專題18 特殊的平行四邊形（8大考點）（原卷版）

第五部分四邊形

專題18特殊的平行四邊形（8大考點）

核心考點一矩形的性質(zhì)與判定

核心考點二矩形的相關(guān)證明與計算

核心考點三菱形的性質(zhì)與判定

核心考點四菱形的相關(guān)證明與計算

核心考點

核心考點五正方形的性質(zhì)與判定

核心考點六正方形的相關(guān)證明與計算

核心考點七中點四邊形

核心考點八三角形的中位線

新題速遞

核心考點一矩形的性質(zhì)與判定

例1（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG

的邊EF經(jīng)過點C，且點G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長為（）

333

A．B．C．6D．3

22

例2（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB8，AD6，E，F(xiàn)分別為AB，AD

的中點，連接EF．如圖2，將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角090，使EFAD，連接BE并延長交

DF于點H，則∠BHD的度數(shù)為______，DH的長為______．

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例3（2022·云南·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與

CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF=90°

(1)求證：四邊形ABDF是矩形；

(2)若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．

1.矩形的性質(zhì)：

（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等且互相平分；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱

中心是兩條對角線的交點．

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

2.矩形的判定：

①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）

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【變式1】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中ADCABC90，ADCD，DPAB

于點P，若四邊形ABCD的面積是9，則DP的長是()

A．6B．4.5C．3D．2

【變式2】（2023·安徽淮北·校聯(lián)考一模）如圖，矩形ABCD中，AB4，BC6，點P是矩形ABCD內(nèi)一

點，連接PA，PC，PD，若PAPD，則PC的最小值為（）

A．2134B．2103C．2D．4

【變式3】（2022·黑龍江哈爾濱·校考二模）如圖，矩形ABCD中，AB4,BC10，M為AD的中點，把矩

形沿著過點M的直線折疊，點A剛好落在邊BC上的點E處，則AE的長為___________．

【變式4】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD4，點E、

F在邊AB、AD上，且AEAF1，點P為BC上一動點，點Q為矩形內(nèi)部一動點，且EQF135，連接

PD、PQ，則PQPD的最小值為______．

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【變式5】（2022·云南文山·統(tǒng)考三模）如圖，在ABC中，ABAC，點D是BC的中點，連接AD，點E

是AD的中點，延長BE至點F，使EFBE，連接AF、CF，BF與AC交于點G，連接DG．

(1)求證：四邊形ADCF是矩形；

(2)若ACBF，AC3，tanABC2，求DG的長．

核心考點二矩形的相關(guān)證明與計算

例1（2021·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰直角ABC中，C90，M、N分別為BC、AC

1

上的點，CNM50，P為MN上的點，且PCMN，BPC117，則ABP（）

2

A．22B．23C．25D．27

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例2（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD，AB1，BC2，點A在x軸正半軸上，點D

在y軸正半軸上．當點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的

最大距離為__．

例3（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，YABCD中，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC

的中點．

(1)求證：BEDF；

AC

(2)設(shè)k，當k為何值時，四邊形DEBF是矩形？請說明理由．

BD

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【變式1】（2021·浙江寧波·?？既＃┤鐖D，在ABC中，點E是線段AB上一點，EDBC于點D，四邊

形EDGF為矩形，若BCDG，ABC的面積為a，矩形EDGF的面積為b，則下列圖形中面積可以確定的

是（）

A．△BDE的面積B．四邊形ACGF的面積

C．梯形EDCH的面積D．△AEF的面積

【變式2】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，DE平分ADC交BC于點E，點F是

CD邊上一點（不與點D重合）．點P為DE上一動點，PEPD，將DPF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，角

的兩邊交射線DA于H，G兩點，有下列結(jié)論：①DHDE；②DPDG；③DGDF2DP；

④DPDEDHDC，其中一定正確的是（）

A．①②B．②③C．①④D．③④

【變式3】（2022·黑龍江哈爾濱·校考二模）已知矩形ABCD，點E在AD邊上，DEAE，連接BE，點G在

BC邊上，連接EG，BE平分AEG，若BG5GC，DE2CG，BE210，則ABE的面積是___________．

【變式4】（2022·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，C90，AC3cm，BC4cm，D是AB

上一點，DEAC于點E，DFBC于點F，連接EF，則EF的最小值為___________cm．

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【變式5】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E在AD上，連接BE，CE，

