人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章1.3.1空間直角坐標(biāo)系課件

1.3.1空間直角坐標(biāo)系第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．了解空間直角坐標(biāo)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．能在空間直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出所給定點(diǎn)、向量的坐標(biāo)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書(shū))在直線上建立數(shù)軸后，就可以用一個(gè)數(shù)刻畫(huà)點(diǎn)在直線上的位置；平面向量中，我們借助平面向量基本定理以及兩個(gè)互相垂直的單位向量，引進(jìn)了平面向量的坐標(biāo)．空間向量是否可以引進(jìn)類(lèi)似的坐標(biāo)？[討論交流]

問(wèn)題1．如何類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系，理解空間直角坐標(biāo)系？問(wèn)題2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和向量的坐標(biāo)是如何定義的？問(wèn)題3．在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有何特征？問(wèn)題4．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和向量的坐標(biāo)的求解步驟是什么？[自我感知]

經(jīng)過(guò)認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫(huà)出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)探究問(wèn)題1利用單位正交基底的概念，我們?nèi)绾卫斫馄矫嬷苯亲鴺?biāo)系？類(lèi)似地，如何建立空間直角坐標(biāo)系？[提示]

在平面內(nèi)選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j}，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j的方向?yàn)檎较?、以它們的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度建立兩條數(shù)軸：x軸、y軸，這樣就建立了一個(gè)平面直角坐標(biāo)系．類(lèi)似地，在空間中選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系．[新知生成]1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?、以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：_____________，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系．x軸、y軸、z軸(2)有關(guān)概念坐標(biāo)軸__軸、__軸、__軸原點(diǎn)點(diǎn)__坐標(biāo)向量__，__，__坐標(biāo)平面Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它們把空間分成__個(gè)部分xyzOijk八(3)建系的常用規(guī)則①畫(huà)空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使∠x(chóng)Oy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.②在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向___的正方向，食指指向___的正方向，如果中指指向___的正方向，則稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．x軸y軸z軸

xi＋yj＋zk(x，y，z)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)豎坐標(biāo)3．空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上坐標(biāo)的形式(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)

點(diǎn)的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標(biāo)的形式(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)【教用·微提醒】

(1)基向量滿足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.(2)建立的坐標(biāo)系一般為右手直角坐標(biāo)系．[典例講評(píng)]

1．在棱長(zhǎng)均為2a的正四棱錐P-ABCD中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(1)寫(xiě)出正四棱錐P-ABCD各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)寫(xiě)出棱PB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

[母題探究]本例條件不變，寫(xiě)出棱PD中點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)．

反思領(lǐng)悟

1．若已給出坐標(biāo)系，不用再建系，若未給出坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循以下原則：(1)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)．(2)充分利用幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性．2．求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個(gè)坐標(biāo)，再找出它在另一坐標(biāo)軸上的射影(或者通過(guò)它到這個(gè)坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號(hào))進(jìn)而確定第三個(gè)坐標(biāo)．[學(xué)以致用]

1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)M是點(diǎn)N(3，4，5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是(

)A．(3，0，5)

B．(0，4，5)C．(3，4，0)

D．(0，0，5)√C

[根據(jù)題意，點(diǎn)N(3，4，5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影為(3，4，0)，結(jié)合空間中點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算可得點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3，4，0)．故選C．]2．畫(huà)一個(gè)正方體ABCD-A1B1C1D1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取正方體的棱長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度．

(1)求各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求棱CC1的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)求四邊形AA1B1B的對(duì)角線的交點(diǎn)N的坐標(biāo)．

√√

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

點(diǎn)P(x，y，z)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)有什么關(guān)系？[提示]

關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng)，誰(shuí)保持不變，其余坐標(biāo)相反，如點(diǎn)(x，y，z)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－x，y，－z)，關(guān)于Ozx平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，－y，z)．[學(xué)以致用]

3．點(diǎn)A(3，4，5)關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

)A．(3，4，－5)

B．(－3，4，5)C．(－3，4，－5)

D．(－3，－4，－5)√B

[關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)變換為其相反數(shù)，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變．即點(diǎn)A(3，4，5)關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，4，5)．故選B．]4．(多選)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－4，1，2)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是(4，－1，－2)B．點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是(4，1，2)C．點(diǎn)P關(guān)于Ozx平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是(－4，－1，2)D．點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(1，1，1)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是(－9，1，3)√√AC

[在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－4，1，2)，對(duì)于A，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是P1(4，－1，－2)，A正確；對(duì)于B，點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是P2(－4，－1，－2)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)P關(guān)于Ozx平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是P3(－4，－1，2)，C正確；對(duì)于D，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(1，1，1)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4(2－(－4)，2－1，2－2)＝(6，1，0)，D錯(cuò)誤．故選AC．]【教用·備選題】1．已知點(diǎn)A(－2，3，4)，則點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A．(2，3，4)

B．(－2，－3，4)C．(－2，3，－4)

D．(2，－3，－4)√D

[在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A(－2，3，4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－3，－4)．故選D．]2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(3，1，－2)關(guān)于Ozx平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A．(－3，1，2)

B．(－3，－1，2)C．(－2，1，3)

D．(3，－1，－2)√D

[點(diǎn)(3，1，－2)關(guān)于Ozx平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，－1，－2)．故選D．]3．在空間直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，已知點(diǎn)P(1，2，－1)，A(0，1，2)，則(

)A．點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2，3，－4)B．點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1，－2，－1)C．點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－1，2，1)D．點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1，－2，1)√C

