專題02 全等三角形（考題猜想易錯題型專項訓練）（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages7575頁專題02全等三角形（易錯題型專項訓練）一、命題的辨別與真假命題（共5小題）1．下列語句中不是命題的是（

）A．兩點之間，線段最短 B．連結A、B兩點C．兩直線與第三條直線相交，同位角相等 D．不平行的兩條直線有一個交點【答案】B【分析】本題考查了命題：判斷一件事情的語句叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．命題都是由題設和結論兩部分組成的．根據(jù)命題的定義對各選項進行判斷即可．【詳解】解：A．兩點之間，線段最短，是命題，故A不符合題意；B．連接A，B兩點，為描述性語言，不是命題，故B符合題意；C．兩直線與第三條直線相交，同位角相等，是命題，故C不符合題意；D．不平行的兩條直線有一個交點，是命題，故D不符合題意．故選：B．2．下列語句不是命題的有（

）①全等三角形對應邊相等；②過一點畫已知直線的平行線；③同角的余角相等；④內(nèi)錯角相等嗎？A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查命題的定義：判斷一件事情的語句稱為命題，據(jù)此逐個判斷即可解答．【詳解】解：①全等三角形對應邊相等，是命題；②過一點畫已知直線的平行線，不是命題；③同角的余角相等，是命題；④內(nèi)錯角相等嗎？不是命題．綜上，不是命題的是②④，共2個．故選：B3．給出下列命題：①數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應；②同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行；③兩點之間，線段最短．其中是假命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．分別根據(jù)平行線的判定、數(shù)軸、兩點之間線段最短對各小題進行逐一分析即可．【詳解】解：①數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，原命題是假命題；②同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行，是真命題；③兩點之間，線段最短，是真命題；綜上分析可知，是假命題的有1個，故選：B．4．下列命題是真命題的為（

）A．內(nèi)錯角相等 B．周長相等的兩個三角形全等C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題考查判斷命題的真假，解題的關鍵是根據(jù)相關知識對命題進行分析判斷；利用平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定、等式的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)，逐一進行判斷即可．【詳解】A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以，原命題是假命題，故該選項不符合題意；B．周長相等的兩個三角形不一定全等，例如，一個邊長為3、4、5的三角形和一個邊長為4、4、4的三角形，它們的周長都是12，但它們不是全等三角形，所以，原命題是假命題，故該選項不符合題意；C．若，兩邊同時平方可得，該命題是真命題，故該選項符合題意；D．若，則x可以是大于0的數(shù)，也可以是小于0的數(shù)（例如時，），所以，原命題是假命題，故該選項不符合題意．故選：C．5．下列命題中，真命題的個數(shù)是（

）（）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直（）從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線的距離（）三角形的任何一個內(nèi)角小于與它不相鄰的外角（）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行（）兩條邊相等及一個角相等的兩個三角形一定全等A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了命題，根據(jù)垂線的性質(zhì)、點到直線的距離、三角形外角性質(zhì)、平行公理和三角形全等的判定方法逐一判斷即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：（）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，該命題是真命題，符合題意；（）從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到這條直線的距離，原命題是假命題，不合題意；（）三角形的任何一個內(nèi)角小于與它不相鄰的外角，該命題是真命題，符合題意；（）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，該命題是真命題，符合題意；（）兩條邊相等及其夾角相等的兩個三角形一定全等，原命題是假命題，不合題意；∴真命題有個，故選：．二、寫出命題的題設與結論（共3小題）6．把命題“等角的補角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式：．【答案】如果兩個角相等，那么這兩個角的補角相等【分析】本題考查了命題的改寫，理解命題的構成成為解題的關鍵．根據(jù)命題的條件與結論即可改寫即可．【詳解】解：命題“等角的補角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式為：如果兩個角相等，那么這兩個角的補角相等．故答案為：如果兩個角相等，那么這兩個角的補角相等．7．用三個不等式，，中的兩個不等式作為題設條件，余下的一個不等式作為結論，組成一個命題，可以組成真命題的個數(shù)為個，請同學們寫出一個真命題．【答案】3如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么【分析】本題主要考查了判斷命題真假，不等式的性質(zhì)，寫出命題的題設和結論當選取，作為條件，為結論時，根據(jù)不等式兩邊同時除以一個正數(shù)不等號不改變方向即可證明；當選取，作為條件，為結論時，根據(jù)不等式兩邊同時乘以一個正數(shù)，不等號不改變方向即可證明；當選取，作為條件為結論時，據(jù)不等式兩邊同時乘以一個正數(shù)，不等號不改變方向即可證明．【詳解】解：當選取，作為條件，為結論時，∵，，∴，即，∴此時命題是真命題；當選取，作為條件，為結論時，∵，∴當時，則，即，符合題意；當時，則，即，不符合題意；∴此時命題是真命題；當選取，作為條件為結論時，∵，，∴，即，∴此時命題是真命題；綜上所述，可以組成真命題的個數(shù)為3個，命題為：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么．故答案為：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么．8．如圖，有三個論斷：①；②；③．請你從中任選兩個作為條件，另一個作為結論構成一個命題，寫出已知、求證，并證明該命題的正確性．【答案】見解析【分析】此題考查命題與定理問題，證明的一般步驟：寫出已知，求證，畫出圖形，再證明．也考查了平行線的判定和性質(zhì)、對頂角相等等知識．根據(jù)題意，請從中任選兩個作為條件，另一個作為結論構成一個命題，分三種情況根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)及對頂角相等進行證明．【詳解】解：第一種情況：已知：，，求證：證明：如圖，∵，，∴∴，∴，又∵，∴，∴第二種情況：已知：，，求證：證明：如圖，∵，，∴∴，∴，∵∴，∴第三種情況：已知：，，求證：證明：如圖，∵∴，∵，∴，∴，∴∵，∴三、逆命題與逆命題真假的判定（共4小題）9．下列命題的逆命題是真命題的是（

