專題13 三角形（6大考點(diǎn)）（解析版）

第四部分三角形

專題13三角形（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一三角形及邊角關(guān)系

核心考點(diǎn)二三角形中的重要線段

核心考點(diǎn)三等腰三角形

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四等邊三角形

核心考點(diǎn)五直角三角形

核心考點(diǎn)六等腰直角三角形

新題速遞

核心考點(diǎn)一三角形及邊角關(guān)系

例1（2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，其中

ACB90，ABC60，EFD90，DEF45，AB//DE，則AFD的度數(shù)是（）

A．15B．30C．45D．60

【答案】A

【分析】設(shè)AB與EF交于點(diǎn)M，根據(jù)AB//DE，得到AMFE45，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出

結(jié)果．

【詳解】解：設(shè)AB與EF交于點(diǎn)M，

∵AB//DE，

∴AMFE45，

∵ACB90，ABC60，

∴A30，

∴AFM1803045105,

第1頁共95頁.

∵EFD90,

∴AFD=15，

故選：A．

．

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記平行線的性質(zhì)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

例2（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）三個(gè)數(shù)3，1a,12a在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個(gè)數(shù)

為邊長能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍為______

【答案】3a2

【分析】根據(jù)三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置得到31a12a，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到1a312a，

求解不等式組即可．

【詳解】解：∵3，1a,12a在數(shù)軸上從左到右依次排列，

∴31a12a，解得a2，

∵這三個(gè)數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，

∴1a312a，解得a3，

綜上所述，a的取值范圍為3a2，

故答案為：3a2．

【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，

完成證明．

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，

已知：如圖，ABC,

第2頁共95頁.

求證：ABC180.

方法一

方法二

證明：如圖，過點(diǎn)A作DE//BC.

證明：如圖，過點(diǎn)C作CD//AB.

【答案】答案見解析

【分析】方法一：依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到BBAD，CEAC，從而可求證三角形的內(nèi)角和

為180．

方法二：由平行線的性質(zhì)得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，從而可求證三角形的內(nèi)角和為180．

【詳解】證明：

方法一：過點(diǎn)A作DE//BC，

則BBAD，CEAC．(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵點(diǎn)D，A，E在同一條直線上，

∴DABBACC180．（平角的定義）

BBACC180．

即三角形的內(nèi)角和為180．

方法二：

如圖，過點(diǎn)C作CD//AB.

第3頁共95頁.

∵CD//AB，

∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，

∴∠B+∠ACB+∠A=180°．

即三角形的內(nèi)角和為180．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵．

三角形是初中階段幾何圖形學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是中考必考內(nèi)容之一；三角形及邊角關(guān)系內(nèi)容比較簡單，

中考中一般會(huì)出在選擇題、填空題，解答題偶有出現(xiàn)，注意以下最基本的三角形邊角關(guān)系：

1.兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

2.2.三角形的內(nèi)角和為180°；

3.3.三角形外角和為360°；

【變式1】（2023·陜西西安·校考二模）如圖，在ABC中，A60,ABC80，BD是ABC的高線，BE

是ABC的角平分線，則DBE的度數(shù)是（）

A．10B．12C．15D．18

【答案】A

【分析】利用角平分線的定義可求出ABE的度數(shù)，在△ABD中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出ABD的

度數(shù)，再結(jié)合DBEABEABD，即可求出DBE的度數(shù)．

【詳解】解：

∵BE是ABC的角平分線，

第4頁共95頁.

11

∴ABECBEABC8040．

22

∵BD是ABC的高，

∴ADB90．

在△ABD中，ADB90,A60，

∴ABD180ADBA180906030，

∴DBEABEABD403010，

∴DBE的度數(shù)為10

故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，牢記三角形內(nèi)角和是180是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，將ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)得到△ABC，D是AB的中點(diǎn)，連接BD，若BC2，ABC60，則線段BD的最大值為（）

A．3B．23C．3D．4

【答案】D

【分析】連接CD，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知CD2，在△BCD中，利用三角形三邊關(guān)

系可得BD的最大值．

【詳解】解：如圖，連接CD，

在Rt△ABC中，ACB90，BC2，ABC60，則A30，

第5頁共95頁.

