專題04 方程（組）及其應(yīng)用（8大考點(diǎn)）（解析版）

第二部分方程（組）與不等式（組）

專題04方程（組）及其應(yīng)用（8大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)

核心考點(diǎn)二一元一次方程的解法及其應(yīng)用

核心考點(diǎn)三二元一次方程組的解法及其應(yīng)用

核心考點(diǎn)四分式方程的解法及其應(yīng)用

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)五一元二次方程及其解法

核心考點(diǎn)六一元二次方程根的判別式

核心考點(diǎn)七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

核心考點(diǎn)八一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

新題速遞

核心考點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)

例1（2022·青海·中考真題）下列說(shuō)法中，正確的是（）

A．若acbc，則abB．若a2b2，則ab

ab1

C．若，則abD．若x6，則x2

cc3

【答案】C

【分析】直接利用等式的基本性質(zhì)以及結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)分析得出答案．

【詳解】解：A、若ac=bc，當(dāng)c≠0，則a=b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、若a2b2，則ab，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ab

C、若，則ab，故此選項(xiàng)正確；

cc

1

D、若x6，則x18，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，正確把握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

41

例2（2021·安徽·中考真題）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且bac，則下列結(jié)論正確的是（）

55

A．a(chǎn)bcB．cbaC．a(chǎn)b4(bc)D．a(chǎn)c5(ab)

【答案】D

第1頁(yè)共75頁(yè).

【分析】舉反例可判斷A和B，將式子整理可判斷C和D．

41

【詳解】解：A．當(dāng)a5，c10，bac6時(shí)，cba，故A錯(cuò)誤；

55

41

B．當(dāng)a10，c5，bac9時(shí)，abc，故B錯(cuò)誤；

55

14

C．a(chǎn)b4(bc)整理可得bac，故C錯(cuò)誤；

55

41

D．a(chǎn)c5(ab)整理可得bac，故D正確；

55

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·福建·中考真題）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．

例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：

設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令xm，

等式兩邊都乘以x，得x2mx．①

等式兩邊都減m2，得x2m2mxm2．②

等式兩邊分別分解因式，得xmxmmxm．③

等式兩邊都除以xm，得xmm．④

等式兩邊都減m，得x＝0.⑤

所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.

以上推理過(guò)程中，開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．

【答案】④

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2即可得到結(jié)論．

【詳解】等式的性質(zhì)2為：等式兩邊同乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式不變，

∴第④步等式兩邊都除以xm，得xmm，前提必須為xm0，因此錯(cuò)誤；

故答案為：④．

【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

第2頁(yè)共75頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)、等式的基本性質(zhì)（注意:等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)）

基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),所得結(jié)果仍是等式.

基本性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為零的數(shù)),所得結(jié)果仍是等式.

性質(zhì)3：如果ab，那么ba（對(duì)稱性）

性質(zhì)4：如果ab，bc，那么ac（傳遞性）

112

【變式1】（2022·安徽·合肥市五十中學(xué)西校三模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足ac2b，．則下列結(jié)

acb

論正確的是（）

A．若ab0，則cb0B．若ac1，則b1

C．a(chǎn)，b，c不可能同時(shí)相等D．若a2，則b28c

【答案】B

11112

【分析】A.根據(jù)a＞b＞0，則＜，根據(jù)，得出c＜b；

abacb

112

B.根據(jù)，得出2acbac，把a(bǔ)c2b代入得：b2ac1，即可得出答案；

acb

112

C.當(dāng)abc時(shí)，可以使ac2b，，即可判斷出答案；

acb

D.根據(jù)解析B可知，b2ac2c，即可判斷．

【詳解】A.∵a＞b＞0，

11

∴＜，

ab

112

∵，

acb

11

∴＞，

cb

∴c＜b，故A錯(cuò)誤；

112ac2

B.∵，即，

acbacb

∴2acbac，

把a(bǔ)c2b代入得：2ac2b2，

b2ac1，

第3頁(yè)共75頁(yè).