）A．如果兩個角是直角，那么它們相等 B．若，則C．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 D．對頂角相等【答案】C【分析】本題考查了判斷命題的真假，分別寫出各命題的逆命題，再判斷真假即可【詳解】解：如果兩個角是直角，那么它們相等的逆命題為：如果兩個角相等，那么它們是直角，該命題為假命題，不符合題意；若，則的逆命題為：若，則；，但，該命題為假命題，不符合題意；兩直線平行，內(nèi)錯角相等的逆命題為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；該命題為真命題，符合題意；對頂角相等的逆命題為：相等的角為對頂角，該命題為假命題，不符合題意；故選：C10．下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．偶數(shù)一定能被整除 B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．三條邊對應相等的兩個三角形是全等三角形 D．若，則【答案】D【分析】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解如何寫出一個命題的逆命題．寫出原命題的逆命題后判斷正誤即可．【詳解】解：A、逆命題為能被整除的數(shù)一定是偶數(shù)，正確，是真命題，不符合題意；B、逆命題為內(nèi)錯角相等，兩直線平行，正確，是真命題，不符合題意；C、逆命題為全等三角形的三條邊對應相等，正確，是真命題，不符合題意；D、逆命題為若，則，錯誤，是假命題，符合題意．故選：D．11．給出下列命題：①若，則；②銳角都相等；③一個角的補角大于這個角；④兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等．以上命題的逆命題是假命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了命題與逆命題，不等式的性質(zhì)、銳角的定義、補角的定義及平行線的性質(zhì)等知識點，用不等式的性質(zhì)、銳角的定義、補角的定義及平行線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項，熟練掌握解不等式的性質(zhì)、銳角的定義、補角的定義及平行線的性質(zhì)是解決此題的關鍵．【詳解】解：①若，則的逆命題為：若，則，正確，是真命題，不符合題意；②銳角都相等的逆命題為：相等的角都為銳角，錯誤，是假命題，符合題意；③一個角的補角大于這個角的逆命題為：大于一個角的角是它的補角，錯誤，是假命題，符合題意；④兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等的逆命題為同位角相等，兩直線平行，正確，是真命題，不符合題意；故選：B．12．已知命題“對頂角相等”．(1)此命題是真命題還是假命題？如果是真命題．請給予說明；如果是假命題，請舉出反例．(2)寫出此命題的逆命題，并判斷逆命題的真假．如果是真命題，請給予說明；如果是假命題，請舉出反例．【答案】(1)真命題，證明見解析(2)相等的角是對頂角，假命題，舉例見解析【分析】本題考查了命題的真假，熟練掌握判斷命題的方法是本題的關鍵．分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而得出答案．【詳解】（1）解：此命題是真命題．說明：如圖，直線，相交于點．，．（2）“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”，逆命題是假命題．反例：如圖，在中，，但與不是對頂角．四、定理與證明（共4小題）13．下列說法中正確的是（

）A．如果一個命題是真命題，那么它的逆命題也是真命題B．任何定理一定有逆定理C．任何命題一定有逆命題D．定理一定是命題，但不一定是真命題【答案】C【分析】本題考查了命題與定理的知識，利用命題與逆命題、定理與逆定理之間的關系分別判斷后即可確定正確答案，解題的關鍵是了解命題與逆命題、定理與逆定理之間的關系．【詳解】解：A、真命題的逆命題不一定是真命題，故原說法錯誤，不符合題意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對應角相等，沒有逆定理，故原說法錯誤，不符合題意；C、任何命題一定有逆命題，原說法正確，符合題意；D、定理一定是命題，且是真命題，故原說法錯誤，不符合題意；故選：C．14．在甲組圖形的四個圖中，每個圖是由四種圖形A，B，C，不同的線段或圓)中的某兩個圖形組成的，例如由A，B組成的圖形記為，在乙組圖形的，，，四個圖形中，表示“”和“”的是()A．， B．， C．， D．，【答案】D【詳解】分析：根據(jù)題意分析可得：4種簡單圖形A，B，C，D各不相同，得到A、B、C、D所代表的圖形，即可得到結論．詳解：如圖：