△ABE≌△DCE．在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E在AD上，連接BE，CE，ABE≌DCE．

△△

(1)如圖1，求證：四邊形ABCD為矩形；

(2)如圖2，連接AC交BE于點F，點G在CF上，AF2CG，連接BG，在不添加任何輔助線的情況下，

1

直接寫出圖中所有面積為四邊形ABCD面積的的三角形．

4

核心考點三菱形的性質(zhì)與判定

例1（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB2,ABC60，M是對角線BD上

的一個動點，CFBF，則MAMF的最小值為（）

A．1B．2C．3D．2

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例2（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，ABC60，對角線AC與BD交

于點O，E為OB中點，F(xiàn)為AD中點，連接EF，則EF的長為_________．

例3（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．

(1)求BD的長；

(2)點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE=3DF，

①當CE丄AB時，求四邊形ABEF的面積；

②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+3CF的值是否也最??？如果是，求CE+3CF的最小值；如

果不是，請說明理由．

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1.菱形的性質(zhì)：

（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．

（2）菱形的性質(zhì)：

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．

（3）菱形的面積計算

1

①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=ab．（a、b是兩條對角線的長度）

2

2.菱形的判定：

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形．

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．

【變式1】（2023·安徽淮北·校聯(lián)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，A60，點E，F(xiàn)在菱形ABCD

的邊上，從點A同時出發(fā)，分別沿ABC和ADC的方向以每秒1cm的速度運動，到達點C時停

2

止，線段EF掃過區(qū)域的面積記為ycm，運動時間記為xs，能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是

（）

A．B．C．D．

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k

【變式2】（2022·遼寧營口·一模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖像與菱

x

形OABC的邊OC，AB分別交于點M、N，且OM2MC，OA6，COA60，則N的橫坐標為（）

A．7B．63C．313D．313

【變式3】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于

2

點O，過點D作DECD，交AC于點E，若AC6，tanACB，則DE的長是______．

3

【變式4】（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，BC10，F(xiàn)為AD的中點，點E在BD

上，F(xiàn)EBD，EF4，將△DFE沿DB方向平移，使點F落在AB上，則△DFE平移的距離為________．

【變式5】（2023·四川巴中·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD∥BC，ABAD，對角線AC，BD

交于點O，AC平分BAD，過點C作CEAB交AB的延長線于點E，連接OE．

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若AD6，BD2，求OE的長．

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核心考點四菱形的相關(guān)證明與計算

例1（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點，連接CE

交對角線BD于點F．若∠DEF＝∠DFE，則這個菱形的面積為（）

A．16B．67C．127D．30

例2（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O，點E在OB上，

連接AE，點F為CD的中點，連接OF，若AEBE，OE3，OA4，則線段OF的長為___________．

例3（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，C90，

1

ADBABDBDC，DE交BC于點E，過點E作EFBD，垂足為F，且EFEC．

2

（1）求證：四邊形ABED是菱形；

（2）若AD4，求BED的面積．

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【變式1】（2022·山東濟南·校考一模）如圖，菱形ABCD的邊長為8，E、F分別是AB、AD上的點，連

接CE、CF、EF，AC與EF相交于點G，若BEAF2，BAD120，則FG的長為（）

133

A．B．3C．2D．

22

【變式2】（2021·陜西·西安市第三中學(xué)?？既＃┤鐖D，折疊菱形紙片ABCD，使得AD對應(yīng)邊過點C，

若B60，AB2，當AEAB時，AE的長是（）

A．23B．232C．5D．13

【變式3】（2023·山東東營·校聯(lián)考一模）如圖，在菱形ABCD中，AB43，ABC60，點P是BD

上一點，點M、N分別是BC、CD上任意一點，且PMBC，垂足為M，連接PM、PN，則PMPN

的最小值為_____．

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【變式4】（2023·山東東營·?？家荒＃┤鐖D，在邊長為4的菱形ABCD中，A60，M是AD邊上的一點，

1

且AMAD，N是AB邊上的一動點，將AMN沿MN所在直線翻折得到△AMN，連接AC，則AC長

4

度的最小值是___________．

【變式5】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，已知ABC中，D是BC邊上一點，過點D分別作DE∥AC交