解得：b1，故B正確；

112

C.當(dāng)abc時(shí)，可以使ac2b，，

acb

∴a，b，c可能同時(shí)相等，故C錯(cuò)誤；

D.根據(jù)解析B可知，b2ac，把a(bǔ)2代入得：b22c，故D錯(cuò)誤．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)，等式基本性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和

等式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．

abcabc

【變式2】（2022·安徽蕪湖·二模）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足abc0,a,c，則下

22

列結(jié)論不成立的是（）

A．b0B．c=0C．a(chǎn)bD．a(chǎn)b

【答案】A

【分析】將等式整理得abc①，cab②，①+②可求c=0值，進(jìn)而可判斷B的正誤，將c代入①式

得ab，可判斷C的正誤，由abc0，c=0，ab，計(jì)算求解可判斷A，D的正誤．

abcabc

【詳解】解：∵a，c

22

∴abc①，cab②

①+②得cc，即2c0

解得c=0

∴B正確，故不符合題意；

將c=0代入①式得ab

∴C正確，故不符合題意；

∵abc0

∴ab0

∴ab，2b0

∴b0

∴D正確，故不符合題意；A錯(cuò)誤，故符合題意；

故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)等式性質(zhì)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．

第4頁(yè)共75頁(yè).

x2xy

【變式3】（2022·貴州黔西·二模）已知，則______.

y3y

5

【答案】

3

x222xy

【分析】根據(jù)可得到xy，將xy代入求解即可得到答案．

y333y

x2

【詳解】解：，

y3

2

xy，

3

2xy

將xy代入得

3y

25

yyy

xy5，

33

yyy3

5

故答案為：．

3

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，根據(jù)條件用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)代入求值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

【變式4】（2021·江蘇·正衡中學(xué)一模）設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足abc3，a2b2c24，則

a2b2b2c2a2c2

=_______．

2c2a2b

【答案】3

4c24a24b2

【分析】將a2b2c24變形，分別代入原式的分子中，得到，化為最簡(jiǎn)后，代入

2c2a2b

abc3即可.

【詳解】解：∵abc3，a2b2c24，

a2b2b2c2a2c24c24a24b22c2c2a2a2b2b

∴===2-c+2-a+2

2c2a2b2c2a2b2c2a2b

-b=6-abc=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式中的條件求值，需注意觀察條件與結(jié)論區(qū)別與聯(lián)系，整體代入是解題的關(guān)鍵.

bccaab

【變式5】（2022·江西·石城縣教育局教研室二模）已知abc0，且0，求證：

abc

bcbccacaabab

0．

b2c2c2a2a2b2

【答案】見(jiàn)解析

bccaab

【分析】將abc0和0兩邊都同時(shí)乘abc，整理，再相加，最后再除a2b2c2，即可

abc

證明．

第5頁(yè)共75頁(yè).

【詳解】解：abc0①，

bccaab

0②，

abc

將①，②兩邊同時(shí)乘abc，得a2bcb2acc2ab0③，

bc(bc)ac(ca)ab(ab)0，

整理，得：a2(bc)b2(ca)c2(ab)0④

③+④，得：a2bcb2acc2aba2(bc)b2(ca)c2(ab)0，

整理，得：a2(bcbc)b2(acca)c2(abab)0⑤．

由題意可知abc都不為0，

∴可將⑤兩邊同時(shí)除a2b2c2，

bcbccacaabab

得：0．

b2c2c2a2a2b2

【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，整式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，分式有意義的條件．熟練掌握等式的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)二一元一次方程的解法及其應(yīng)用

x1x2

例1（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程1的步驟如下：

23

解：方程兩邊同乘6，得3x112x2①

去括號(hào)，得3x312x2②

移項(xiàng)，得3x2x231③

合并同類項(xiàng)，得x4④

以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（）

A．①B．②C．③D．④

【答案】A

【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進(jìn)行檢查，即可得出答案．

【詳解】解：方程兩邊同乘6，得3x162x2①

∴開(kāi)始出錯(cuò)的一步是①，

第6頁(yè)共75頁(yè).

