專題15 難點(diǎn)探究專題：線段上的動(dòng)點(diǎn)問題壓軸題三種模型全攻略（解析版）

專題15難點(diǎn)探究專題：線段上的動(dòng)點(diǎn)問題壓軸題三種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................................................................................1

【考點(diǎn)一線段上動(dòng)點(diǎn)線段和差問題】..............................................................................................................1

【考點(diǎn)二線段上動(dòng)點(diǎn)定值問題】......................................................................................................................6

【考點(diǎn)三線段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問題】..................................................................................................................9

【過關(guān)檢測】.............................................................................................................................................13

【典型例題】

【考點(diǎn)一線段上動(dòng)點(diǎn)線段和差問題】

例題：（2022秋·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B在直線l上，且AB＝18cm，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且PB＝5cm，則CP＝cm；

(2)若點(diǎn)Q是AB的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是AQ、BQ的中點(diǎn)，求線段MN的長．

【答案】(1)14或4

(2)9cm

【分析】（1）分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊和點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊，兩種情況計(jì)算即可；

（2）首先畫出圖形，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義計(jì)算．

【詳解】（1）解：∵AB＝18cm，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，

1

∴CB＝AB＝9cm，

2

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊時(shí)，CP＝CB﹣PB＝9﹣5＝4（cm），

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊時(shí)，CP＝CB+PB＝9+5＝14（cm），

故CP＝14cm或4cm．

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故答案為：14或4；

（2）解：如圖，

∵M(jìn)為AQ的中點(diǎn)，N為BQ的中點(diǎn)，

11

∴MQ＝AQ，NQ＝BQ，

22

111

∴MN＝AQ﹣BQ＝AB＝9cm．

222

【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，線段的和差關(guān)系，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義與線段的和差是解題關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為8，點(diǎn)B在A點(diǎn)的

左邊，且AB12．若有一動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)

點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)解決問題：

①當(dāng)t1時(shí)，寫出數(shù)軸上點(diǎn)B，P所表示的數(shù)；

②若點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒與點(diǎn)Q相距3個(gè)單位長度？

(2)探索問題：若M為AQ的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段MN與線段

PQ的數(shù)量關(guān)系（寫出過程）．

【答案】(1)①點(diǎn)B表示-4，點(diǎn)P表示5；②1.8秒或3秒

(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，過程見解析

【分析】（1）①根據(jù)已知可得B點(diǎn)表示的數(shù)為8-12；點(diǎn)P表示的數(shù)為8-3t；

②點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，與Q相距2個(gè)單位長度，則AP=3x，BQ=2x，根據(jù)AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，

列出方程求解即可；

（2）根據(jù)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出結(jié)論．

【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B在A點(diǎn)左邊，AB=12，

∴點(diǎn)B表示的數(shù)是8-12=-4，

∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)P表示的數(shù)是8-3×1=5．

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②設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，與Q相距3個(gè)單位長度，

則AP=3x，BQ=2x，

∵AP+BQ=AB-3，

∴3x+2x=9，

解得：x=1.8，

∵AP+BQ=AB+3，

∴3x+2x=15

解得：x=3．

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1.8秒或3秒時(shí)與點(diǎn)Q相距3個(gè)單位長度．

（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：

P在Q右側(cè)時(shí)有：MN=MQ+NP-PQ

11

=AQ+BP-PQ

22

11

=（AQ+BP-PQ）-PQ

22

11

=AB-PQ

22

1

=（12-PQ），

2

即2MN+PQ=12．

同理P在Q左側(cè)時(shí)有：2MN-PQ=12．

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和一元一次方程的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，關(guān)鍵是根據(jù)題

意畫出圖形，注意分兩種情況進(jìn)行討論．

2．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知OAOB20cm，點(diǎn)C、D分別為線段OA、OB上

的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)以1cm/s的速度沿OA方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)以3cm/s的速度沿BO方

向運(yùn)動(dòng)．

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(1)如圖1，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，求ACOD的值；