AB于點E，作DF∥AB交AC于點F，連接AD．

(1)下列條件：

①D是BC邊的中點；

②AD是ABC的角平分線；

③點E與點F關(guān)于直線AD對稱．

請從中選擇一個能證明四邊形AEDF是菱形的條件，并寫出證明過程；

(2)若四邊形AEDF是菱形，且AE2，CF1，求BE的長．

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核心考點五正方形的性質(zhì)與判定

例1（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為5，點A的坐標為（4，0），點B在y

k

軸上，若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖像過點C，則k的值為（）

x

A．4B．﹣4C．﹣3D．3

例2（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，

AEAF,EAF30，則AEB___________；若△AEF的面積等于1，則AB的值是___________．

例3（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，連接BE，BE的垂直

平分線交AB于點M，交CD于點N，垂足為O，點F在DC上，且MF∥AD．

(1)求證：△ABE≌△FMN；

(2)若AB8，AE6，求ON的長．

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1.正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等且互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．

2.正方形的判定：

正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．

【變式1】（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD中，將邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至點BC，若

CCD90，CC2，則線段BC的長度為（）

5

A．2B．C．6D．5

2

【變式2】（2022·河南周口·周口市第一初級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，

A3B3C3C2，…照如圖所示的方式放置，點A1，A2，A3，…和點C1，C2，C3，…分別在直線kkxbk0

和x軸上，已知點B11,1，B23,2，則B3的坐標是（）

A．12,9B．10,7C．8,5D．7,4

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【變式3】（2022·陜西西安·西安市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，AB3，E、M、N

分別是邊AD、AB、BC上的動點，且NM2，MONO，則CEEO的最小值是________．

【變式4】（2023·山西太原·山西實驗中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長為2，E為BC邊上任意一

點（不與B、C重合），沿AE折疊正方形ABCD，使得點B落在B，連接DB，若點F為線段DB的中點，

則CF的最小值為__________．

【變式5】（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學(xué)校?？级＃┤鐖D，已知正方形ABCD，AB＝8，點M為線段

DC上的動點，射線AM交BD于E交射線BC于F，過點C作CQ⊥CE，交AF于點Q，

(1)求證：∠QCF＝∠QFC；

(2)證明：△CMQ是等腰三角形．

(3)取DM的中點H，連結(jié)HQ，若HQ＝5，求出BF的長．

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核心考點六正方形的相關(guān)證明與計算

例1（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖①，在正方形ABCD中，點M是AB的中點，點N是對

角線BD上一動點，設(shè)DN＝x，AN+MN＝y(tǒng)，已知y與x之間的函數(shù)圖象如圖②所示，點E（a，25）是

圖象的最低點，那么a的值為（）

8244

A．B．22C．2D．5

333

例2（2022·山西·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上的一點，點F在邊CD的延長線

上，且BEDF，連接EF交邊AD于點G．過點A作ANEF，垂足為點M，交邊CD于點N．若BE5，

CN8，則線段AN的長為_________

例3（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準備在耕地A、B、C、D四個位

置安裝四個自動噴酒裝置（如圖1所示），A、B、C、D四點恰好在邊長為50米的正方形的四個頂點上，

為了用水管將四個自動噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計了如下兩個水管鋪設(shè)方案（各圖中實線為鋪設(shè)的水管）．

第17頁共34頁.

方案一：如圖2所示，沿正方形ABCD的三邊鋪設(shè)水管；

方案二：如圖3所示，沿正方形ABCD的兩條對角線鋪設(shè)水管．

(1)請通過計算說明上述兩方案中哪個方案鋪設(shè)水管的總長度更短；

(2)小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂集原理”重新設(shè)計了一個方案（如圖4所示），

滿足AEBCFD120°，AEBECFDF，EF∥AD、請將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰

的方案中鋪設(shè)水管的總長度更短，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：21.4，31.7）

第18頁共34頁.

【變式1】（2022·吉林長春·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊OC、OA分別

在x軸和y軸上，OA5，點D是邊AB上靠近點A的三等分點，將△OAD沿直線OD折疊后得到△OAD，

k

若反比例函數(shù)yk0的圖象經(jīng)過A點，則k的值為（）

x

A．9B．12C．18D．24

【變式2】（2020·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，AEEF，

CF1，則AF的長為（）

A．4B．5C．6D．7

【變式3】（2023·山東濟南·山東大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，點E是正方形ABCD邊BC的中點，AD2，

連接AE，將ABE沿AE翻折，得到△AFE，延長EF，交AD的延長線于點M，交CD于點N．則MN的

長度為______．

第19頁共34頁.