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項(xiàng)是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵．

例2（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）某商品的進(jìn)價(jià)為每件10元，若按標(biāo)價(jià)打八折售出后，每件可獲利2

元，則該商品的標(biāo)價(jià)為每件______元．

【答案】15

【分析】設(shè)該商品的標(biāo)價(jià)為每件x元，根據(jù)八折出售可獲利2元，可得出方程：80%x-10=2，再解答即可．

【詳解】解：設(shè)該商品的標(biāo)價(jià)為每件x元，

由題意得：80%x-10=2，

解得：x=15．

所以該商品的標(biāo)價(jià)為每件15元．

故答案為：15．

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是仔細(xì)審題，得出等量關(guān)系，列出方程，難度一般．

例3（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）某地交警在一個(gè)路口對(duì)某個(gè)時(shí)段來(lái)往的車輛的車速進(jìn)行監(jiān)測(cè)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

如下表：

車速（km/h）404142434445

頻數(shù)6815a32

其中車速為40、43（單位：km/h）的車輛數(shù)分別占監(jiān)測(cè)的車輛總數(shù)的12%、32%．

(1)求出表格中a的值；

(2)如果一輛汽車行駛的車速不超過(guò)40km/h的10%，就認(rèn)定這輛車是安全行駛．若一年內(nèi)在該時(shí)段通過(guò)此路

口的車輛有20000輛，試估計(jì)其中安全行駛的車輛數(shù)．

【答案】(1)16

(2)19200輛

【分析】（1）由車速的占比求得總的車輛數(shù)，然后相乘可得

（2）先計(jì)算安全行駛的占比，再用該占比估算即可

（1）

6

方法一：由題意得50，

12%

第7頁(yè)共75頁(yè).

a5032%16；

6a

方法二：由題意得，

12%32%

解得：a16；

（2）

由題意知，安全行駛速度小于等于40110%44km/h．

50248

因?yàn)樵摃r(shí)段監(jiān)測(cè)車輛樣本中安全行駛的車輛占總監(jiān)測(cè)車輛的占比為，

5050

48

所以估計(jì)其中安全行駛的車輛數(shù)約為：2000019200（輛）

50

【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)的計(jì)算，掌握頻率的計(jì)算公式是解題關(guān)鍵，頻率=頻數(shù)÷總數(shù)．本題的占比就是頻

率．

知識(shí)點(diǎn)一、一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有1個(gè)未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式，這

樣的方程叫做一元一次方程。任何一個(gè)一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常數(shù)，且a≠0）的形式。

溫馨提示

形如axb0(其中a，b為常數(shù)，且a0)的方程為一元一次方程，判斷時(shí)應(yīng)抓住以下兩點(diǎn)：

(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1。

若未知數(shù)的系數(shù)有分母，則要去分母。注

去分母意要在方程的兩邊都乘以各分母的最小公

倍數(shù)。

若方程含有括號(hào)，則先去小括號(hào)，再去中

括號(hào)，最后去大括號(hào)。若去括號(hào)時(shí)括號(hào)前

去括號(hào)

是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)均

要。

把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等式的一邊，其他

移項(xiàng)

項(xiàng)移到另一邊。一般把含的項(xiàng)移到

第8頁(yè)共75頁(yè).

等式左邊。移項(xiàng)要改變符號(hào)。

合并同類項(xiàng)把方程化成axb（a0）的形式。

方程兩邊同未知數(shù)的系數(shù)，得到方

系數(shù)化為1

程的解。

知識(shí)點(diǎn)二、一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用

1、列一次方程(組)解應(yīng)用題的步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清題中的等量關(guān)系；

設(shè)：設(shè)關(guān)鍵未知數(shù)；

列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)；

解：解方程(組)；

驗(yàn)：檢驗(yàn)所解答案是否符合題意；

答：規(guī)范作答，注意單位名稱。

2、常見(jiàn)的關(guān)系式

基本關(guān)系式:路程=速度×?xí)r間.

相遇問(wèn)題:甲走的路程+乙走的路程=總路程.

行程問(wèn)題

追及問(wèn)題:同地不同時(shí)出發(fā):前者走的路程=后者走的路程;同時(shí)不同地出發(fā):慢者走的路程+兩地間距離=快者走的

路程.

儲(chǔ)蓄問(wèn)題本金×利率×期數(shù)=利息,本金+利息=本息和.

利潤(rùn)

銷售問(wèn)題總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量,利潤(rùn)率=×100%,利潤(rùn)=售價(jià)-成本(或進(jìn)價(jià))=利潤(rùn)率×成本.

成本

分配問(wèn)題總量=甲的數(shù)量+乙的數(shù)量,總金額=甲的金額+乙的金額.