由甲組的A*B

B*C

B*D可知：

B是稍大一點的圓，C為橫線段，D為稍小一點的圓，A為豎線段．

所以“A*D”應當選（b），“A*C”應當選（d）．

故選D．點睛：本題考查了推理與論證，在兩個或三個圖形中，先確定公有的是誰，再確定其他的，從而使問題解決，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和空間想象能力．15．下列命題可以作定理的有個．①2與6的平均值是8；②能被3整除的數(shù)能被6整除；③5是方程的根；④三角形的內(nèi)角和是；⑤等式兩邊加上同一個數(shù)仍是等式．【答案】2/兩【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題，舉一個反例即可說明；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．首先利用定理的定義先判斷命題是否是真命題，然后再看是否經(jīng)過推理論證；經(jīng)過判斷可以得到①、②、③是假命題，④、⑤是真命題，是經(jīng)過推理論證的，據(jù)此可以解決問題．【詳解】解：①2與6的平均值是4，故此命題是假命題，不是定理；②能被3整除的數(shù)，不一定能被6整除，故此命題是假命題，不是定理；③把5代入方程，方程兩邊不相等，故不是真命題，更不是定理；④三角形的內(nèi)角和為，是經(jīng)過證明的是真命題，故是定理；⑤等式兩邊加上同一個數(shù)仍是等式，符合等式的性質(zhì)，是定理；綜上所述：③和④是定理，共2個．故答案為：2．16．如圖，有下列三個條件：①DE//BC；②；③．(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾個命題？請你都寫出來；(2)你所寫出的命題都是真命題嗎？若是，請你就其中的一個真命題給出推理過程；若不是，請你對其中的假命題舉出一個反例（溫馨提示：）【答案】(1)一共能組成三個命題，見解析(2)都是真命題，推理見解析【分析】（1）（1）根據(jù)兩條件一結論組成命題，可得答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可判定①②，根據(jù)平行線的判定，可判定③，即可【詳解】（1）解：一共能組成三個命題：①如果DE//BC，，那么；②如果DE//BC，，那么；③如果，，那么DE//BC；（2）解：都是真命題，如果DE//BC，，那么，理由如下：∵DE//BC，∴，∵，∴．如果DE//BC，，那么；理由如下：∵DE//BC，∴，，∵，∴；如果，，那么DE//BC；理由如下：∵，∴∠B+∠C=180°-∠BAC，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠1+∠2=180°-∠BAC，∴∠B+∠C=∠1+∠2，∵，，∴∠B=∠1，∴DE//BC．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，判斷命題的真假，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．五、全等圖形（共3小題）17．下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查的是全等形的識別，利用全等圖形的概念“兩個圖形能夠完全重合，就是全等圖形”是解答本題的關鍵．本題觀察四個選項，根據(jù)“兩個圖形能夠完全重合，就是全等圖形”的定理即可得到答案．【詳解】解：A選項兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，符合題意；B選項兩個圖形大小不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；C選項兩個圖形大小形狀都不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；D選項兩個圖形大小形狀都不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；故選：A18．下列圖形中，屬于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查全等圖形，解題的關鍵是掌握：根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形．據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A．由圖可知兩個圖形不可能完全重合，所以不是全等形，故此選項不符合題意；B．由圖可知兩個圖形可以完全重合，所以是全等圖形，故此選項符合題意；C．由圖可知兩個圖形不可能完全重合，所以不是全等形，故此選項不符合題意；D．由圖可知兩個圖形不可能完全重合，所以不是全等形，故此選項不符合題意．故選：B．19．如圖，將標號為的正方形沿圖中的虛線剪開后得到標號為的四個圖形，試按照“哪個正方形剪開后得到哪個圖形”的對應關系填空．A與對應；B與對應；C與對應；D與對應．【答案】MPQN【分析】本題主要考查了全等形的識別，能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，按照剪開前后各基本圖形是重合的原則進行逐個驗證、排查，熟練掌握全等形的識別是解決此題的關鍵．【詳解】由全等形的概念可知：A是三個三角形，與M對應；B是一個三角形和兩個直角梯形，與P對應；C是一個三角形和兩個四邊形，與Q對應；D是兩個三角形和一個四邊形，與N對應故答案為：M，P，Q，N．六、全等三角形與全等三角形的性質(zhì)（共5小題）20．下列說法正確的是（