(2)如圖1，若在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持OD3AC，求OA的長；

(3)如圖2，在（2）的條件下，延長BO到點(diǎn)M，使OMOA，點(diǎn)P是直線OB上一點(diǎn)，且MPBPOP，

求OP的值．

MB

【答案】(1)ACOD12

(2)OA5cm

OP1

(3)1或

MB2

【分析】（1）先求出OC122cm，BD326cm，根據(jù)OA20OB，求出

ACOAOC20OBOC20OB218OB，ODOBBDOB6，最后求出結(jié)果即可；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則OCt，BD3t，求出ODOB3t，ACOAt，根據(jù)OD3AC，得出

OB3t3OAt，求出OB3OA，再根據(jù)OAOB20cm求出結(jié)果即可；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，根據(jù)OA5cm，得出MO5cm，BO15cm，求出BM20cm，根據(jù)求出

OPMPBPMOOPBP5OPBP，根據(jù)OPOBBP15BP，得出5OPBP15BP，求

出OP10cm，最后求出比值即可；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，可得OPMB，進(jìn)而可得結(jié)果．

【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，

OC122cm，

BD326cm，

∵OAOB20cm，

∴OA20OB，

∴ACOAOC20OBOC20OB218OB，

∵ODOBBDOB6，

∴ACOD18OBOB612cm；

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（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則OCt，BD3t，

∴ODOB3t，ACOAt，

∵OD3AC，

∴OB3t3OAt，

∴OB3OA

∵OAOB20cm，

∴OA3OA20cm，

∴OA5cm．

（3）解：∵OA5cm，

∴MO5cm，BO15cm，BM20cm，

∵M(jìn)PBPOP，

∴點(diǎn)P在點(diǎn)O右邊，

當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，

∴OPMPBPMOOPBP5OPBP，

∵OPOBBP15BP，

∴5OPBP15BP，

∴OP10cm，

OP101

∴．

MB202

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，

∵M(jìn)PBPOP，MPBPMB，

∴OPMB，

OP

∴1；

MB

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OP

綜上，1或1．

MB2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果．

【考點(diǎn)二線段上動(dòng)點(diǎn)定值問題】

例題：（2023秋·河南南陽·七年級南陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖，已知線段AB15cm，CD3cm，E是

線段AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BD的中點(diǎn)．

(1)若AC5cm，求線段EF的長度．

(2)當(dāng)線段CD在線段AB上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化，如果不變，

請求出線段EF的長度；如果變化，請說明理由．

【答案】(1)9cm

(2)不變，還是9cm，理由見解析

【分析】（1）由題意可得，BDABACCD7cm，結(jié)合中點(diǎn)的含義可得EFECCDDF9cm；

11

（2）由已知可得AEAC，BFBD，再由EFABAEBF，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即可解．

22

【詳解】（1）解∶AC5cm，AB15cm，CD3cm，

BDABACCD15537cm

點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，

11

ECAC2.5cm，DFBD3.5cm

22

EFECCDDF2.533.59cm；

（2）線段EF的長度不發(fā)生變化．

點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，

11

AEAC，BFBD

22

EFABAEBF

11

ABACBD

22

1

ABACBD

2

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1

ABABCD

2

1

15153

2

9cm．

【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差運(yùn)算，中點(diǎn)的含義；熟練掌握線段的和差運(yùn)算，靈活應(yīng)用中點(diǎn)的性質(zhì)解題是

關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1．（2023春·山東煙臺(tái)·六年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．

(1)若AC12cm，CB8cm，求線段MN的長；

(2)若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿足ACCBm，其他條件不變，你能猜想MN的長度嗎？請直接寫出你的

答案．

(3)若C在線段AB的延長線上，且滿足ACBCn，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，你能猜想MN的長度

嗎？請?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．

【答案】(1)10cm

m

(2)