[由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，點(diǎn)P(1，2，－1)關(guān)于A(0，1，2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1，0，5)，所以A不正確；點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1，－2，1)，所以B不正確；點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－1，2，1)，所以C正確；點(diǎn)P關(guān)于Oxy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1，2，1)，所以D不正確．故選C．]

[提示]

(x，y，z)

(x，y，z)

(x，y，z)

反思領(lǐng)悟

用坐標(biāo)表示空間向量的步驟

應(yīng)用遷移23題號(hào)411．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(1，－2，3)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A．(－1，2，3)

B．(－1，－2，－3)C．(－1，2，－3)

D．(1，－2，－3)√B

[在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(1，－2，3)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－2，－3)．故選B．]23題號(hào)41

√

23題號(hào)413．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知長(zhǎng)方體OABC-O′A′B′C′，OA＝3，OC＝4，OO′＝2，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)為_(kāi)________，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_(kāi)_________，點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_(kāi)_________．(0，0，2)

(3，0，2)

(3，4，2)

23題號(hào)41(0，0，2)

(3，0，2)

(3，4，2)

[點(diǎn)O′在z軸上，且OO′＝2，則它的豎坐標(biāo)為2，又它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為0，所以點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(0，0，2)．點(diǎn)A′在Ozx平面內(nèi)，則它的縱坐標(biāo)為0．點(diǎn)A′在x軸、z軸上的射影依次為點(diǎn)A、點(diǎn)O′，又OA＝3，OO′＝2，所以點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)依次為3，2，即點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(3，0，2)．點(diǎn)B′在x軸、y軸和z軸上的射影依次為點(diǎn)A、點(diǎn)C和點(diǎn)O′，所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(3，4，2)．]23題號(hào)41

(1，0，0)

(1，0，1)

1．知識(shí)鏈：(1)空間直角坐標(biāo)系的概念．(2)空間點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)空間向量的坐標(biāo)．2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比聯(lián)想．3．警示牌：混淆空間點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的概念．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．在空間幾何圖形中如何建立空間直角坐標(biāo)系？[提示]

(1)觀察圖形，尋找兩兩垂直的三條直線，必要時(shí)作輔助線．(2)讓盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi)．(3)充分利用幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性．2．如何確定空間一點(diǎn)P的坐標(biāo)？[提示]

先將P投射(沿與z軸平行的方向)到Oxy平面上的一點(diǎn)P1，由P1P的長(zhǎng)度及與z軸正方向的異同確定豎坐標(biāo)z，再在Oxy平面上同平面直角坐標(biāo)系中一樣的方法確定P1的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，最后得出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y，z)．3．如何求空間向量的坐標(biāo)？[提示]

在空間直角坐標(biāo)系中，把向量用單位正交基底{i，j，k}表示，從而求出空間向量的坐標(biāo)．課時(shí)分層作業(yè)(五)空間直角坐標(biāo)系題號(hào)135246879101112131415

√

題號(hào)1352468791011121314152．已知點(diǎn)N與點(diǎn)M(1，－2，3)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(

)A．(1，2，－3)

B．(－1，－2，3)C．(－1，－2，－3)

D．(1，－2，－3)√A

[依題意，點(diǎn)M(1，－2，3)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N(1，2，－3)．故選A．]題號(hào)352468791011121314151

√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)3524687910111213141514．已知A(1，2，－1)，B為A關(guān)于平面Oxy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，C為B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則C的坐標(biāo)為(

)A．(－2，0，－2)

B．(2，0，2)C．(－1，2，－1)

D．(0，－2，－2)√C

[∵A(1，2，－1)，B為A關(guān)于平面Oxy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，C為B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴B(1，2，1)，C(－1，2，－1)，故選C．]題號(hào)3524687910111213141515．(多選)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則(

)

A．點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(4，5，3)B．點(diǎn)C1關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(5，8，－3)C．點(diǎn)A關(guān)于直線BD1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(0，5，3)D．點(diǎn)C關(guān)于平面ABB1A1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(8，5，0)√√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151二、填空題6．已知{i，j，k}是空間的一個(gè)單位正交基底，向量b＝－5i＋2k用坐標(biāo)形式可表示為_(kāi)_____________．(－5，0，2)

[因?yàn)閧i，j，k}是空間的一個(gè)單位正交基底，則有b＝－5i＋2k＝(－5，0，2)．所以向量b＝－5i＋2k用坐標(biāo)形式表示為(－5，0，2)．](－5，0，2)

題號(hào)352468791011121314151

(0，4，－3)(－4，0，－3)

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151三、解答題9．如圖所示，AF，DE分別是⊙O，⊙O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8．BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE∥AD，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)．題號(hào)352468791011121314151[解]

因?yàn)锳D與兩圓所在的平面均垂直，OE∥AD，所以O(shè)E與兩圓所在的平面也都垂直．題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)35246879101112131415110．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若點(diǎn)M(a，b＋3，2c＋1)關(guān)于y軸的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(－4，－2，15)，則a＋b＋c的值(

)A．10

B．－17

C．－9

D．2√

題號(hào)35246879101112131415111．設(shè)點(diǎn)M為不在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)．若點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為M1，M1關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M2，則M關(guān)于以下哪條坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)可以得到M2(

)A．x軸

B．y軸C．z軸

D．以上都不對(duì)√B

[設(shè)M(x，y，z)，點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為M1，故M1(x，－y，z)，M1關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M2，則M2(－x，y，－z)，M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得到M2，故ACD錯(cuò)誤，B正確．故選B．]題號(hào)352468791011121314151