）A．全等三角形的周長和面積分別相等 B．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形C．全等三角形是指面積相等的兩個三角形 D．所有的等邊三角形都是全等三角形【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與概念，熟知全等三角形的相關知識是解題的關鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與概念進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、全等三角形的周長和面積分別相等，說法正確，符合題意；B、形狀相同的兩個三角形不一定是全等三角形，原說法錯誤，不符合題意；C、面積相等的兩個三角形不一定是全等三角形，原說法錯誤，不符合題意；D、只有邊長相等的等邊三角形才是全等三角形，原說法錯誤，不符合題意．故選：A．21．，的周長為，，，那么長（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形對應邊相等是解題的關鍵．根據(jù)全等三角形對應邊相等，可得，再結合已知的三角形周長和邊即可計算出的長度．【詳解】解：∵，且的周長為，∴，且的周長為，∵，，∴，∴．故選：A．22．已知圖中的兩個三角形全等，則等于（

）A．72° B．60° C． D．【答案】A【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)．直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對應角相等，進而得出答案．【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)得：是邊a和c的夾角，∴，故選：D．23．如圖，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵，∴，，，，不能判斷∴選項A、C、D均不符合題意，選項B符合題意．故選：B．24．如圖，已知，若，，求的長．【答案】10【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進而求出，則．【詳解】解：，．，∴，．七、用SSS證明三角形全等（共6小題）25．工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法如下：如圖，是一個任意角，在邊、上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點M、N重合，過角尺頂點C作射線，由此作法便可得，其依據(jù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)題意，利用“”可得結論．【詳解】解：在和中，，∴，故由“”可得，故選：A．26．如圖，，，若要用“”證明，則還需要添加的條件是（

）A． B． C． D．不需要添加【答案】D【分析】本題考查了三角形全等的判定，根據(jù)，結合公共邊直接判斷即可得到答案；【詳解】解：∵，，，∴，∴不需要添加條件，故選：D．27．如圖，勤勞的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分別位于蜂房（由若干個正六邊形拼成向陽面的一側勞作，若任何不共線三點位置都可以組成一個三角形，則與全等的三角形是．【答案】，【分析】本題主要考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．根據(jù)全等三角形的判定定理結合圖形進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圖象可知和及全等，理由是：∵根據(jù)圖形可知，在和中，∴，根據(jù)圖形可知，在和中，∴，故答案為：，．28．如圖，點是，的中點，要用“”證明，則只需添加一個適當?shù)臈l件是．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握“”證明兩個三角形全等是解決問題的關鍵；根據(jù)證明的方法選擇添加的條件．先根據(jù)線段中點的定義得到，，則用“”證明需要添加．【詳解】解：點是，的中點，，，當添加時，．故答案為：．29．如圖，．(1)求證：；(2)求度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關鍵．（1）利用即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)周角定義求解即可．【詳解】（1）證明：在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．30．在數(shù)學活動課時，我們定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形是一個箏形，其中，．(1)求證：(2)證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；（1）連接與交于點，直接根據(jù)證明即可；（2）由得到再證明，得到，根據(jù)即可得到．【詳解】（1）證明：連接與交于點，在與中，，，，∴，（2）證明：∵，∴，在與中，，，，∴，∴，∵，∴，∴，八、用SAS證明三角形全等（共6小題）31．如圖，在，中，，，，C，D，E三點在同一直線上，連接，以下四個結論

①；②；③；④．其中結論正確的是．（把正確結論的序號填在橫線上）．【答案】①③④【分析】由，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，從而得出三角形與三角形全等，由全等三角形的對應邊相等得到，本選項正確；由三角形與三角形全等，得到一對角相等，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進而得到，本選項不正確；再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到，本選項正確；利用周角減去兩個直角可得答案；【詳解】解：，即：在和中，本選項正確；為等腰直角三角形，，本選項不正確；即,∴，本選項正確；，本此選項正確；故答案為：①③④．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．32．如圖，，，添加條件，可以根據(jù)“”得到．【答案】【分析】此題考查了添加條件證明兩個三角形全等，正確掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等推出，結合已知條件，若根據(jù)“”得到，則應添加的條件為．【詳解】解：∵，∴，若，則在和中∴，故答案為：．33．如圖，點A、、、在一條直線上，，，．(1)求證：；(2)判斷、的關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，，見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)等知識點，證得是解題的關鍵．（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)以及線段的和差可得、，再結合即可證明結論；（2）運用全等三角形的性質(zhì)可得，；再根據(jù)內(nèi)錯角相等、兩直線平行即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴；∵，∴，即．在和中∴．（2）解：，，理由如下：∵，∴，；∴．34．如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，，．(1)在下列條件①；②；③中，只添加一個條件就可以證得，則所有可以添加的條件的序號是________．(2)根據(jù)已知及(1)中添加的一個條件，證明．【答案】(1)②③(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）根據(jù)全等三角形的判定定理逐一判斷即可；（2）證明即可得出結論．【詳解】（1）解：，，又，添加①無法證得；添加②根據(jù)可證得；添加③根據(jù)可證得；所有可以添加的條件的序號是②③，故答案為：②③；（2）添加②，在與中，)，；添加③，在與中，)，．35．如圖，已知點、是內(nèi)兩點，且，，，．(1)求證：≌；(2)延長、交于點，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，正確的找出全等三角形的對應邊和對應角是解題的關鍵．（1）先由推導出，再根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明；（2）由求得，再由全等三角形的對應角相等求得，則，再由求得的度數(shù)．【詳解】（1），，，在和中，，∴≌．（2），，，．36．如圖，，請?zhí)砑右粋€條件，使．(1)你添加的條件是______（只需添加一個條件）；(2)利用（1）中添加的條件，求證：．【答案】(1)（答案不唯一）(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定義．解題的關鍵是正確尋找判定三角形全等的條件，靈活運用所學知識解決問題．（1）由題意得到，推出，，再根據(jù)判定定理得添加一個條件為，即可使；（2）根據(jù)三角形全等的判定定理證明即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，，由得添加一個條件為，故答案為：（答案不唯一）；（2）證明：，，，即，在和中，，．九、用ASA（AAS）證明三角形全等（共68小題）37．如圖，已知，只要再添加一個條件：，就能使．（填一個即可）