2

n

(3)，圖及理由見解析

2

11

【分析】（1）根據(jù)M、N分別是AC,BC的中點(diǎn)，可得MC=AC,CN=BC，從而得到

22

111

MNMCCNACBCACBC，即可求解；

222

11

（2）根據(jù)M、N分別是AC,BC的中點(diǎn)，可得MC=AC,CN=BC，從而得到

22

111

MNMCCNACBCACBC，即可求解；

222

11

（3）根據(jù)M、N分別是AC,BC的中點(diǎn)，可得MC=AC,CN=BC，從而得到

22

111

MNMCCNACBCACBC，即可求解．

222

【詳解】（1）解：∵M(jìn)、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

11

∴MCAC,CNBC，

22

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1111

∴MNMCCNACBCACBC12810cm

2222

∴線段MN的長為10cm．

（2）解∶∵M(jìn)、N分別是AC,BC的中點(diǎn)，

11

∴MC=AC,CN=BC，

22

∵ACCBm，

1111

∴MNMCCNACBCACBCm；

2222

1

（3）解∶MNn，理由如下∶

2

如圖:

∵M(jìn)、N分別是AC,BC的中點(diǎn)，

11

∴MC=AC,CN=BC，

22

∵ACBCn，

1111

∴MNMCCNACBCACBCn．

2222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，明確題意、準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

3．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期末）探究題：如圖①，已知線段AB12cm，點(diǎn)C為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)C恰好是AB中點(diǎn)，則DE____________cm；

(2)若AC4cm，求DE的長；

(3)試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，設(shè)AC“a”cm，請說明不論a取何值（a不超過12cm），DE的長不變．

【答案】(1)6

(2)DE6cm

(3)見解析

【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出ACBC，CDDE，結(jié)合圖形即可求解；

（2）根據(jù)（1）的方法即可求解；

（3）根據(jù)（1）的方法進(jìn)行求解即可．

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【詳解】（1）解：AB12cm，C點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，

ACBC6cm．

點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，

CDCE3cm，

DE6cm．

故答案為：6；

（2）解：AB12cm，AC4cm，

BC8cm．

點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，

CD2cm，CE4cm，

DE6cm；

（3）解：設(shè)ACacm，則BCABAC12acm，

點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，

1a112a

∴CDACcm，CEBCcm

2222

1

DECDCEAB6cm，

2

不論AC取何值（不超過12cm），DE的長不變；

【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段和差的計(jì)算，掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)三線段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問題】

例題：（2023秋·云南臨滄·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，AB20cm，BC8cm，點(diǎn)P從

A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B；點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向左運(yùn)

動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts

(1)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，求t的值；

(2)是否存在某一時(shí)刻，使得C、P、Q這三個(gè)點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)?若存在，求

出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．

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20

【答案】(1)t

3

32

(2)滿足條件的t值為4或7或

5

【分析】（1）根據(jù)相遇時(shí)間=路程和速度和，列出方程計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；

【詳解】（1）由題意可得：AP2t，PQt，

20

∴當(dāng)P、Q重合時(shí)，2tt20，解得：t；

3

（2）由題意可得：AC20812cm，

∴①當(dāng)點(diǎn)C是線段PQ的中點(diǎn)時(shí)，122t8t，

解得：t4；

②當(dāng)點(diǎn)P是線段CQ的中點(diǎn)時(shí)，22t128t，

32

解得：t

5

③當(dāng)點(diǎn)Q是線段PC的中點(diǎn)時(shí)，28t2t12，

解得：t7；

32

綜上所述，滿足條件的t值為4或7或．

5

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論以防遺

漏

【變式訓(xùn)練】

1．（2023秋·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn)A對應(yīng)的有理數(shù)為2，

點(diǎn)B對應(yīng)的有理數(shù)為8．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t秒（t0）．

(1)當(dāng)t3時(shí)，AP的長為______，點(diǎn)P表示的有理數(shù)為______；

(2)若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P對應(yīng)的有理數(shù)為______；

1

(3)當(dāng)PBAB時(shí)，求t的值．

5

【答案】(1)6，4

(2)3

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1

(3)當(dāng)PBAB時(shí)，t的值為4或6

5

【分析】（1）根據(jù)路程速度時(shí)間進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)中點(diǎn)公式進(jìn)行求解即可；