∴AB2BC4，

由旋轉(zhuǎn)可知，AB4，

∵D是AB的中點(diǎn)，

1

∴CDAB2，

2

在△BCD中，利用三角形三邊關(guān)系可得BDBCCD，（當(dāng)B，C，D三點(diǎn)共線時(shí)取等號）

∴BDBCCD4，

∴BD的最大值為4，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，掌握幾何最值的求解方法是解題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·廣東韶關(guān)·校考二模）如圖，ABC中，C90，AC10，BC8，線段DE的兩個(gè)端

點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上滑動(dòng)，且DE6，若點(diǎn)△M，N分別是DE，AB的中點(diǎn)，則MN的最小值為_________．

【答案】413

11

【分析】根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CNAB41，CMDE3，由當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，

22

MN取最小值，即可求得MN的最小值．

【詳解】解：如圖，連接CM、CN，

ABC中，C90，AC10，BC8，

∴ABAC2BC2241．

∵DE6，點(diǎn)M，N分別是DE，AB的中點(diǎn)，

第6頁共95頁.

11

∴CNAB41，CMDE3．

22

當(dāng)C，M，N三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，MN取最小值，

∴MN的最小值為413

故答案為：413

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，明確C、M、N在

同一直線上時(shí)，MN取最小值是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2023·廣東佛山·校考一模）如圖，在四邊形ABCD中，ABCADC90，E為對角線AC的

中點(diǎn)，連接BE，ED，BD，若∠BAD52，則EBD_____°．

【答案】38

【分析】證明EAEBECDE，可得∠DAE∠EDA，BAEEBA，可得

DEB2DAEBAE104，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案．

【詳解】解：∵ABCADC90，

∴EAEBECDE，

∴∠DAE∠EDA，BAEEBA，

在△AED中，DECDAEADE2DAE，

同理可得到：BEC2BAE，

∴DEBDECBEC2DAEBAE252104，

1

在等腰三角形BED中，EDB18010438；

2

故答案是：38．

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練

的求解DEBDECBEC104是解本題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在ABC和VADE中，ABAC，ADAE，且BACDAE，

且B，D，E在同一直線上，連接EC．

第7頁共95頁.

(1)求證：BDEC．

(2)若ACB55，求BEC的度數(shù)．

【答案】(1)見解析

(2)70

【分析】(1)利用SAS，即可證得△ABD≌△ACE，即可證得結(jié)論；

(2)利用(1)中的結(jié)論可得ADBAEC，則BACDAE70；在等腰VADE中可得

ADEAED55，則ADB125，再由BECAECAED，即可求解．

【詳解】（1）證明：BACDAE，

BACDACDAEDAC，

即BADCAE．

在△ABD和△ACE中，

ABAC

BADCAE，

ADAE

△ABD≌△ACESAS．

BDCE．

（2）解：由(1)知：△ABD≌△ACE，

ADBAEC．

ABAC，

ABCACB55，

BAC1802ABC18011070，

DAEBAC70．

ADAE，

ADEAED55，

第8頁共95頁.

ADB180ADE18055125．

AEC125．

BECAECAED1255570．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．利用全等

三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)二三角形中的重要線段

例1（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，AC22，ACB120，D是邊AB的中點(diǎn)，

E是邊BC上一點(diǎn)，若DE平分ABC的周長，則DE的長為（）

521

A．B．C．2D．3

22

【答案】C

【分析】延長BC至F，使得CFCA，連接AF，構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)題意可得DE是△AFB的中位線，

即可求解．

【詳解】解：如圖，延長BC至F，使得CFCA，連接AF，

ACB120，

FCA60,

又CFCA，

AFC是等邊三角形，

AFAC22，

D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)，DE平分ABC的周長，

ACCEADBEBD，ADBD，

第9頁共95頁.