【答案】或者（答案不唯一）【分析】本題考查了全等三角形全等的判定，判定兩個三角形全等，已知，且由圖可知為和的一條公共邊，由根據(jù)全等三角形全等的判定定理，根據(jù)再添加條件即可．【詳解】解：所添加條件為：或；①∵，，為公共邊，∴；②∵，，為公共邊，∴；故答案為：或（答案不唯一）．38．如圖，，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．由可得，即可證明．【詳解】解：，，，在和中，，．39．如圖，、、三點在同一條直線上，，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判斷及性質(zhì)，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．（1）利用平行線的性質(zhì)證出角相等，再通過證出，即可解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，又∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．40．如圖，在中，．(1)求證：．(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）由題意可得：，再根據(jù)，推出，再利用證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)，即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴；（2）證明：∵，∴，∴．41．如圖，點E、B、F、C在同一條直線上，，，(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，利用證明是解題的關鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及線段的和差得出，，利用證明，即可得解；（2）全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，，在與中，，，；（2）解：，，，．42．如圖，四邊形中，對角線、BD交于點，，點是BD上一點，且，．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．（1）證明，可得出結論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出答案．【詳解】（1）證明：，，即：，在和中，，∴，；（2）解：由（1）得，，，，．43．小明在物理課上學習了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進一步的探究．在一個支架的橫桿點O處用一根細繩懸掛個小球A，小球A可以自由擺動，如圖，表示小球靜止時的位置，當小明用發(fā)聲物體靠進小球時，小球從擺到位置，此時過點B作于點D，且測得到點B到的距離為；當小球擺到位置時，與恰好垂直（圖中的A，B，O，C在同一平面上），過點C作于點E，測得點C到的距離為．(1)判斷CE與的數(shù)量關系，并證明；(2)求兩次擺動中點B和C的高度差DE的長．【答案】(1)．理由見解析；(2)．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關結論即可．（1）證即可求解；（2）由題意得：，根據(jù)得出，即可求解；【詳解】（1）解：．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴（2）解：由題意得：，∵，∴，∴，∴兩次擺動中點B和C的高度差DE的長為．44．是經(jīng)過的頂點的一條直線，，，分別是直線上的兩點，連接，，．(1)如圖①，若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且點，在射線上，．求證：；(2)如圖②，若直線不經(jīng)過的內(nèi)部，，猜想線段，，之間的數(shù)量關系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)，見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．（1）由題可得，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，則，，即可得出．（2）同（1）可得，則，，再由即可得出．【詳解】（1）在中，．，，．，．在和中，，，，．，．（2）．證明：，．在中，，．在和中，，，，，，．十、用HL證明三角形全等（共5小題）45．下列說法中錯誤的是（