1

（3）先求出AB10，再由PBAB，得到PB2，然后分點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)兩種情況，利用線段

5

的和差關(guān)系求出AP的長即可得到答案．

【詳解】（1）解：由題意得，AP326，

∴點(diǎn)P表示的數(shù)為264，

故答案為：6，4；

（2）解：∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的有理數(shù)為2，點(diǎn)B對應(yīng)的有理數(shù)為8，

28

∴點(diǎn)P對應(yīng)的有理數(shù)為3，

2

故答案為：3；

（3）解：∵AB8210，

1

∴當(dāng)PBAB時(shí)，則PB2，

5

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，

∵PB2，

∴AP1028，

∴t824；

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，

∵PB2，

∴AP10212，

∴t1226；

1

綜上所述，當(dāng)PBAB時(shí)，t的值為4或6．

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，線段的和差計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

2．（2022秋·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知線段AB，按下列要求完成畫圖和計(jì)算：

（1）延長線段AB到點(diǎn)C，使BC＝3AB（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，且AB＝2，求線段AD的長度；

（3）在以上的條件下，若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)

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點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在某時(shí)刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出時(shí)間t：若不存在，請說明理

由．

【答案】（1）詳見解析；（2）5；（3）時(shí)間t為2．

【分析】（1）延長線段AB到點(diǎn)C，使BC＝3AB即可；

（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，且AB＝2，即可求線段AD的長度；

（3）在以上的條件下，若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在某時(shí)刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出時(shí)間t．

【詳解】解：（1）如圖所示：延長線段AB到點(diǎn)C，使BC＝3AB；

（2）∵AB＝2，

∴BC＝3AB＝6，

∴AC＝AB+BC＝8，

∵點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，

1

∴BD＝BC＝3，

２

∴AD＝AB+BD＝5．

答：線段AD的長度為5；

（3）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，到點(diǎn)C時(shí)停止．

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

則PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，

PB＝PA﹣PC

即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）

10

解得t＝2或（舍去）．

３

答：時(shí)間t為2．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖－基本作圖、兩點(diǎn)間的距離，掌握尺規(guī)作圖的方法和各線段之間的比例關(guān)系是解題

的關(guān)鍵．

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【過關(guān)檢測】

一、單選題

1．（2022秋·重慶梁平·七年級統(tǒng)考期末）已知線段AB12cm，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別

是AC和BC的中點(diǎn)．則DE的長為（）cm

A．3B．3.5C．5D．6

【答案】D

11

【分析】由點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)可得DCAC，CEBC，再由DEDCCE進(jìn)行計(jì)算即

22

可得到答案．

【詳解】解：點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)，

11

DCAC，CEBC，

22

1111

DEDCCEACBCACBCAB6cm，

2222

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，線段的和差，根據(jù)題意得出DEDCCE是解題的關(guān)鍵．

1

2．（2022秋·安徽蚌埠·七年級校考階段練習(xí)）如圖，C為射線AB上一點(diǎn)，AB＝30，AC比BC的多5，P，

4

Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)

1

時(shí)間為t秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③當(dāng)PB＝BQ

2

時(shí)，t＝12，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

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1

【分析】根據(jù)AC比BC的多5可分別求出AC與BC的長度，然后分別求出當(dāng)P與Q重合時(shí)，此時(shí)t=30s，

4

當(dāng)P到達(dá)B時(shí)，此時(shí)t=15s，最后分情況討論點(diǎn)P與Q的位置．

【詳解】解：設(shè)BC＝x，

1

∴AC＝x+5

4

∵AC+BC＝AB

1

∴x+x+5＝30，

4

解得：x＝20，

∴BC＝20，AC＝10，

∴BC＝2AC，故①成立，

∵AP＝2t，BQ＝t，

當(dāng)0≤t≤15時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，

∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，

∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)

1

∴MB＝BP＝15﹣t

2

∵QM＝MB+BQ，

∴QM＝15，

∵N為QM的中點(diǎn)，

115

∴NQ＝QM＝，

22

∴AB＝4NQ，

當(dāng)15＜t≤30時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外，且點(diǎn)P在Q的左側(cè)，