ACCEBE，

ACCF，

CFCEBE，

即EFEB，

ED是△ABF的中位線，

1

EDFA2．

2

故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形中線的定義，構(gòu)造等邊三角

形是解題的關(guān)鍵．

例2（2021·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB//CD，一塊含有30°角的直角三角尺頂點(diǎn)E位于直

線CD上，EG平分CEF，則1的度數(shù)為_________°．

【答案】60

【分析】根據(jù)角平分線的定義可求出CEG的度數(shù)，即可得到CEF的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)即可解

決問題．

【詳解】一塊含有30°角的直角三角尺頂點(diǎn)E位于直線CD上，

FEG30，

EG平分CEF，

CEGFEG30，

CEFCEGFEG60，

AB//CD，

1CEF60．

故答案為：60．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．

例3（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形．

第10頁共95頁.

例如：如圖①．在ABC和ABC中，AD,AD分別是BC和BC邊上的高線，且ADAD，則ABC和

ABC是等高三角形．

【性質(zhì)探究】

如圖①，用SABC，SABC分別表示ABC和ABC的面積．

11

則S△BCAD,S△BCAD，

ABC2ABC2

∵ADAD

∴S△ABC:S△ABCBC:BC．

【性質(zhì)應(yīng)用】

(1)如圖②，D是ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD3,DC4，則S△ABD:S△ADC__________；

(2)如圖③，在ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE:AB1:2，CD:BC1:3，S△ABC1，則

S△BEC__________，S△CDE_________；

(3)如圖③，在ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)，若BE:AB1:m，CD:BC1:n，SABCa，

則S△CDE__________．

【答案】(1)3:4

11

(2)；

26

a

(3)

mn

【分析】（1）由圖可知△ABD和△ADC是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得到答案；

（2）根據(jù)BE:AB1:2，S△ABC1和等高三角形的性質(zhì)可求得SBEC，然后根據(jù)CD:BC1:3和等高三角形

的性質(zhì)可求得S△CDE；

第11頁共95頁.

（3）根據(jù)BE:AB1:m，SABCa和等高三角形的性質(zhì)可求得SBEC，然后根據(jù)CD:BC1:n，和等高

三角形的性質(zhì)可求得S△CDE．

【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC，

11

則SBDAE，SVDCAE

ABD2ADC2

∵AE=AE，

∴S△ABD:S△ADCBD:DC3:4．

（2）解：∵BEC和ABC是等高三角形，

∴SBEC:S△ABCBE:AB1:2，

111

∴SS△1；

BEC2ABC22

∵CDE和BEC是等高三角形，

∴S△CDE:SBECCD:BC1:3，

1111

∴SS．

CDE3BEC326

（3）解：∵BEC和ABC是等高三角形，

∴SBEC:S△ABCBE:AB1:m，

11a

∴SS△a；

BECmABCmm

∵CDE和BEC是等高三角形，

∴S△CDE:SBECCD:BC1:n，

11aa

∴SS．

CDEnBECnmmn

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形的性質(zhì)并能靈

活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

第12頁共95頁.

三角形中的主要線段包括三角形的高線，中線和角平分線。

三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線畫垂線，從頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫做這個(gè)三角形的高線，簡稱

三角形的高。

在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段叫做這個(gè)三角形的中線。一個(gè)三角形共有三條中線，這

三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心。

三角形中一個(gè)角的角平分線與這個(gè)角的對邊相交，得到頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

【變式1】（2022·吉林長春·?？寄M預(yù)測）如圖，在ABC中，小美同學(xué)按以下步驟作圖：①以點(diǎn)C為圓

1

心，以BC的長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD；②分別以點(diǎn)B，D為圓心，以大于BD的長為半徑

2

畫弧，兩弧交于點(diǎn)E；③作射線CE交BD于點(diǎn)F，連接AF.若ABC的面積為10，則△ACF的面積為（）

A．2.5B．5C．7.5D．8

【答案】B

【分析】證明DFFB，推出SCFDSCFB，SADFSAFB，可得結(jié)論．

【詳解】解：由作圖過程可知，CDCB，且CE平分BCD，

點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，

SCFDSCFB，SADFSAFB，

11

SSSS105．

ACFCDFADF2ABC2

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，

第13頁共95頁.