工程問(wèn)題工作總量=工作效率×工作時(shí)間,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增長(zhǎng)率問(wèn)

已知基礎(chǔ)量為a,增長(zhǎng)后為b,若設(shè)增長(zhǎng)率為x,則可得a(1+x)=b.

題

數(shù)字問(wèn)題十位a，個(gè)位b，表示為10a+b；百位a，十位b，個(gè)位c，表示為100a+10b+c

第9頁(yè)共75頁(yè).

【變式1】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)二模）在風(fēng)凰山教育共同體數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)中，為展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，M

老師組織了一個(gè)數(shù)學(xué)沉浸式互動(dòng)游戲：隨機(jī)請(qǐng)A，B，C，D，E五位同學(xué)依次圍成一個(gè)圓圈，每個(gè)人心里先

想好一個(gè)實(shí)數(shù)，并把這個(gè)數(shù)悄悄的告訴相鄰的兩個(gè)人，然后每個(gè)人把與自己相鄰的兩個(gè)人告訴自己的數(shù)的

平均數(shù)報(bào)出來(lái)．若A，B，C，D，E五位同學(xué)報(bào)出來(lái)的數(shù)恰好分別是1，2，3，4，5，則D同學(xué)心里想的那

個(gè)數(shù)是（）

A．3B．4C．5D．9

【答案】D

【分析】設(shè)報(bào)D的人心里想的數(shù)是x，則再分別表示報(bào)A，C，E，B的人心里想的數(shù)，最后通過(guò)平均數(shù)列

出方程，解方程即可．

【詳解】解：設(shè)D同學(xué)心里想的那個(gè)數(shù)是x，報(bào)A的人心里想的數(shù)是10-x，報(bào)C的人心里想的數(shù)是x-6，報(bào)

E的人心里想的數(shù)是14-x，報(bào)B的人心里想的數(shù)是x-12，

所以有x-12+x=2×3，

解得：x=9．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有平均數(shù)的相關(guān)計(jì)算及方程思想的運(yùn)用，把題中的等量關(guān)系全部展示出來(lái)，再

結(jié)合題意進(jìn)行整合，問(wèn)題即可解決．

【變式2】（2022·浙江金華·二模）一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在線段AB上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別

是－8，6，現(xiàn)以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對(duì)折，若點(diǎn)A'落在射線CB上，并且A'B=4，則C點(diǎn)表示的數(shù)是（）

A．1B．－1C．1或－2D．1或－3

【答案】D

【分析】設(shè)出點(diǎn)C所表示的數(shù)，根據(jù)點(diǎn)A、B所表示的數(shù)，表示出AC的距離，在根據(jù)A′B=4，表示出A′C，

第10頁(yè)共75頁(yè).

由折疊得，AC=A′C，列方程即可求解．

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)為x，AC=x-（-8）=x+8，

∵A′B=4，B點(diǎn)所表示的數(shù)為6，

∴A′表示的數(shù)為4+6=10或6-4=2，

∴AA′=10-（-8）=18，或AA′=2-（-8）=10，

1

根據(jù)折疊得，AC=AA′，

2

11

∴x+8=×18或x+8=×10，

22

解得：x=1或-3，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸表示數(shù)的意義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，點(diǎn)A、B在數(shù)

軸上表示的數(shù)分別為a、b，則AB=|a-b|．

【變式3】（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B、C，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是﹣16、9，現(xiàn)以

點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對(duì)折，若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A落在點(diǎn)B的右邊，并且AB3，則C點(diǎn)表示的數(shù)是______．

【答案】2

【分析】設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)為x，則AC＝x+16，BC＝9﹣x，根據(jù)AC＝A′C，列出關(guān)于x的方程，解出方程

即可．

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)為x，則AC＝x+16，BC＝9﹣x，

∵A′B＝3，B點(diǎn)表示的數(shù)為9，

∴點(diǎn)A′表示的數(shù)為9+3＝12，

根據(jù)折疊得，AC＝A′C

∴x+16＝12﹣x，

解得，x＝﹣2，

故答案為：﹣2．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，能用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)正確地表示出兩點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)

鍵．

【變式4】（2022·北京四中模擬預(yù)測(cè)）“格子乘法”作為兩個(gè)數(shù)相乘的一種計(jì)算方法，最早在15世紀(jì)由意大

第11頁(yè)共75頁(yè).