∴AP＝2t，BQ＝t，

∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，

∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)

1

∴BM＝BP＝t﹣15

2

∵QM＝BQ﹣BM＝15，

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∵N為QM的中點(diǎn)，

115

∴NQ＝QM＝，

22

∴AB＝4NQ，

當(dāng)t＞30時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)P在Q的右側(cè)，

∴AP＝2t，BQ＝t，

∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，

∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)

1

∴BM＝BP＝t﹣15

2

∵QM＝BQ﹣BM＝15，

∵N為QM的中點(diǎn)，

115

∴NQ＝QM＝，

22

∴AB＝4NQ，

綜上所述，AB＝4NQ，故②正確，

1

當(dāng)0＜t≤15，PB＝BQ時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，

2

∴AP＝2t，BQ＝t

∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，

1

∴30﹣2t＝t，

2

∴t＝12，

1

當(dāng)15＜t≤30，PB＝BQ時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外，且點(diǎn)P在Q的左側(cè)，

2

∴AP＝2t，BQ＝t，

∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，

1

∴2t﹣30＝t，

2

t＝20，

當(dāng)t＞30時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在Q的右側(cè)，

∴AP＝2t，BQ＝t，

∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，

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1

∴2t﹣30＝t，

2

t＝20，不符合t＞30，

1

綜上所述，當(dāng)PB＝BQ時(shí)，t＝12或20，故③錯(cuò)誤；

2

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是求出P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的時(shí)間，以及點(diǎn)P與Q重合時(shí)的時(shí)間，

涉及分類討論的思想．

二、填空題

1

3．（2023秋·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，若AMAB，點(diǎn)N是直線AB上的

4

MN

一動(dòng)點(diǎn)，且ANBNMN，則．

AB

1

【答案】1或

2

【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．

【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上，如圖：

ANBNMN，ANAMMN，

BNAM，

1

AM=AB，

4

1

\BN=AB，

4

1

\MN=AB-AM-BN=AB，

2

MN1

\=；

AB2

當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上，如圖：

ANBNMN，ANBNAB，

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ABMN，

MN

1，

AB

MN1

綜上所述：的值為1或，

AB2

1

故答案為：1或．

2

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分兩種情況進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

4．（2023秋·四川綿陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為3，1，9．它們分

別以每秒2個(gè)單位長度、1個(gè)單位長度和4個(gè)單位長度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的

時(shí)間為t秒．若A，B，C三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則t的值為．

【答案】1或4或16．

【分析】當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-2t-3，點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-t+1，點(diǎn)C在效軸

上對應(yīng)的數(shù)為-4t+9，然后分三種情況：點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)、點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)及點(diǎn)A為線段CB的

中點(diǎn)，找出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)A始終在點(diǎn)B的左側(cè)，

點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-2t-3，點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-t+1，點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為-4t+9，

當(dāng)點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，

-t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1），

解得：t=1；

當(dāng)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，

-4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9），

解得：t=4；

當(dāng)點(diǎn)A為線段CB的中點(diǎn)時(shí)，

-2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3）

解得：t=16.

故答案為：1或4或16．

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

三、解答題

5．（2023秋·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）應(yīng)用題：如圖，已知線段AB12cm，點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)

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點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)．

(1)若AC4，求DE的長；

(2)若C為AB的中點(diǎn)，則AD與AB的數(shù)量關(guān)系是______；

(3)試著說明，不論點(diǎn)C在線段AB上如何運(yùn)動(dòng)，只要不與點(diǎn)A和B重合，那么DE的長不變．

【答案】(1)DE6cm

1

(2)ADAB

4

(3)說明見解析

【分析】（1）首先根據(jù)線段的和差關(guān)系求出BCABAC8，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求出DC2，CE4，

進(jìn)而求和可解；

（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求解即可；

（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的概念求解即可．

【詳解】（1）因?yàn)锳C4，

所以BCABAC8．

因?yàn)辄c(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．

所以DC2，

因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．

所以CE4，

所以DEDCCE6cm；

（2）∵C為AB的中點(diǎn)，

1

∴ACAB

2

∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)