【變式4】（2022·河南鄭州·河南省實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知Rt△ABC中，ABC90，以斜邊

AC為邊向外作正方形ACDE，正方形的對角線交于點O，連接OB．已知BC9，AB6，則OB________．

【變式5】（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為215，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，AF與

DE，DB分別交于點M，N．請你回答下列問題：

(1)求證：AFDE．

(2)直接寫出AM的長．

(3)求DMN的面積．

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核心考點七中點四邊形

例1（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，

DA邊上的中點，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A．四邊形EFGH是矩形

B．四邊形EFGH的內(nèi)角和小于四邊形ABCD的內(nèi)角和

C．四邊形EFGH的周長等于四邊形ABCD的對角線長度之和

1

D．四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD面積的

4

例2（2022·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．給

出以下判斷：

①AC垂直平分BD；

②四邊形ABCD的面積S＝AC?BD；

③順次連接四邊形ABCD的四邊中點得到的四邊形可能是正方形；

④將△ABD沿直線BD對折，點A落在點E處，連接BE并延長交CD于點F，當BF⊥CD時，四邊形ABCD

22

的內(nèi)切圓半徑為．其中正確的是_____．（寫出所有正確判斷的序號）

7

第21頁共34頁.

例3（2018·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1所示，在四邊形ABCD中，點O，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，

CD，AD的中點，連接OE，EF，F(xiàn)G，GO，GE．

（1）證明：四邊形OEFG是平行四邊形；

（2）將△OGE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OMN，如圖2所示，連接GM，EN．

EN

①若OE=3，OG=1，求的值；

GM

②試在四邊形ABCD中添加一個條件，使GM，EN的長在旋轉(zhuǎn)過程中始終相等．（不要求證明）

依次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形

原四邊形對角線互相垂直的中點四邊形是矩形。

原四邊形對角線相等的中點四邊形是菱形。

原四邊形對角線互相垂直且相等的中點四邊形是正方形。

若考慮平行四邊形的中點四邊形，可根據(jù)特殊平行四邊形的判定分別得到(你能證明么)：

矩形的中點四邊形是菱形

菱形的中點四邊形是矩形

正方形的中點四邊形是正方形

第22頁共34頁.

【變式1】（2022·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，點E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，

DA的中點，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說法正確的是（）

A．不一定是平行四邊形B．當AC＝BD時，它為菱形

C．一定是軸對稱圖形D．不一定是中心對稱圖形

【變式2】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，已知點E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、

DA的中點，順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH，我們把四邊形EFGH叫做四邊形ABCD的“中點四

邊形”．若四邊形ABCD是矩形，則矩形ABCD的“中點四邊形”一定是（）

A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形

【變式3】（2022·遼寧沈陽·沈陽市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，ACBD，點E，F(xiàn)，

G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，若AC6，BD8，則四邊形EFGH的面積是______．

【變式4】（2021·江蘇揚州·?？家荒＃┧倪呅蜛BCD中，ACBD，順次連接它的各邊中點所得的四邊形

是________．

第23頁共34頁.

【變式5】（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖1，在四邊形ABCD中，如果對角線AC和BD相交并且相等，

那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．

(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，一定是等角線四邊形（填寫圖形名稱）；

②若M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點，當對角線AC、BD還

要滿足時，四邊形MNPQ是正方形．

(2)如圖2，已知ABC中，ABC90，AB4，BC3，D為平面內(nèi)一點．

①若四邊形ABCD是等角線四邊形，且ADBD，求四邊形ABCD的面積；

②設(shè)點E是以C為圓心，1為半徑的圓上的動點，若四邊形ABED是等角線四邊形，則四邊形ABED的面積

的最大值為．

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核心考點八三角形的中位線

例1（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為3，點E在邊CD上，且CE=1，

∠ABE的平分線交AD于點F，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（）

63

A．B．

22

62

C．23D．

2

例2（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．如圖，已知三角形紙片

ABC，第1次折疊使點B落在BC邊上的點B處，折痕AD交BC于點D；第2次折疊使點A落在點D處，

折痕MN交AB于點P．若BC12，則MPMN_____________．

例3（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中，對角線AC，BD相交于點O，ABAD．

(1)求證：ACBD；

3

(2)若點E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點，連接EF，EF，AO2，求BD的長及四邊形ABCD的周長．

2

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要點一、三角形的中位線

1．定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.