利數(shù)學(xué)家帕喬利提出，在明代數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》一書(shū)中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計(jì)算

4671，將乘數(shù)46寫(xiě)在方格上邊，乘數(shù)71寫(xiě)在方格右邊，然后用乘數(shù)46的每位數(shù)字乘以乘數(shù)71的每位

數(shù)字，將結(jié)果記入相應(yīng)的方格中，最后沿斜線方向相加，得3266．如圖2，用“格子乘法”計(jì)算兩個(gè)兩位數(shù)相

乘，則k______．

【答案】6

【分析】根據(jù)“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．

【詳解】解：根據(jù)題意可得

10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k

解得k=6

故答案為：6．

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)“格子乘法”分析圖示，列出方程是關(guān)鍵．

【變式5】（2022·遼寧朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)小王在兩個(gè)超市看到的商品促銷信息解決下列問(wèn)題：

甲超市促銷信息欄乙超市促銷信息欄

不超過(guò)300元不優(yōu)惠；

全場(chǎng)8.5折超過(guò)300元而不超過(guò)500元，打9折；

超過(guò)500元，500元部分優(yōu)惠10%，超過(guò)500元部分打8折．

(1)當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額是400元時(shí)，甲、乙兩超市實(shí)付款分別是多少？

(2)當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額是多少時(shí)，甲、乙兩超市實(shí)付款一樣？

第12頁(yè)共75頁(yè).

【答案】(1)甲超市實(shí)付款340元，乙超市實(shí)付款360元；

(2)當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額為1000元時(shí)，甲、乙兩超市實(shí)付款一樣．

【分析】（1）根據(jù)兩家超市的優(yōu)惠方案，可知當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額是400元時(shí)，甲超市實(shí)付款=購(gòu)物標(biāo)價(jià)

0.85，乙超市實(shí)付款4000.9，分別計(jì)算即可；

（2）設(shè)當(dāng)標(biāo)價(jià)總額是x元時(shí)，甲、乙超市實(shí)付款一樣．根據(jù)甲超市實(shí)付款=乙超市實(shí)付款列出方程，求解

即可．

【詳解】（1）當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額是400元時(shí)，

甲超市實(shí)付款為4000.85340（元），

乙超市實(shí)付款為4000.9360（元），

答：甲超市實(shí)付款340元，乙超市實(shí)付款360元；

（2）由題意可知：當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額不超過(guò)500元時(shí)，

乙超市實(shí)付款一定比甲超市多，

設(shè)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額為x元時(shí)，甲、乙兩超市實(shí)付款一樣，

由題意可得：0.85x500（110%）（x500）0.8，

解得：x1000，

答：當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額為1000元時(shí)，甲、乙兩超市實(shí)付款一樣．

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解兩家超市的優(yōu)惠方案，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)三二元一次方程的解法及其應(yīng)用

例1（2022·湖北武漢·中考真題）幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方——

九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例

如圖（1）就是一個(gè)幻方．圖（2）是一個(gè)未完成的幻方，則x與y的和是（）

第13頁(yè)共75頁(yè).

A．9B．10C．11D．12

【答案】D

【分析】根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，然后列出等式化簡(jiǎn)求值即可．

【詳解】解：設(shè)如圖表所示：

根據(jù)題意可得：x+6+20=22+z+y，

整理得：x-y=-4+z，

x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，

整理得：x=-2+z，y=2z-22，

∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，

解得：z=12，

∴x+y

=3z-24

=12

故選：D．

【點(diǎn)睛】題目主要考查方程的應(yīng)用及有理數(shù)加法的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)方程等式然后化簡(jiǎn)求值是解

題關(guān)鍵．

第14頁(yè)共75頁(yè).