1111

∴ADACABAB；

2224

（3）因?yàn)辄c(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．

1

所以DCAC

2

因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．

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1

所以CECB，

2

111

所以DEDCCEACCBAB6cm，

222

所以，DE的長不變．

【點(diǎn)睛】此題考查了線段的和差計(jì)算，線段中點(diǎn)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系．

6．（2023秋·湖北武漢·七年級?？计谀┤鐖D，在直線l上順次取A、B、C三點(diǎn)，已知AB20，BC80，

點(diǎn)M、N分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)

M的速度為每秒2個(gè)單位長度，點(diǎn)N速度為每秒1個(gè)單位長度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)用含t的代數(shù)式表示線段AM的長度為________；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合?

(3)若點(diǎn)Р為AM中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BN中點(diǎn)．問：是否存在時(shí)間t，使PQ長度為5?若存在，請說明理由．

【答案】(1)2t

(2)20

(3)30或50

【分析】（1）由點(diǎn)M的速度為2即可得出答案；

（2）根據(jù)題意可得出BMt，當(dāng)M、N兩點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系即可列出關(guān)于t的等式，解

出t即可；

1111

（3）根據(jù)題意可得：PAAMt，BQBNt，且t50．由此可求出AQABBQ20t．再

2222

根據(jù)PQAQAP或PQAPAQ，即可列出關(guān)于t的等式，解出t即可．

【詳解】（1）∵點(diǎn)M的速度為每秒2個(gè)單位長度，

∴AM2t．

故答案為：2t；

（2）根據(jù)題意可知BNt．

當(dāng)M、N兩點(diǎn)重合時(shí)，有2t20t，

解得：t20．

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故t為20時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；

1112080

（3）根據(jù)題意可得：PAAMt，BQBNt，且t50．

2222

1

∴AQABBQ20t．

2

∴PQAQAP或PQAPAQ，

11

即520tt或5t20t

22

解得：t30或t50．

故存在時(shí)間t，使PQ長度為5，此時(shí)t的值為30或50．

【點(diǎn)睛】本題考查與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題，線段的和與差，與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算以及解一元一次方程的

實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意找到線段間的數(shù)量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．

7．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC3，BC11，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出

發(fā)，沿線段AB以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA以每秒

2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)線段AB的長為______．

(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)，求t的值．

(3)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為9個(gè)單位長度時(shí)，求t的值．

(4)當(dāng)PCQB2.5時(shí)，直接寫出t的值．

【答案】(1)14

14

(2)t

5

23

(3)當(dāng)t1或t時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為9個(gè)單位長度

5

17

(4)t

10

【分析】（1）根據(jù)ABACBC即可求解；

（2）依題意，AP3t,BQ2t，根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)3t2t14，解方程即可求解；

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（3）分相遇前和相遇后分別列出方程，解方程即可求解；

（4）分點(diǎn)P在線段AC上和線段CB上，分別討論，列出方程，解方程即可求解．

【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C在線段AB上，AC3，BC11，

∴ABACBC31114，

故答案為：14．

（2）解：依題意，AP3t,BQ2t，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)3t2t14，

14

解得：t；

5

（3）解：相遇前點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為9個(gè)單位長度時(shí)，

3t2t914，

解得：t1，

相遇前點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為9個(gè)單位長度時(shí)，則

3t2t914，

23

解得：t，

5

23

綜上所述，當(dāng)t1或t時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為9個(gè)單位長度；

5

（4）∵AC3，

當(dāng)P在線段AC上時(shí)，0t1，此時(shí)PC33t，

∵PCQB2.5，

∴33t2t5.5，

5

解得：t（舍去）

2

當(dāng)P在線段CB上時(shí)，t1，此時(shí)PC3t3，

∵PCQB2.5，

∴3t32t5.5，

17

解得：t，

10

17

∴t．

10

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

8．（2023秋·河北唐山·七年級?？计谀┤鐖D，B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿ADA以2cm/s的速度往返