）A．三角形的內(nèi)角平分線的交點到三邊的距離相等B．斜邊和一個銳角分別相等的兩個直角三角形全等C．兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等D．一邊長相等的兩個等腰直角三角形全等【答案】D【分析】本題考查三角形的知識，解題的關鍵是掌握三角形角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，進行解答，即可．【詳解】A、三角形的內(nèi)角平分線的交點到三邊的距離相等，正確，不符合題意；B、斜邊和一個銳角分別相等的兩個直角三角形全等，，正確，不符合題意；C、兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，，正確，不符合題意；D、一邊長相等的兩個等腰直角三角形全等，無法確定是直角邊還是斜邊，無法判定兩個三角形全等，錯誤，符合題意．故選：D．46．在和中，．下列條件中不能確定與全等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟悉各判定定理的內(nèi)容是關鍵；由條件知，兩個三角形有兩條邊對應相等，且一邊的對角也相等；對于四個選項中的條件，選項A、C按照判定方法即可作出判斷，對于選項B，舉出反例即可，對于選項D，分為銳角與鈍角兩種情況，分別過A、作，垂足分別為，先證明，再證明，最后可證明與全等，從而可判定選項D不符合題意；最后可得答案．【詳解】解：∵，∴當時，則，∴由可判定與全等；故A不滿足題意；當時，存在下面如圖情況時，此時與不全等；故B符合題意；當時，則有；∵，∴，∴，∴，∴由可判定與全等；故C不滿足題意；當時，且為銳角時，如圖，分別過A、作，垂足分別為，則，∵，∴，∴；∵，，∴，∴；∵，∴；當為鈍角時，分別過A、作，交的延長線于，同理可得；綜上，當時，；故D不滿足題意；故選：B．47．如圖，在中，點F在邊BC上，于點D，于點E，，，若，則．【答案】【分析】由HL可證的，可得，由平角的性質(zhì)可求解；【詳解】，，．在和中，，，，．故答案是．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準確計算是解題的關鍵．48．如圖，點是線段AB的中點，在線段AB的同側作，，過點作于點，過點作于點，已知．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查全等三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，進行解答，即可．（1）根據(jù)題意，則，等量代換得，根據(jù)，，則，根據(jù)，則，即可；（2）由（1）可得，，則，根據(jù)，即可．【詳解】（1）解：證明如下：∵點是線段AB的中點，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．（2）解：證明如下：∵，∴，∵，∴，∴．49．已知：如圖，，，垂足分別為，，，與相交于點．(1)求證∶；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相關的知識．（1）連接，根據(jù)題意證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）由，，，可得，再根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，在和中，，，；（2），，，，，．十一、添加條件證明三角形全等（共6小題）50．如圖，，，添加下列哪個條件可以推證（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用全等三角形的判定方法進行推理即可．此題主要考查了三角形全等的判定方法，熟知判定兩個三角形全等的一般方法：、、、、是解題的關鍵．【詳解】解：，，即，A、添加不能推證，不合題意；B、添加不能推證，不合題意；C、添加，得出，結合，，可利用能推證，符合題意；D、添加不能推證，不合題意；故選：C．51．如圖，，不能確定，這個條件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有、、、、，根據(jù)全等三角形的判定定理逐一判斷即可；【詳解】解：當添加時，結合，可得判定證明，故A不符合題意，當添加時，結合，不能證明，故B符合題意，當添加時，結合，可得判定證明，故C不符合題意，當添加時，結合，可得判定證明，故D不符合題意，故選：B．52．如圖，，，則下列增加的條件中不能證明的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理逐項分析即可得解，熟練掌握全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．【詳解】解：A、由于，，添加條件，不能用證明，故本選項符合題意；B、由于，，添加條件，可以利用證明，故本選項不符合題意；C、由于，，添加條件，可得，即，可以利用證明，故本選項不符合題意；D、由于，，添加條件，可以利用證明，故本選項不符合題意；故選：A．53．如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，，，若要使，需要添加的一個條件是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要查了全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定定理解答，即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，添加，可利用角邊角證明．故答案為：（答案不唯一）54．如圖，在中，是上一點，，，，三點共線，請?zhí)砑右粋€條件：，使得．（只添一種情況即可）【答案】或（答案不唯一）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．【詳解】，，．添加條件，可以使得，可得；添加條件，可以使得，可得．故答案為或（答案不唯一）．55．如圖，做一個“U”字形框架，其中足夠長，，點M從點B出發(fā)，向點A運動，同時點N從點B出發(fā)，向點Q運動，點M、N運動的速度之比為，當M、N兩點運動到某一瞬間同時停止，此時在射線上取點C，使與全等，求此時線段的長是多少？【答案】或【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，設，則，使與全等，由可知，分兩種情況：情況一：當，時，列方程解得t，可得；情況二：當，時，列方程解得t，可得．【詳解】解：∵點M、N運動的速度之比為，∴可設，則，，∵，∴使與全等，可分兩種情況：情況一：當，時，∵，，∴，解得：，∴；情況二：當，時，∵，，∴，解得：，∴，綜上所述，或．十二、結合尺規(guī)作圖的全等問題（共6小題）56．根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的的是（