1016

例2（2020·甘肅天水·中考真題）已知a2b，3a4b，則ab的值為_(kāi)________．

33

【答案】1

【分析】觀察已知條件可得兩式中a與b的系數(shù)的差相等，因此把兩式相減即可得解．

1016

【詳解】解：a2b①，3a4b②，

33

②-①得，2a+2b=2，

解得：a+b=1,

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】此題主顧考查了二元一次方程組的特殊解法，觀察條件的結(jié)構(gòu)特征得出2a+2b=2是解答此題的關(guān)

鍵．

例3（2022·貴州黔西·中考真題）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風(fēng)光”景區(qū)今年計(jì)劃改造一片綠化地，種植A、B

兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費(fèi)用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植

費(fèi)用為300元．

(1)每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費(fèi)用各是多少元？

(2)若該景區(qū)今年計(jì)劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和

90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補(bǔ)上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，應(yīng)如何

安排這兩種花卉的種植數(shù)量，才能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．

【答案】(1)每盆A種花卉種植費(fèi)用為30元，每盆B種花卉種植費(fèi)用為60元

(2)種植A、B兩種花卉各200盆，能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為18000元

【分析】（1）設(shè)每盆A種花卉種植費(fèi)用為x元，每盆B種花卉種植費(fèi)用為y元，根據(jù)“3盆A種花卉和4盆

B種花卉的種植費(fèi)用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費(fèi)用為300元”列二元一次方程組，解

方程組即可求解；

（2）設(shè)種植A種花卉的數(shù)量為m盆，種植兩種花卉的總費(fèi)用為w元，根據(jù)“兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不

多于80盆”列不等式求得m的范圍，再求得w與m的關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解．

3x4y330

（1）解：設(shè)每盆A種花卉種植費(fèi)用為x元，每盆B種花卉種植費(fèi)用為y元，根據(jù)題意，得，

4x3y300

x30

解這個(gè)方程組，得答：每盆A種花卉種植費(fèi)用為30元，每盆B種花卉種植費(fèi)用為60元；

y60

第15頁(yè)共75頁(yè).

（2）解：設(shè)種植A種花卉的數(shù)量為m盆，則種植B種花卉的數(shù)量為400m盆，種植兩種花卉的總費(fèi)用

為w元，根據(jù)題意，得170%m190%400m80，解得m200，

w30m60400m30m24000，∵300，∴w隨m增大而減小，當(dāng)m200時(shí)，

wmin302002400018000．答：種植A、B兩種花卉各200盆，能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低，最低

費(fèi)用為18000元．

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是

明確題意，列出相應(yīng)的二元一次方程組，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．

知識(shí)點(diǎn)一、二元一次方程（組）及其解法

1、二元一次方程（組）定義

定義方程的解解的情況

二元一次含有個(gè)未知數(shù)，并且所含未使二元一次方程兩邊的值的兩有無(wú)數(shù)組解

方程知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程。個(gè)未知數(shù)的值。

二元一次把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程只有一組公共解

方程組次方程合在一起。的?叫做二元一次方程組的解。

2、二元一次方程（組）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：將一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，并代

入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。

（2）加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等(或通過(guò)適當(dāng)變形后可

以使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去這個(gè)未

知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。

消元法使用技巧（解題時(shí)依據(jù)方程自身特點(diǎn)，靈活運(yùn)用消元思想）

一般地，當(dāng)二元一次方程組中的一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時(shí)，選擇代入消元法

較簡(jiǎn)單。

第16頁(yè)共75頁(yè).

當(dāng)二元一次方程組中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成倍數(shù)關(guān)

系時(shí)，選擇加減消元法較簡(jiǎn)單。

注：還可以用整體代入消元或換元法化繁為簡(jiǎn)，快速解題。

知識(shí)點(diǎn)二、三元一次方程組

1.三元一次方程組:一個(gè)方程組中含有三個(gè)未知數(shù),每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的

次數(shù)都是1,并且一共有三個(gè)方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程

【變式1】（2022·廣東·華南師大附中三模）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）2互為相反數(shù)，那么x,y的值為（）

x1x1x2x2

A．B．C．D．

y2y2y1y1

【答案】C

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，判斷兩個(gè)非負(fù)數(shù)必定都是0，列方程組解答即可．

【詳解】解：∵xy1(2xy3)20，

xy10

∴，

2xy30

x2

解得：，

y1

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性，|x+y-1|和2（2x+y-3）2都是非負(fù)數(shù)，所以這個(gè)數(shù)都是0．

4x3y6

【變式2】（2022·廣東·揭陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如果關(guān)于x，y的方程組的解是整數(shù)，那么

6xmy26

整數(shù)m的值為（）

A．4，4，5，13B．4，4，5，13

C．4，4，5，13D．4，5，5，13

【答案】B

【分析】先將m看作已知量，解二元一次方程組，用m表示出y，再結(jié)合x(chóng)，y為整數(shù)，得出y的整數(shù)解，

第17頁(yè)共75頁(yè).

