2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.3蝗制學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE§3弧度制學(xué)問(wèn)點(diǎn)一度量角的單位制及弧度數(shù)計(jì)算[填一填]1．度量角的單位制(1)角度制規(guī)定周角的eq\f(1,360)為1度的角，用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫角度制．(2)弧度制在以單位長(zhǎng)為半徑的圓中，單位長(zhǎng)度的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角，它的單位符號(hào)是rad，讀作弧度．這種以弧度作單位度量角的單位制，叫作弧度制．2．弧度數(shù)的計(jì)算[答一答]1．“1弧度”指的是“1度的角所對(duì)的弧”嗎？提示：不是.1弧度是指角的大?。?．“2rad”的角終邊在第幾象限？提示：2rad>eq\f(π,2)rad，且2rad<πrad，故2rad的角終邊在其次象限．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二角度與弧度互化及扇形面積[填一填]3．角度與弧度的互化4．扇形的弧長(zhǎng)及面積公式設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，α為其圓心角，則[答一答]3．終邊落在x軸負(fù)半軸上的角可以表示為α＝k·360°＋π(k∈Z)．這樣表示對(duì)嗎？提示：不對(duì)．角度制和弧度制都可以用來(lái)表示角，但表示角時(shí)不行混用，故可以表示為α＝k·360°＋180°(k∈Z)或α＝2kπ＋π(k∈Z)．4．30°的角化為弧度是多少？120°是30°的幾倍？其弧度數(shù)是多少？提示：30°＝eq\f(π,6)rad,120°是30°的4倍，其弧度數(shù)為eq\f(π,6)×4＝eq\f(2π,3)rad．1．對(duì)弧度制概念的三點(diǎn)說(shuō)明(1)“1rad”是指：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角的大小，不是弧長(zhǎng)，這個(gè)角是固定的，與圓的半徑的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)．(2)引入弧度制后，角的集合與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們今后表示角時(shí)，多用弧度制表示．(3)表示角時(shí)π就是無(wú)理數(shù)，它表示一個(gè)實(shí)數(shù)，同1rad角的大小一樣，πrad的角表示：長(zhǎng)度等于半徑的π倍的圓弧所對(duì)的圓心角，在推斷有理數(shù)表示角的象限，與π比較大小時(shí)，有時(shí)須要把π化為小數(shù)．2．對(duì)弧度數(shù)計(jì)算公式的說(shuō)明我們常用α＝eq\f(l,r)來(lái)求解圓中圓心角所對(duì)的弧度數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，在圓中弧長(zhǎng)是個(gè)正數(shù)，故得出的圓心角也為正數(shù)．但在平面直角坐標(biāo)系中，所求的角不肯定為正角，所以經(jīng)常依據(jù)須要在角α上添加正負(fù)號(hào)，故這個(gè)求弧度數(shù)的公式經(jīng)常記為|α|＝eq\f(l,r).3．角度制與弧度制換算時(shí)應(yīng)留意的四個(gè)問(wèn)題(1)用弧度為單位表示角的大小時(shí)，“弧度(rad)”可以省略不寫(xiě)；假如以度(°)為單位表示角的大小時(shí)，度(°)不能省略不寫(xiě)．(2)度化為弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化為度，再化為弧度．(3)有些角的弧度數(shù)是π的整數(shù)倍時(shí)，如無(wú)特殊要求，不必把π化成小數(shù)．(4)用“弧度”與“度”去度量每個(gè)角時(shí)，除了零角以外，所得的結(jié)果都是不同的，二者要留意不能混淆．4．角度制與弧度制換算的要點(diǎn)類型一弧度制與角度制的互化【例1】(1)18°＝________rad；(2)67°30′＝________rad；(3)eq\f(3,10)πrad＝________度；(4)2rad＝________度．【思路探究】干脆運(yùn)用角度和弧度的換算公式轉(zhuǎn)換即可．【解析】(1)18°＝eq\f(π,180)×18＝eq\f(π,10)(rad)．(2)67°30′＝67.5°＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3,8)π(rad)．(3)eq\f(3,10)πrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)π×\f(180,π)))°＝54°.(4)2rad≈2×57.3°＝114.6°.【答案】(1)eq\f(π,10)(2)eq\f(3,8)π(3)54(4)114.6規(guī)律方法在角度與弧度相互轉(zhuǎn)化時(shí)，應(yīng)抓住關(guān)系式：(1)度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)；(2)弧度數(shù)×eq\f(180°,π)＝度數(shù)．同時(shí)，我們要熟記一些特殊角的弧度數(shù)．(1)把－1200°化成弧度；(2)把－eq\f(5π,12)化成度．解析：(1)－1200°＝－1200×eq\f(π,180)＝－eq\f(20π,3).(2)－eq\f(5π,12)＝(－eq\f(5π,12)×eq\f(180,π))°＝－75°.