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．

【變式2】（2022·重慶大渡口·重慶市第三十七中學(xué)校?？级＃┤鐖D，正方形ABCD的對角線AC與BD相

交于點(diǎn)O，ACB的角平分線分別交AB、BD于M、N兩點(diǎn)．若BM22，則線段AC的長為()

．．．．

A424B422C426D42

【答案】A

【分析】過點(diǎn)M做MGAC于G，利用角平分線的性質(zhì)定理，得MG22，然后再利用△ACM的面積

公式求解正方形的邊長，從而得解．

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為x，則AC2x，

過點(diǎn)M做MGAC于G，如圖所示，

CM平分ACB，ABC90，BM22，

MBMG22，

AMx22，

11

SAMBCACMG，

AMC22

11

(x22)x2x22，

22

x422，

2x424，

AC424；

故選：A．

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)與角平分線的性

第14頁共95頁.

質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB2，AD4，點(diǎn)E在△ABD邊上運(yùn)

動(dòng)，設(shè)線段CE的長度為m，則m的取值范圍是______．

45

【答案】?m?25

5

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理先求出AC、BD的長，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，CE的長度最長，當(dāng)

點(diǎn)E在BD上運(yùn)動(dòng)，且CE⊥BD時(shí)，CE最小，分別求出此時(shí)CE的長，即可求出m的取值范圍．

【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴CD=AB=2，BC=AD=4，ABCACBADCBAD90，

ACBD224225，

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，CE的長度最長，此時(shí)CEAC25，

即m的最大值為25；

當(dāng)點(diǎn)E在BD上運(yùn)動(dòng)，且CE⊥BD時(shí)，CE最小，

11

∵SBCCDBDCE，

BCD22

BCCD4245

∴CE，

BD255

45

即m的最小值為，

5

45

綜上分析可知，m的取值范圍是m25．

5

45

故答案為：m25．

5

第15頁共95頁.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計(jì)算，根據(jù)題意找出CE取最大值和最小值

時(shí)，點(diǎn)E所處的位置，是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)?？既＃┰赗t△ABC中，BAC90，D是BC的中點(diǎn)，E

是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長線于點(diǎn)F，若AB8，四邊形ADBF的面積為40．則

AC______．

【答案】10

【分析】由E是AD的中點(diǎn)及AF∥BC，可證明△ADE≌△DCE，則可得AF=CD，再由D是BC的中點(diǎn)，

可得四邊形ADBF是平行四邊形，則可得△ABF與△ABD的面積相等，再由三角形中線平分三角形面積，

易得△ABC面積等于四邊形ADBF的面積，則由三角形面積公式即可求得AC的長．

【詳解】∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，

∵AF∥BC，

∴∠FAE=∠CDE

∵∠AEF=∠DEC，

∴△ADE≌△DCE(ASA)，

∴AF=CD．

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴AD是Rt△ABC斜邊BC上的中線，

1

∴BD=CD=AD，SS，

ABD2ABC

∴AF=BD，

∵AF∥BC，

第16頁共95頁.

∴四邊形ADBF是平行四邊形，

∴AD=BF，

∵AB=AB，AF=BD，

∴△ABF≌△ABD(SSS)，

1

∴S△S△=S四邊形20．

ABFABD2ADBF

∴S△ABC2S△ABD40，

1

即ABAC40，

2

1

∴8AC40，

2

∴AC=10．

故答案為：10．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)

等知識(shí)，判定四邊形ADBF是平行四邊形，進(jìn)而得到它的面積等于△ABC的面積是解題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·浙江杭州·翠苑中學(xué)?？级＃┰趫D1，圖2，圖3中，AF，BE是ABC的中線，AF⊥BE，

垂足為P．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．

(1)①如圖1，當(dāng)ABE=45，c22時(shí)，a，b．

②如圖2，當(dāng)ABE30，c8時(shí)，a，b．

(2)觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明．

【答案】(1)①25，25；②413；47

(2)a2b2＝5c2，見解析

【分析】（1）先判斷ABP是等腰直角三角形，再得到△EFP也是等腰直角三角形，最后計(jì)算即可；

第17頁共95頁.