然后把y的整數(shù)解代入①，得出x的解，再把方程組的整數(shù)解代入②，即可得出m的值．

4x3y6①

【詳解】解：，

6xmy26②

34

由②2①3，可得：y，

2m9

∵x，y為整數(shù)，

∴當(dāng)2m9為34，17，2，1，34，17，2，1時(shí)，y為整數(shù)，

34

∴把2m9的值代入y，可得：y1，y=2，y17，y34，y1，y2，y17，y34，

2m9

345957

∴把y的整數(shù)解代入①，可得：x，x0，x，x24，x，x3，x，x27，

4444

4x3y6x0x24x3x27

∴方程組的整數(shù)解為，，，，

6xmy26y2y34y2y34

把方程組的整數(shù)解代入②，可得：m13，m5，m4，m4．

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，解本題的關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示y．

【變式3】（2021·四川成都·三模）已知三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝

3a+b﹣7c，則m的最小值為_(kāi)________________．

5

【答案】－

7

【詳解】解方程組，用含m的式子表示出a，b，c的值，根據(jù)a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范圍從而求

得m的最小值．

3a2bc5

【解答】解：由題意可得2ab3c1，

3ab7cm

7m511m1m2

解得a，b，c＝，

333

由于a，b，c是三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，

∴a≥0，b≥0，c≥0，

15

∴﹣≥m≥．

117

5

所以m＝．

最小值7

5

故本題答案為：．

7

第18頁(yè)共75頁(yè).

【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組和一元一次不等式組的解法，難點(diǎn)是部分同學(xué)不會(huì)解含參數(shù)m的三元

一次方程組．

2axby40x1

【變式4】（2022·甘肅慶陽(yáng)·二模）已知，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，則

axby10y1

2a－b＝______．

【答案】4

x1

【分析】把代入方程組，得出關(guān)于a、b的方程組，求出方程組的解即可．

y1

x12axby40

【詳解】解：把代入得：

y1axby10

2ab4

，

ab1

a1

解得：，

b2

∴2a－b=2×1-（-2）=2+2=4，

故答案為：4．

【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于a、b的方程組．

【變式5】（2022·河南洛陽(yáng)·二模）已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x2y7①，x3y9②，求2x5y和5x4y的

值．

本題常規(guī)的解題思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值．再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常

規(guī)思路運(yùn)算量較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)x，y的系數(shù)與所求代數(shù)式中x，y的系數(shù)之間的關(guān)系，

本題還可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃握w求得代數(shù)式的值．由①②得：2x5y2，由①②2得5x4y25，

這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．

問(wèn)題解決：

2xy6

(1)已知二元一次方程組，則xy值為，xy的值為．

x2y9

(2)某班組織活動(dòng)購(gòu)買獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元；買39支鉛筆、5塊橡皮、3本

日記本共需58元．則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

(3)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x*yaxbyc，其中a，b，c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法

運(yùn)算．已知3*515，4*728，則1*1的值為．

第19頁(yè)共75頁(yè).

【答案】(1)5，3

(2)30元

(3)11

【分析】（1）根據(jù)方程組中兩個(gè)方程的特點(diǎn)，由①②即可求出xy的值，①-②即可求出xy的值；

20x3y2z32①

（2）設(shè)1支鉛筆x元、1塊橡皮y元、1本日記本z元，列出方程組，先求出xyz6，

39x5y3z58②

再求出5(xyz)30，即可得出答案；

3a5bc15①

（3）根據(jù)題意得出方程組，求出abc11，即可求出1*1的值．

4a7bc28②

【詳解】（1）解：由①②，可得3x3y15，

∴xy5，

由①-②，可得xy3．

故答案為：5，3；

（2）（2）設(shè)1支鉛筆x元、1塊橡皮y元、1本日記本z元，

20x3y2z32①

由題意，可得，

39x5y3z58②

由①2-②，可得xyz6，

∴5(xyz)30（元)，

答：購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元；

（3）∵3*515，4*728，

3a5bc15①

∴，

4a7bc28②

由①3-②2，可得abc11，

∴1*1abc11．

故答案為：11．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組及三元一次方程組的整體求法，理解題意，熟練掌握整體計(jì)算方