類型二弧度制與終邊相同的角的問(wèn)題【例2】把下列角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第幾象限角：(1)－eq\f(53π,3)；(2)2010°.【思路探究】eq\x(\a\al(將所給角化成,2kπ＋α的形式))→eq\x(\a\al(推斷α是第,幾象限角))→eq\x(\a\al(得到所給角是,第幾象限角))【解】(1)－eq\f(53π,3)＝－18π＋eq\f(π,3)，而eq\f(π,3)是第一象限角，所以－eq\f(53π,3)是第一象限角．(2)2010°＝5×360°＋210°＝10π＋eq\f(7π,6)，而eq\f(7π,6)是第三象限角，所以2010°是第三象限角．規(guī)律方法在進(jìn)行“弧度”與“角度”的互化時(shí)，若無(wú)特殊要求，切不行進(jìn)行近似計(jì)算，也不必將π化為小數(shù)．留意角度制和弧度制不得混用，如α＝2kπ＋60°，k∈Z，β＝k·360°＋eq\f(π,4)，k∈Z都是不正確的寫(xiě)法．(1)－150°的弧度數(shù)是(A)A．－eq\f(5π,6) B．eq\f(4π,3)C．－eq\f(2π,3) D．－eq\f(3π,4)(2)eq\f(8π,5)弧度化為角度是(C)A．278° B．280°C．288° D．318°解析：(1)∵1°＝eq\f(π,180)rad，∴－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,6).(2)∵1rad＝eq\f(180°,π)，∴eq\f(8π,5)＝eq\f(8π,5)×eq\f(180°,π)＝288°.類型三弧長(zhǎng)與扇形面積公式的應(yīng)用【例3】已知扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角為多大時(shí)，它有最大面積？【思路探究】先用R表示半徑，再依據(jù)S＝eq\f(1,2)lR建立扇形面積S與半徑R之間的函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)求最大值．【解】設(shè)扇形的半徑是R，弧長(zhǎng)是l，由已知條件可知：l＋2R＝20，即l＝20－2R.由0<l<2πR，得0<20－2R<2πR.∴eq\f(10,π＋1)<R<10.扇形的面積為S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25(eq\f(10,π＋1)<R<10)，當(dāng)R＝5時(shí)，S最大，此時(shí)l＝10，α＝eq\f(l,R)＝2.規(guī)律方法當(dāng)扇形周長(zhǎng)肯定時(shí)，扇形的面積有最大值；其求法是把面積S轉(zhuǎn)化為關(guān)于R的二次函數(shù)，但要注明R的取值范圍．特殊留意一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)必需滿意0<l<2πR.本題若改為扇形面積為25cm2，也可以求扇形周長(zhǎng)的最小值．(1)已知一個(gè)扇形弧長(zhǎng)為6，扇形圓心角為2rad，則扇形的面積為(D)A．2 B．3C．6 D．9(2)設(shè)扇形的周長(zhǎng)為8cm，面積為4cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(B)A．1 B．2C．3 D．4(3)已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么，這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是(C)A．2 B．sin2C．eq\f(2,sin1) D．2sin1解析：(1)∵S扇＝eq\f(1,2)lR，R＝eq\f(l,α)＝eq\f(6,2)＝3，∴S扇＝eq\f(1,2)×6×3＝9.∴選D．(2)設(shè)半徑為R，弧長(zhǎng)為l，則2R＋l＝8，①eq\f(1,2)lR＝4，②由①②解得R＝2，l＝4.∵α＝eq\f(l,R)＝eq\f(4,2)＝2.∴選B．(3)如圖，設(shè)∠ACB＝2，AB＝2，過(guò)點(diǎn)C作CO⊥AB于點(diǎn)O，則由題知α＝1，OA＝1，∵sinα＝eq\f(OA,AC)＝eq\f(1,R)，∴R＝eq\f(1,sin1)，又∵2α＝eq\f(l,R)，∴l(xiāng)＝2αR＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).故選C．類型四綜合應(yīng)用【例4】如圖，已知一長(zhǎng)為eq\r(3)cm，寬為1cm的長(zhǎng)方形木塊在桌面上作無(wú)滑動(dòng)的翻滾，翻滾到第四面時(shí)被一小木板攔住，使木板底面與桌面成30°的角，求點(diǎn)A走過(guò)的路程及走過(guò)的弧所在扇形的總面積．【思路探究】解題關(guān)鍵是分析出點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的軌跡．【解】eq\o\ac(AA1,\s\up17(︵))所在的圓半徑是2cm，圓心角為eq\f(π,2)；eq\o\ac(A1A2,\s\up17(︵))所在圓的半徑是1cm，圓心角是eq\f(π,2)；eq\o\ac(A2A3,\s\up17(︵))所在圓的半徑是eq\r(3)cm，圓心角是eq\f(π,3)，所以點(diǎn)A走過(guò)的路程是3段圓弧之和，即2×eq\f(π,2)＋1×eq\f(π,2)＋eq\r(3)×eq\f(π,3)＝eq\f(9＋2\r(3),6)π(cm)．3段弧所在扇形的總面積是eq\f(1,2)×2×π＋eq\f(1,2)×eq\f(π,2)＋eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(3)π,3)＝eq\f(7π,4)(cm2)．規(guī)律方法弧度制下涉及扇形問(wèn)題的攻略(1)明確弧度制下扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，r是扇形的半徑，α是扇形的圓心角)．