（2）先設(shè)APm，BPn，表示出線段PE，PF，最后利用勾股定理即可．

【詳解】（1）

①如圖1，連接EF，則EF是ABC的中位線，

ABE＝45，AEEF，

ABP是等腰直角三角形，

EF∥AB,

EFP也是等腰直角三角形，

APBP2，EPFP1，

AEBF5，

aBC2BF25，bAC2AE25；

故答案為：25，25；

②如圖2，

連接EF，則EF是ABC的中位線．

ABE30，AEBF，AB8，

AP4，BP3，AP43，

第18頁共95頁.

1

PFEF2,PE323，

2

AE27,BF213，

BCa2BF413,bAC2AE47；

故答案為：413，47．

（2）a2b25c2，理由如下：

如圖3，連接EF，則EF是ABC的中位線．

1

∴EF∥AB,EFAB，

2

∴ABP∽FEP，

APBP

∴2，

FPEP

設(shè)APm，BPn，

則c2AB2m2n2，

1111

PEBPn,PFAPm，

2222

11

AE2AP2PE2m2n2，BF2＝PF2BP2m2n2，

44

b2＝AC2＝4AE2＝4m2n2，a2＝BC2＝4BF2＝4n2m2，

a2b2＝5m2n2＝5c2．

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定

理等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理和勾股定理是解本題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)三等腰三角形

第19頁共95頁.

例1（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將ABC繞A

點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B△′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝△∠ACC′，

正確的有（）△

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角

的度數(shù)為50°，通過推理證明對①②③④四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：①∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到AB′C′，

∴BC＝B′C′．故①正確；△

②∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，

∴∠BAB′＝50°．

∵∠CAB＝20°，

∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．

∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，

∴∠AB′C′＝∠B′AC．

∴AC∥C′B′．故②正確；

③在BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，

1

∴∠A△B′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．

2

∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．

∴CB′與BB′不垂直．故③不正確；

④在ACC′中，

AC＝△AC′，∠CAC′＝50°，

1

∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．

2

∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正確．

第20頁共95頁.

∴①②④這三個(gè)結(jié)論正確．

故選：B．

【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，還考查

了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例2（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在RtABC中，ACB90，ACBC3，D為AB邊上一點(diǎn)，

且BDBC，連接CD，以點(diǎn)D為圓心，DC的長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E（異于點(diǎn)C），連接DE，則BE

的長為___________．

【答案】323##332

【分析】過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)題意得出DCDE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出CFEF，根據(jù)

BFBD

ACB90，ACBC3，得出AB32，設(shè)CFx，則BF=3-x，證明DF∥AC，得出，

CFAD

列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，即可得出BE323．

【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，如圖所示：

根據(jù)作圖可知，DCDE，

∵DF⊥BC，

∴CFEF，

∵ACB90，ACBC3，

∴ABAC2BC2323232，

∵BDBC3，

∴AD323，

設(shè)CFx，則BF=3-x，

第21頁共95頁.

∵ACB90，

∴ACBC，

∵DFBC，

∴DF∥AC，

BFBD

∴，

CFAD

3x3

即，

x323

632

解得：x，

2

632

∴CE2x2632，

2

∴BE3CE3632323．

故答案為：323．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，平行線分線段成比例定理，平行線的判定，

作出輔助線，根據(jù)題意求出CF的長，是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖1，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分

別是邊AC，BC上的點(diǎn)，以CM，CN為鄰邊作矩△形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設(shè)CM=a，CN=b，若ab=8．

(1)判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；

(2)①當(dāng)a=b時(shí)，求∠ECF的度數(shù)；

②當(dāng)a≠b時(shí)，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．

【答案】(1)直角三角形，理由見解析

(2)①45°；②成立，理由見解析

【分析】（1）分別表示出AE，BF及EF，計(jì)算出AE2+BF2及EF2，從而得出結(jié)論；

（2）①連接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，從而得出ME=EG=GF=NF，進(jìn)而得出CE平分

第22頁共95頁.