）A．， B．，C．，， D．，，【答案】D【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐項進行判斷即可．【詳解】解：A、C選項中的條件沒有邊的長度，因此不能畫出唯一的，故A、C不符合題意；B選項只是知道兩邊的長度，不能畫出唯一的；D．已知兩角和這兩角的夾邊，能夠畫出唯一的，故D符合題意．故選：D．57．如圖，已知；，線段，求作．作法；（1）作線段；（2）在的同旁作，，與的另一邊交于點．則是所作三角形，這樣作圖的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查作圖—復雜作圖，全等三角形的判定，解題的關鍵是理解作圖過程中產(chǎn)生的相等元素，據(jù)此得出全等的判定方法．【詳解】解：由作圖可知，這個作圖的依據(jù)是：兩角夾邊對應相等的兩個三角形全等，即．故選C．58．程老師制作了如圖1所示的學具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題．操作學具時，點Q在軌道槽上運動，點P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運動，也能在軌道槽上運動，圖2是操作學具時，所對應某個位置的圖形的示意圖．有以下結論：①當，時，可得到形狀唯一確定的；②當，時，可得到形狀唯一確定的；③當，時，可得到形狀唯一確定的．其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B【分析】以為圓心，長為半徑畫弧，與射線有1個交點，則可得到形狀唯一確定的，否則不能得到形狀唯一確定的．根據(jù)此觀點進行解答便可．本題主要考查全等三角形的判定，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．【詳解】解：①當，時，以為圓心，6為半徑畫弧，與射線有兩個交點，則的形狀不能唯一確定，故①錯誤；②當，時，以為圓心，10為半徑畫弧，與射線有一個交點，點位置唯一確定，則可得到形狀唯一確定的，故②正確；③當，時，以為圓心，12為半徑畫弧，與射線有一個交點，點位置唯一確定，則可得到形狀唯一確定的，故③正確；故選：B．59．如圖，課本上給出了小明一個畫圖的過程，這個畫圖過程說明的事實是（

）

A．兩個三角形的兩條邊和夾角對應相等，這兩個三角形全等B．兩個三角形的兩個角和其中一角的對邊對應相等，這兩個三角形全等C．兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應相等，這兩個三角形不一定全等D．兩個三角形的兩個角和夾邊對應相等，這兩個三角形不一定全等【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)作圖可知：兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應相等，其中角的對邊不確定，可能有兩種情況，故三角形不能確定，所以兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應相等，這兩個三角形不一定全等，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解題的關鍵．60．如圖，已知點D是射線上一點且(1)過點E作的平行線；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)或【分析】本題考查作平行線，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)基本作圖-作一個角等于已知角，平行線的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．（1）利用尺規(guī)基本作圖-作一個角等于已知角，在一上，作即可；（2）分情況討論，當點F在上方時，利用平行線的性質(zhì)求出，再利用求解即可；當點F在下方時，利用鄰補角的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：以點O為圓心任意為半徑畫弧，交、于M、N，半徑不變，以點E為圓心畫弧，交于點P，再以點P為圓心長為半徑畫弧形，與前弧相交于F，過作直線即可．如圖所示，直線就是所要求作的直線，∵，，∴，∴，∴．（2）解：如圖，當點F在上方時，，，．，；當點F在下方時，．61．（1）尺規(guī)作圖中蘊含著豐富的數(shù)學知識和思想方法.如圖，為了得到，在用直尺和圓規(guī)作圖的過程中，得到的依據(jù)是（