法是解題關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)四分式方程的解法及其應(yīng)用

第20頁(yè)共75頁(yè).

mx1

例1（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）若關(guān)于x的方程3無(wú)解，則m的值為（）

x1

A．1B．1或3C．1或2D．2或3

【答案】B

【分析】先將分式方程化成整式方程(m3)x2，再分①整式方程(m3)x2無(wú)解，②關(guān)于x的方程

mx1

3有增根兩種情況，分別求解即可得．

x1

mx1

【詳解】解：將方程3化成整式方程為mx13x3，即(m3)x2，

x1

mx1

因?yàn)殛P(guān)于x的方程3無(wú)解，

x1

所以分以下兩種情況：

①整式方程(m3)x2無(wú)解，

則m30，解得m3；

mx1

②關(guān)于x的方程3有增根，

x1

則x10，即x1，

將x1代入(m3)x2得：m32，解得m1；

綜上，m的值為1或3，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．

11xa

例2（2022·湖北黃石·中考真題）已知關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是

xx1x(x1)

__________．

【答案】a1且a0

【分析】把a(bǔ)看作常數(shù)，去分母得到一元一次方程，求出x的表達(dá)式，再根據(jù)方程的解是負(fù)數(shù)及分母不為0

列不等式并求解即可．

11xa

【詳解】解：由得xa1，

xx1x(x1)

11xa

關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，

xx1x(x1)

x0a10a1

x0，即a10，解得a1，即a1且a0，

x1a11a0

故答案為：a1且a0．

第21頁(yè)共75頁(yè).

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，根據(jù)題意及分式的分母不等于零列出不等式組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

例3（2020·新疆·中考真題）某超市銷售A、B兩款保溫杯，已知B款保溫杯的銷售單價(jià)比A款保溫杯多

10元，用480元購(gòu)買B款保溫杯的數(shù)量與用360元購(gòu)買A款保溫杯的數(shù)量相同．

(1)A、B兩款保溫杯的銷售單價(jià)各是多少元？

(2)由于需求量大，A、B兩款保溫杯很快售完，該超市計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)這兩款保溫杯共120個(gè)，且A款保溫

杯的數(shù)量不少于B款保溫杯數(shù)量的兩倍．若A款保溫杯的銷售單價(jià)不變，B款保溫杯的銷售單價(jià)降低10%，

兩款保溫杯的進(jìn)價(jià)每個(gè)均為20元，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批保溫杯的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？

【答案】(1)A款保溫杯的銷售單價(jià)是30元，B款保溫杯的銷售單價(jià)是40元

(2)進(jìn)貨方式為購(gòu)進(jìn)B款保溫杯數(shù)量為40個(gè)，A款保溫杯數(shù)量為80個(gè)，最大利潤(rùn)是1440元

【分析】（1）設(shè)A款保溫杯的銷售單價(jià)是x元，B款保溫杯的銷售單價(jià)是（x+10）元，根據(jù)用480元購(gòu)買B

款保溫杯的數(shù)量與用360元購(gòu)買A款保溫杯的數(shù)量相同列分式方程解答即可；

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)B款保溫杯數(shù)量為y個(gè)，則A款保溫杯數(shù)量為（120-y）個(gè)，根據(jù)題意求出0<y≤40，設(shè)總銷售

利潤(rùn)為W元，列出一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

（1）

解：設(shè)A款保溫杯的銷售單價(jià)是x元，B款保溫杯的銷售單價(jià)是（x+10）元，

480360

，

x10x

解答x=30，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解，

∴x+10=40，

答：A款保溫杯的銷售單價(jià)是30元，B款保溫杯的銷售單價(jià)是40元；

（2）

B款保溫杯銷售單價(jià)為40×（1-10%）=36元，

設(shè)購(gòu)進(jìn)B款保溫杯數(shù)量為y個(gè)，則A款保溫杯數(shù)量為（120-y）個(gè)，

120-y≥2y，

解得y≤40，

∴0<y