∠PCF，CF平分∠BCP，從而得出結(jié)果；

②將BCF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ACD，連接DE，可推出DE=EF，進(jìn)而推出DCF≌△FCE，進(jìn)一步得出結(jié)

果．△△△

（1）解：線段AE，EF，BF組成的是直角三角形，理由如下：∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，∴AE=2AM=2

(4?a)，BE=2(4?b)，∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），2AC=42，∴EF=AB-AE-BF=2

[4-（4-a）-（4-b）]，∵ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），∴AE2+BF2=EF2，

∴線段AE，EF，BF組成的是直角三角形；

（2）解：①如圖1，連接PC交EF于G，∵a=b，∴ME=AM=BN=NF，∵四邊

形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PEG=90°，∵CM=CN=PM=PN，

∴PE=PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，∴PE=AE=PF=BF，

1

∴ME=EG=FG=FN，∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；

2

②如圖2，仍然成立，理由如下：將△BCF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACD，連接DE，

∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，∵EF2=BF2+AE2，

11

∴DE=EF，∵CD=CF，CE=CE，∴△DCF≌△FCE（SSS），∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°．

22

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，正方形判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和

性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．

第23頁共95頁.

知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)

1、等腰三角形

（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫

做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。

（2）性質(zhì)

①兩腰相等

②兩底角相等（簡稱等邊對等角）

③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”）

④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。

證明題目中的寫法：

①已知高線：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD

②已知中線：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

③已知角平分線：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD

（3）等腰三角形的構(gòu)造

（1）“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形

①如下左圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OA，則△OCD是等腰三角形

②如下右圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OB，則△OCD是等腰三角形

（2）“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形

如下左圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC，得出等腰三角形

（3）“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形

如下中圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，D是BC中點(diǎn)，則△ABC是等腰三角形

（4）“中點(diǎn)+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示

第24頁共95頁.

(5)“平行+等腰”構(gòu)造等腰三角形

已知等腰△ABC，過腰或底上作腰或底的平行線

知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱“等角對等邊”）

總結(jié)：

第25頁共95頁.

【變式1】（2022·江蘇南京·南京大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，銳角三角形ABC中，直線l為BC的

中垂線，直線m為ABC的角平分線，l與m相交于P點(diǎn)．若A60，DACP=24°，則ABP的度數(shù)是

（）

A．24B．30C．32D．36

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線定義求出ABPCBP，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出BPCP，求出

CBPBCP，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程3ABP2460180，求出方程的解即可．

【詳解】解：BP平分ABC，

ABPCBP，

直線l是線段BC的垂直平分線，

BPCP，

CBPBCP，

ABPCBPBCP，

AACBABC180，A60，ACP24，

3ABP2460180，

解得：ABP32，故C正確．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，能

求出ABPCBPBCP是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

【變式2】（2022·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，BC2，BAC30，斜邊AB的兩個(gè)端

點(diǎn)分別在相互垂直的射線OM和ON上滑動(dòng)，給定下列命題，其中正確命題的序號是（）．

第26頁共95頁.

①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，則OA23；

②C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；

③若AB平分CO，則ABCO；

3

④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長為．

2

A．①③④B．②③④C．①④D．①②

【答案】D

【分析】①先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)和勾股定理分別求AB和AC，由對稱的性質(zhì)可知：AB是OC的垂

直平分線，所以O(shè)AAC；②由OCOECE4，當(dāng)OC經(jīng)過AB的中點(diǎn)E時(shí)，OC最大，則C、O兩點(diǎn)

距離的最大值為4；③如圖2，當(dāng)ABO30時(shí)，易證四邊形OACB是矩形，此時(shí)AB與OC互相平分，但

所夾銳角為60°，明顯不垂直，④如圖3，半徑為2，圓心角為90°的扇形的圓弧是點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑，根據(jù)

弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】在Rt△ABC中，BC2，BAC30，

∴AB4，AC422223．

①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，如圖1，

∴AB是OC的垂直平分線，則OAAC23；

所以①正確；

②如圖1，取AB的中點(diǎn)為E，連接OE、CE，

∵AOBACB90，

1

∴OECEAB2．

2

∵OCOECE4，

∴當(dāng)OC經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，OC最大，且C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；

所以②正確；

③如圖2，當(dāng)ABO30時(shí)，OBCAOBACB90，

第27頁共95頁.