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運(yùn)動(dòng)1次，C是線段BD的中點(diǎn)，AD10cm，設(shè)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0t10）．

(1)當(dāng)t2時(shí)，

①ABcm；

②求線段CD的長度；

(2)用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過程中AB的長；

(3)當(dāng)BD4cm時(shí)，求t的值；

(4)在運(yùn)動(dòng)過程中，若AB的中點(diǎn)為E，則EC的長是否變化？若不變，求出EC的長；若發(fā)生變化，請說明理

由．

【答案】(1)①4；②3cm

(2)當(dāng)0t5時(shí)，AB2t；當(dāng)5t10時(shí)，AB202t

(3)3s或7s

(4)不變，5cm

【分析】（1）①根據(jù)AB2t即可得出結(jié)論；

②先求出BD的長，再根據(jù)C是線段BD的中點(diǎn)即可得出CD的長；

（2）分兩種情況進(jìn)行討論即可；

（3）根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算即可；

（4）根據(jù)中點(diǎn)定義即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）解：①∵B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿ADA以2cm/s的速度往返運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)t2時(shí)，AB2t224cm．

故答案為：4；

②∵AD10，AB4，

∴BDADAB1046，

∵C是線段BD的中點(diǎn)，

11

∴CDBD63cm．

22

∴線段CD的長度為3cm．

（2）∵B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿ADA以2cm/s的速度往返運(yùn)動(dòng)，

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當(dāng)點(diǎn)B從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)D時(shí)，t1025，

∴當(dāng)點(diǎn)B沿點(diǎn)AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，

這時(shí)：0t5，AB2t；

當(dāng)點(diǎn)B沿點(diǎn)DA運(yùn)動(dòng)時(shí)，

這時(shí)：5t10，AB102t10202t；

（3）當(dāng)點(diǎn)B沿點(diǎn)AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，AB2t（0t5），

∴BDADAB102t，

又∵BD4，

∴102t4，

解得：t3，

當(dāng)點(diǎn)B沿點(diǎn)DA運(yùn)動(dòng)時(shí)，AB202t（5t10），

∴BDADAB10202t2t10，

又∵BD4，

∴2t104，

解得：t7，

綜上所述，當(dāng)BD4cm時(shí)，求t的值為3s或7s；

（4）不變．

∵AB的中點(diǎn)為E，C是線段BD的中點(diǎn)，AD10，

11

∴BEAB，BCBD，

22

∴ECEBBC

11

ABBD

22

1

ABBD

2

1

AD

2

1

10

2

5cm，

即：EC的長為5cm．

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【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，線段的和與差，中點(diǎn)的定義，一元一次方程的應(yīng)用，本題運(yùn)用了分類討

論的方法．利用線段中點(diǎn)的定義及線段的和差得出相應(yīng)的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

9．（2021秋·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段ABm，CDn，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A

2

在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），若m126n0．

（1）求線段AB，CD的長；

（2）若點(diǎn)M，N分別為線段AC，BD的中點(diǎn)，BC4，求線段MN的長；

（3）當(dāng)CD運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P是線段AB的延長線上任意一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：

PAPBPAPB

①是定值，②是定值，請選擇你認(rèn)為正確的一個(gè)并加以說明．

PCPC

PAPB

【答案】（1）AB12，CD6；（2）9；（3）②正確，2，見解析

PC

【分析】（1）利用兩個(gè)非負(fù)數(shù)和為0，可得每個(gè)非負(fù)數(shù)為0，可求m12，n6即可；

（2）分類考慮當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)和點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，利用中點(diǎn)可求AM，DN，利用線段和差求AD，

可求MN=AD-AM-DN即可；

（3）利用PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC即可．

22

【詳解】解：（1）由m126n0，m120，6n0，

m12=0，6n=0，

得m12，n6，

所以AB12，CD6；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖，

因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為線段AC，BD的中點(diǎn)，BC4，

111111

所以AMACABBC1248，DNBDCDBC645，

222222

又因?yàn)锳DABBCCD124622，

所以MNADAMDN22859，

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖，

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