正確的是(

)A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sinxC．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin(2x－1)C

[y＝sin(2x－1)是由函數(shù)y＝sinu和u＝2x－1復(fù)合而成，可見(jiàn)φ(x)＝2x－1.故選C.]√探究2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)探究問(wèn)題2你能用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出函數(shù)y＝sin2x的導(dǎo)數(shù)嗎？它與函數(shù)y＝sinu，u＝2x的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？你能用文字語(yǔ)言描述復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則嗎？

[新知生成]一般地，對(duì)于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為_(kāi)___________．即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．y′x＝y(tǒng)′u·u′x【教用·微提醒】

(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)；求導(dǎo)由外向內(nèi)，并保持對(duì)外層函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，內(nèi)層不變的原則．(2)求每層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，注意分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)．(3)該公式可以推廣至多層復(fù)合函數(shù)．【鏈接·教材例題】例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(3x＋5)3；(2)y＝e-0.05x+1；(3)y＝ln(2x－1)．[解]

(1)函數(shù)y＝(3x＋5)3可以看作函數(shù)y＝u3和u＝3x＋5的復(fù)合函數(shù)．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(u3)′·(3x＋5)′＝3u2×3＝9(3x＋5)2.(2)函數(shù)y＝e-0.05x+1可以看作函數(shù)y＝eu和u＝－0.05x＋1的復(fù)合函數(shù)．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05e-0.05x+1.

反思領(lǐng)悟

1．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟2．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)(1)分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)．(2)求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)．

√2[思路導(dǎo)引]

(2)令y＝f(x)，則曲線y＝eax在點(diǎn)(0，1)處的切線的斜率為f′(0)．又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因?yàn)閒(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.]

2．求本例(2)中曲線的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積．

反思領(lǐng)悟

本題正確的求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前提，審題時(shí)注意所給點(diǎn)是不是切點(diǎn)，挖掘題目隱含條件，求出參數(shù)．解決已知經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)的切線問(wèn)題，尋求切點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

探究4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

反思領(lǐng)悟

將復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義結(jié)合，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)揭示物體在某時(shí)刻的變化狀況．

y＝1243題號(hào)1應(yīng)用遷移√

23題號(hào)14

√

√23題號(hào)41√3．設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y＝2x，則a＝(

)A．0 B．1C．2 D．3

243題號(hào)1

0－11．知識(shí)鏈：(1)復(fù)合函數(shù)的概念．(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．2．方法鏈：轉(zhuǎn)化法．3．警示牌：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)不能正確分解函數(shù)；求導(dǎo)時(shí)不能分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；計(jì)算結(jié)果復(fù)雜化．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．你認(rèn)為如何對(duì)多個(gè)整式乘積形式的函數(shù)求導(dǎo)？[提示]

(1)若待求導(dǎo)的函數(shù)為多個(gè)整式乘積的形式，可以利用多項(xiàng)式的乘法法則，化為和差的形式，再求導(dǎo)，其運(yùn)算過(guò)程將會(huì)簡(jiǎn)化，運(yùn)算量將會(huì)減?。?2)若乘積因式不多時(shí)，也可以利用積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)．2．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)該注意哪些問(wèn)題？[提示]

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：(1)分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；(2)求導(dǎo)時(shí)分