(2)涉及扇形的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后敏捷運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式干脆求解或列方程(組)求解．在一般的時(shí)鐘上，自零時(shí)起先到分鐘與時(shí)針再一次重合，分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是多少(在不考慮角度方向的狀況下)?解：解法一：自零時(shí)(此時(shí)時(shí)針與分針重合，均指向12)起先到分針與時(shí)針再一次重合，設(shè)時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了xrad，則分針轉(zhuǎn)過(guò)了(2π＋x)rad，而時(shí)針走1rad相當(dāng)于經(jīng)過(guò)eq\f(6,π)h＝eq\f(360,π)min，分針走1rad相當(dāng)于經(jīng)過(guò)eq\f(30,π)min，故有eq\f(360,π)x＝eq\f(30,π)(2π＋x)，得x＝eq\f(2π,11)，∴到分針與時(shí)針再一次重合時(shí)，分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是eq\f(2π,11)＋2π＝eq\f(24π,11)(rad)．解法二：設(shè)再一次重合時(shí)，分針轉(zhuǎn)過(guò)弧度數(shù)為α，則α＝12(α－2π)(再一次重合時(shí)，時(shí)針比分針少轉(zhuǎn)了一周，且分針的旋轉(zhuǎn)速度是時(shí)針的12倍)，得α＝eq\f(24π,11)，∴到分針與時(shí)針再一次重合時(shí)，分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是eq\f(24π,11)(rad)．——易錯(cuò)警示——對(duì)終邊相同的區(qū)間角理解不到位致誤【例5】已知eq\f(π,4)＋2kπ<α<eq\f(3π,4)＋2kπ，2kπ<β<eq\f(π,4)＋2kπ，其中k∈Z，求α＋β的范圍．【錯(cuò)解】由已知兩式左右分別相加，可得eq\f(π,4)＋4kπ<α＋β<π＋4kπ，k∈Z.【正解】∵eq\f(π,4)＋2k1π<α<eq\f(3π,4)＋2k1π，k1∈Z，2k2π<β<eq\f(π,4)＋2k2π，k2∈Z，∴eq\f(π,4)＋2(k1＋k2)π<α＋β<π＋2(k1＋k2)π.又∵k1，k2∈Z，∴存在整數(shù)k，使得k＝k1＋k2，∴eq\f(π,4)＋2kπ<α＋β<π＋2kπ，k∈Z.【錯(cuò)解分析】錯(cuò)解錯(cuò)誤的緣由是對(duì)終邊相同的區(qū)間角理解不到位，誤以為兩式中的k表示相同的整數(shù)．由于兩式所表示的角是k分別取整數(shù)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的多數(shù)個(gè)區(qū)間角的并集，故兩式中的k不肯定相等，可用k1，k2替換加以區(qū)分，然后利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解．【防范措施】含有kπ的角的說(shuō)明①關(guān)于含有kπ的角的集合求交集、并集時(shí)，每個(gè)集合都有肯定的周期規(guī)律，認(rèn)清kπ的系數(shù)確定周期，不要漏角或添角．②關(guān)于含有kπ的角，求組合角時(shí)不能簡(jiǎn)潔相加減．已知α＝1690°.(1)把α寫(xiě)成2kπ＋β(k∈Z)，β∈[0,2π)的形式；(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且θ∈(－4π，－2π)．解：(1)由于α的弧度數(shù)為eq\f(π,180)×1690＝eq\f(169π,18)，又eq\f(169π,18)＝8π＋eq\f(25,18)π，∴α＝4·2π＋eq\f(25,18)π(k＝4，β＝eq\f(25π,18))．(2)由－4π<2kπ＋eq\f(25π,18)<－2π(k∈Z)，得k＝－2，∴θ＝－4π＋eq\f(25π,18)＝－eq\f(47,18)π.一、選擇題1．將分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是(A)A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)解析：撥慢分針是逆時(shí)針?lè)较颍?．下列命題中，錯(cuò)誤命題是(D)A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．一度的角是周角的eq\f(1,360)，一弧度的角是周角的eq\f(1,2π)C．依據(jù)弧度的定義，180°肯定等于π弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)解析：依據(jù)角度和弧度的定義，可知無(wú)論是角度制還是弧度制，角的大小與圓的半徑長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，而是與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān)，所以D是錯(cuò)誤命題．其他A、B、C均為正確命題．∴應(yīng)選D．3．在半徑為2cm的圓中，若有條弧長(zhǎng)為eq\f(π,3)cm，則它所對(duì)的圓心角為(A)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)解析：設(shè)圓心角為θ，則θ＝eq\f(\f(π,3),2)＝eq\f(π,6).二、填空題4.如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝eq\f(π,6)，則劣弧eq\o\ac(AB,\s\up17(︵))的長(zhǎng)為eq\f(4,3)π.解析：連接AO，OB，因?yàn)椤螦CB＝eq\f(π,6)，所以