特別說明：

（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形

11

周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.

24

（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.

要點二、中點三角形

定義：中點三角形就是把一個三角形的三邊中點順次連接起來的一個新三角形.

性質(zhì)：

（1）這個新三角形的各個邊長分別是原來三角形三邊長的一半且分別

平行，角的度數(shù)與原三角形分別相等，4個三角形都全等

（2）中點三角形周長是原三角形的周長一半。

（3）中點三角形面積是原三角形面積的四分之一。

補充：中點三角形與原三角形不僅相似，而且位似。

【變式1】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，D、E為邊AB的三等分點，EF∥DG∥AC，

H為AF與DG的交點．若AC6，則DH（）

A．2B．1C．0.5D．1.5

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【變式2】．（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，矩形ABCD中AB3，AD4，點E在邊AD上，AE：ED1:3，

動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到B停止，過點E作EF垂直PE交射線BC于點F，如果M是線段EF的

中點，那么P在運動的過程中，點M運動的路線長為（）

A．5B．5.5C．4D．4.5

【變式3】（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的O與x軸的正半軸交于點

3

A，點B是O上一動點，點C為弦AB的中點，直線yx3與x軸、y軸分別交于點D、E，則CDE面

4

積的最小值為________．

【變式4】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知矩形ABCD中，AB2AD8，點E、F分別是邊AB、CD的中

點，點P為AD邊上動點，過點P作與AB平行的直線交AF于點G，連接PE，點M是PE中點，連接MG，

則MG的最小值＝__________．

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【變式5】（2022·安徽合肥·?？级＃┤鐖D，在ABC中，ACB90，點E是邊AC上的點，過點E作

EFAB于點F．連接BE，點O是BE的中點，CO交AB于點D．

(1)若A30，求COF的度數(shù)；

(2)若AEF≌CBD，

①求證：DFDB；

EF

②求的值．

CD

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【新題速遞】

1．（2023·陜西西安·交大附中分校?？既＃┤鐖D，在正方形ABCD中，點P在對角線BD上，PEBC，

PFCD，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)AP，EF，若AP5，則EF（）

52

A．5B．52C．2.5D．

2

2．（2022·廣東深圳·北大附中深圳南山分校校考一模）如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線AC與BD相交

于點O，AB6，OA4，則AD的長為（）

A．4B．8C．33D．27

3．（2023·黑龍江綏化·校考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB5，BC7，點E是AD上一個動點，

把BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當點A的對應(yīng)點A恰好落在BCD的平分線上時，CA的長為（）

A．3或42B．4或32C．3或4D．32或42

4．（2023·云南昆明·昆明八中校考模擬預(yù)測）如圖，有六根長度相同的木條，小明先用四根木條制作了能夠

活動的菱形學(xué)具，他先將該活動學(xué)具調(diào)成圖1所示菱形，測得B=60，對角線AC10cm，接著將該活動

學(xué)具調(diào)成圖2所示正方形，最后用剩下的兩根木條搭成了如圖3所示的圖形，連接BE，則圖3中BCE的

面積為（）

A．503cm3B．50cm2C．253cm2D．25cm2

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5．（2023·湖南衡陽·衡陽市華新實驗中學(xué)?？家荒＃┫铝忻}中，是真命題的是（）

A．四條邊相等的四邊形是正方形

B．對角線相互垂直的四邊形是平行四邊形

C．對角線相等且相互平分的四邊形是矩形

D．對角線相等且相互垂直的四邊形是菱形

6．（2023·廣東·一模）在菱形ABCD中，M是邊AD的中點，ADCM，若AM2，則CM的長為（）

A．3B．23C．32D．4

7．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，對角線AC，BD相交于點O，

點E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，連接EF，則△AEF的周長為（）

A．6B．7C．8D．9

8．（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB,BC上，點P是DF

的中點，連接AP,EP．若APAD,BEBF，則BEP的度數(shù)為（）

A．60B．65C．75D．80

9．（2022·山東濟南·校考模擬預(yù)測）矩形ABCD中，AB3，AD4，則C到BD的距離為___________．

10．（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C上，

點D落在D￠處，CD交AE于點M．若AB6,BC9，則BF的長為_______

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11．（2021·江蘇常州·常州實驗初中?？级＃┤鐖D，長方形ABCD中，ADBC6，ABCD10．點E