2025版高中數(shù)學課時作業(yè)28直線與圓的位置關系新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時作業(yè)28直線與圓的位置關系基礎鞏固1．直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝4的位置關系是()A．相離 B．相切C．相交 D.不確定解析：直線y＝kx＋1過點(0，1)，且該點在圓x2＋y2＝4內(nèi)，所以直線與圓相交．答案：C2．直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是()A．－2或12 B.2或－12C．－2或－12 D.2或12解析：圓的方程為x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1.由圓心(1，1)到直線3x＋4y－b＝0的距離為eq\f(|7－b|,5)＝1，得b＝2或b＝12，故選D.答案：D3．平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋eq\r(5)＝0或2x＋y－eq\r(5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0解析：設所求切線方程為2x＋y＋c＝0，依題有eq\f(|0＋0＋c|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得c＝±5，所以所求切線的方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故選A.答案：A4．過點(1，2)總可以作兩條直線與圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，則k的取值范圍是()A．k<－3或k>2B．k<－3或2<k<eq\f(8,3)eq\r(3)C．k>2或－eq\f(8,3)eq\r(3)<k<－3D．－eq\f(8,3)eq\r(3)<k<－3或2<k<eq\f(8,3)eq\r(3)解析：把圓的方程化為標準方程得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝16－eq\f(3,4)k2，所以16－eq\f(3,4)k2>0，解得－eq\f(8\r(3),3)<k<eq\f(8\r(3),3).又因為點(1，2)應在圓的外部，得1＋4＋k＋4＋k2－15>0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，所以實數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8\r(3),3)，－3))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8\r(3),3))).答案：D5．已知直線l過點(－2，0)，當直線l與圓x2＋y2＝2x有兩個交點時，求直線l斜率k的取值范圍．解：圓心坐標是(1，0)，圓的半徑是1，設直線方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，依據(jù)點到直線的距離公式，得eq\f(|k＋2k|,\r(k2＋1))<1，即k2<eq\f(1,8)，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4)，即為直線l斜率的取值范圍．實力提升1．圓心坐標為(2，－1)的圓在直線x－y－1＝0上截得的弦長為2eq\r(2)，則這個圓的方程為()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16解析：圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋1－1|,\r(2))＝eq\r(2).r2＝d2＋(eq\r(2))2＝4，解得r＝2，故圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.答案：A2．過點(2，1)的直線中被圓(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦長最大的直線方程是()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D.x－3y＋5＝0解析：∵過點(2，1)的直線中被圓(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦長最大的直線經(jīng)過圓心，∴該直線過點(2，1)和圓心(1，－2)，其方程為eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x－1,2－1)，整理得3x－y－5＝0.故選A.答案：A3．若直線mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，n≠m)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－4＝0的周長，則mn的取值范圍是()A．(0，1) B．(0，－1)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)解析：圓x2＋y2－4x－2y－4＝0可化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，直線mx＋2ny－4＝0始終平分圓周，即直線過圓心(2，1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1，當m＝1時等號成立，此時n＝1，與“m≠n”沖突，所以mn<1.答案：C4．由直線y＝x－1上的一點向圓C：x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長的最小值為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：在直線y＝x－1上取一點P，過P向圓引切線，設切點為A.連接CA.在Rt△PAC中，|CA|＝r＝1.要使|PA|最小，則|PC|應最小．又當PC與直線垂直時，|PC|最小，其最小值為eq\f(|3－0－1|,\r(2))＝eq\r(2).故|PA|的最小值為eq\r(（\r(2)）2－12)＝1.答案：A5．設直線2x＋3y＋1＝0和圓x2＋y2－2x－3＝0相交于點A，B，則弦AB的垂直平分線的方程是________．解析：易知所求直線過圓心且與AB垂直，圓心坐標為(1，0)．設所求直線方程為3x－2y＋c＝0，則3×1－2×0＋c＝0，c＝－3.即所求直線方程為3x－2y－3＝0.答案：3x－2y－3＝06．圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直線l：x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點的個數(shù)是________．解析：圓的方程化為標準方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圓心為(－1，－2)，圓半徑為2eq\r(2)，圓心到直線l的距離為eq\f(|－1－2＋1|,\r(12＋12))＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).因此和l平行的圓的直徑的兩端點及與l平行的圓的切線的切點到l的距離都為eq\r(2)，共3個點．答案：37．直線x－y＝0與圓(x－2)2＋y2＝4交于點A、B，則|AB|＝________.解析：圓心到直線的距離d＝eq\f(|2－0|,\r(2))＝eq\r(2)，半徑r＝2，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)8．已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a＝________．解析：由題意可知圓的圓心為C(1，a)，半徑r＝2，則圓心C到直線ax＋y－2＝0的距離d＝eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\f(|2a－2|,\r(a2＋1)).因為△ABC為等邊三角形，所以|AB|＝r＝2.又|AB|＝2eq\r(r2－d2)，所以2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a－2|,\r(a2＋1))))\s\up12(2))＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15).答案：4±eq\r(15)9．若過點A(4，0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為________．解析：數(shù)形結合的方法．如圖1所示，∠CAB＝∠BAD＝30°，圖1∴直線l的傾斜角θ的取值范圍為[0°，30°]∪[150°，180°)．∴直線l的斜率的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))10．已知圓C的方程為x2＋y2＝4.(1)求過點P(1，2)，且與圓C相切的直線l的方程；(2)直線l過點P(1，2)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2eq\r(3)，求直線l的方程．解：(1)明顯直線l的斜率存在，設切線方程為y－2＝k(x－1)，則由eq\f(|2－k|,\r(k2＋1))＝2，得k1＝0，k2＝－eq\f(4,3)，故所求的切線方程為y＝2或4x＋3y－10＝0.(2)當直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x＝1，l與圓的兩個交點坐標為(1，eq\r(3))和(1，－eq\r(3))，這兩點的距離為2eq\r(3)，滿意題意；當直線l不垂直于x軸時，設其方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，設圓心到此直線的距離為d，則2eq\r(3)＝2eq\r(4－d2)，∴d＝1，∴1＝eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))，∴k＝eq\f(3,4)，此時直線方程為3x－4y＋5＝0.綜上所述，所求直線方程為3x－4y＋5＝0或x＝1.11.已知實數(shù)x、y滿意方程(x－2)2＋y2＝3.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解：(1)原方程表示以點(2，0)為圓心，以eq\r(3)為半徑的圓，設eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).故eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)設y－x＝b，即y＝x＋b.當y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，即b＝－2±eq\r(6).故y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何學問知，它在原點與圓心所在直線與圓的兩個交點處分別取得最大值和最小值，又圓心到原點的距離為2，故(x2＋y2)max＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3).(x2＋y2)min＝(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).12．已知點P(x0，y0)是圓O：x2＋y2＝r2外一點，過點P作圓O的切線，兩切點分別為A，B，試求直線AB的方程．解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在圓上，∴過點A，B的兩切線方程分別是x1x＋y1y＝r2，x2x＋y2y＝r2.又∵點P(x0，y0)在兩切線上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x0＋y1y0＝r2，,x2x0＋y2y0＝r2.))∴A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐標都是方程x0x＋y0y＝r2的解．∴直線AB的方程是x0x＋y0y－r2＝0.拓展要求1．若直線l：kx－y－2＝0與曲線C：eq\r(1－（y－1）2)＝x－1有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，4))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(4,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))解析：直線l：kx－y－2＝0恒過定點(0，－2)，曲線C：eq\r(1－（y－1）2)＝x－1表示以點(1，1)為圓心，半徑為1，且位于直線x＝1右側的半圓(包括點(1，2)，(1，0))．當直線l經(jīng)過點(1，0)時，l與曲線C有兩個不同的交點，此時k＝2，直線記為l1；當l與半圓相切時，由eq\f(|k－3|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq\f(4,3)，切線記為l2.分析可知當eq\f(4,3)＜k≤2時，l與曲線C有兩個不同的交點，故選A.答案：A2．P是直線l：3x－4y＋11＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D.2