∴四邊形OACB是矩形，

∴AB與OC互相平分，但AB與OC的夾銳角為60°，不垂直；

所以③不正確；

1

④如圖3，斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的，

4

902

則其弧長為：．

180

所以④不正確；

綜上所述，本題正確的有：①②；

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了含30°角直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三

角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑問題、弧長公式，熟練掌握直角三角

形斜邊中線等于斜邊一半是本題的關(guān)鍵，確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑是本題的難點(diǎn)．

【變式3】（2023·山東濟(jì)南·山東大學(xué)附屬中學(xué)校考一模）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊BC的中點(diǎn)，AD2，

連接AE，將ABE沿AE翻折，得到△AFE，延長EF，交AD的延長線于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．則MN的

長度為______．

5

【答案】

6

第28頁共95頁.

15

【分析】連接AN，過點(diǎn)M作MHAE于點(diǎn)H，求出AEAB2BE25，得出AHEHAE，

22

5

證明AHM∽EBA，求出AM，再證明DNM∽CNE，求出結(jié)果即可．

2

【詳解】解：連接AN，過點(diǎn)M作MHAE于點(diǎn)H，如圖所示：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴ABBCCDAD2，BCADCBAD90，

AD∥BC，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BECE1，

根據(jù)折疊可知，AFAB2，EFBE1，AFEB90，AEFAEB，

∴AEAB2BE25，

∵AD∥BC，

∴EAMAEB，

∴AEFEAM，

∴AMEM，

∵M(jìn)HAE，

15

∴AHEHAE，

22

∵AHMB90，EAMAEB，

∴AHM∽EBA，

AMAH

∴，

AEBE

5

即AM，

2

51

第29頁共95頁.

5

解得：AM，

2

15

∴DMAMAD，MEAM，

22

∵M(jìn)DNC90，DNMCNE，

∴DNM∽CNE，

DMMN

∴，

ECEN

1

MN

即2，

5

1MN

2

5

解得：MN．

6

5

故答案為：．

6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，

AMAH5

折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明，求出AM．

AEBE2

【變式4】（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，?ABCD中，ABAD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，

連接CE、DE，且BCCE，若BCE40，則ADE______．

【答案】15##15度

1

【分析】首先證明四邊形ABCD是菱形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CEBB1804070，

2

利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．

【詳解】解：在?ABCD中，

ABAD，

四邊形ABCD是菱形，

ABADBCCD，AB//CD，

BCCE，

第30頁共95頁.

CDCE，

CEDCDE，

BCE40，

1

CEBB1804070，

2

ADCB70，

ECDBEC70，

1

CDECED1807055，

2

ADE705515．

故答案為：15．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握

菱形的判定與性質(zhì)．

【變式5】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在YABCD中，BAD，ADC的平分線AF，DE分別與線

段BC交于點(diǎn)F，E，AF與DE交于點(diǎn)G．

(1)求證：AFDE，BFCE．

(2)若AD10，AB6，AF8，求DE的長度．

【答案】(1)見解析

(2)45

【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BADADC180，再由角平分線的定義證明

11

DAFADEBADADC90，得到AGD90，即可證明AFDE；再根據(jù)平行線的性質(zhì)和

22

角平分線的定義證明BAFAFB，得到ABBF，同理可得CDCE，則BFCE；

（2）過點(diǎn)C作CK∥AF交AD于K，交DE于點(diǎn)I，證明四邊形AFCK是平行四邊形，KID90，得到

第31頁共95頁.

AFCK8，再證明DKIDCI，得到DKDC6，則KICI4，同理證明CECD，得到EIDI，

求出DI25，則DE2DI45．

【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ABDC，

∴BADADC180．

∵AE，DF分別是BAD，ADC的平分線，

11

∴DAFBAFBAD，ADECDEADC．

22

1