）A．

B．

C．

D．（2）如圖，直線a是一條公路，M，N是公路a同側的兩個居民區(qū)，現(xiàn)計劃在公路a上修建一個公交候車亭O，及修建兩居民區(qū)M，N之間的道路，為了使最短，請在圖中作出點O的位置(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)．【答案】（1）B；（2）見解析【分析】（1）本題考查了全等三角形的判定定理，三邊對應相等的兩個三角形全等，以及作一個角等于已知角，根據(jù)用尺規(guī)畫一個角等于已知角的步驟，據(jù)此即可求解．（2）本題考查將軍飲馬模型，作關于直線a的對稱點，連接與直線a交于點,根據(jù)對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短，即可得到最短．【詳解】（1）解：根據(jù)做法可知：，，，∴，故選：B．（2）解：點O的位置如圖所示：十三、全等三角形的分類討論問題（共3小題）62．如圖，，，、分別為線段AB和射線BD上的一點，若點從點出發(fā)向點運動，同時點從點出發(fā)向點運動，二者速度之比為，運動到某時刻同時停止，在射線上取一點，使與全等，則的長為（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，與全等分兩種情況，一種情況是，另一種情況是，根據(jù)全等三角形對應邊相等分別求出點運動的時間，根據(jù)運動的時間和速度求出、的長度，再根據(jù)全等三角形對應邊相等確定的長度．【詳解】解：設運動的時間為秒，則，，，則，若，則有，則，解得：，此時；若，則有，則，解得：,此時，綜上所述，如果使與全等，則的長為或．故選：D．63．如圖，在長方形中，，，點從點出發(fā)，以秒的速度沿向點運動，設點的運動時間為秒：(1)________．（用t的代數(shù)式表示）(2)當t為何值時，？(3)當點從點開始運動，同時，點從點出發(fā)，以秒的速度沿向點運動，是否存在這樣的值，使得與全等？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，2或【分析】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)，列代數(shù)式，解本題的關鍵是全等三角形性質(zhì)的掌握．（1）根據(jù)點的運動速度可得的長；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出即可；（3）此題主要分兩種情況①得到，，②得到，，然后分別計算出的值，進而得到的值．【詳解】（1）解：點從點出發(fā)，以秒的速度沿向點運動，點的運動時間為秒時，，故答案案為：；（2）當時，，理由：，，，，，，（3）①當時，，，，，，，解得：，，，解得：；②當時，，，，，解得：，，，解得：．綜上所述：當或時，與全等．64．（1）提出問題：如圖1，在直角△中，，點正好落在直線上，則、的關系為．（2）探究問題：①如圖2，在直角△中，，，點正好落在直線上，分別作于點，于點，試探究線段、、之間的數(shù)量關系，并說明理由．②如圖3，將①中的條件改為：在△中，，、、三點都在上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問①中結論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）解決問題：如圖4，直線經(jīng)過△的直角頂點，△的邊上有兩個動點、，點以的速度從點出發(fā)，沿移動到點，點以的速度從點出發(fā)，沿移動到點，兩動點中有一個點到達終點后另一個點繼續(xù)移動到終點．過點、分別作，，垂足分別為點、，若，，設運動時間為，當以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等時，求此時的值．（直接寫出結果）【答案】（1）；（2）①，理由見解析；②成立．證明見解析；（3）當或或時，以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等．【分析】（1）利用平角的定義即可求解；（2）①先證明出，得出，，即可得出結果；②證明出，得出，，即可得出結論；（3）由以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置決定，故需要對，的位置分當在上，在上時或當在上，在上時，或當?shù)竭_，在上時，分別討論．【詳解】解：（1），，，故答案為：；（2）①，理由如下：直線，直線，，，，，，在△和△中，，，，，，故答案為：；②成立．證明如下：如圖2，，，，在△和△中，，，，，；（3）①當在上，在上時，即，，，以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等．，，；②當在上，在上時，即，，，，，；③當?shù)竭_，在上時，即，，，，，．綜上所述，當或或時，以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．十四、旋轉模型（共4小題）65．如圖，與都是等腰直角三角形，，，，交于點，連接，．(1)求證：；(2)可以看作是由繞某點旋轉得到的，若，則旋轉中心是點______，旋轉角的度數(shù)為______．【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】本題考查了全等三角形中的旋轉模型，掌握旋轉的相關性質(zhì)是解題關鍵．（1）推出，即可求證；（2）旋轉角為旋轉前后對應線段形成的角度，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：，，即，，，；（2）解：由題意可得：旋轉中心是點，旋轉角為或，∴旋轉角的度數(shù)為．故答案為：，66．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關系為______；位置關系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉，線段，交于點，則與之間的關系是否仍然成立？請說明理由．【答案】問題發(fā)現(xiàn)：，；拓展探究：成立，理由見解析【分析】問題發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目條件證△ACE≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；拓展探究：用SAS證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得．【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：延長BD，交AE于點F，如圖所示：∵，∴，又∵,∴（SAS），，∵，∴，∴，∴，，故答案為：，；拓展探究：成立．理由如下：設與相交于點，如圖1所示：∵，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，即，依然成立．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關系，手拉手模型，熟練掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解決本題的關鍵．67．【基本模型】（1）如圖1，是正方形，，當在邊上，在邊上時，請你探究、與之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．【模型運用】（2）如圖2，是正方形，，當在的延長線上，在的延長線上時，請你探究、與之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．【答案】（1），證明見解析（2），證明見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)．本題蘊含半角模型，遇到半角經(jīng)常要通過旋轉構造全等三角形．（1）結論：．將繞點順時針旋轉，使與重合，得到，然后求出，利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，從而得解；（2）結論：，證明方法同法（1）．【詳解】解：（1）結論：．理由：如圖1，將繞點順時針旋轉，使與重合，得到，

則：，，，∴，即：三點共線，，∴，∴，，在和中，，，，又，．（2）結論：．理由：如圖2，將繞點順時針旋轉，使與重合，得到，

則：，同法（1）可得：，，又，．68．在中，，點D是直線上一點（不與B、C重合），E是外一點，連接，已知，，連接(1)如圖1，點D在線段上，如果，則______度：(2)如圖2，當點D在線段上，試判斷與之間的數(shù)量關系，并說明理由；(3)當點D在線段CB的延長線上時，（2）中的結論是否成立？若不成立，請寫出新的結論并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)（2）中的結論不成立，當點在的延長線上時，．理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的常見模型－旋轉模型，掌握該模型的相關結論是解題關鍵．（1）證即可求解；（2）證即可求解；（3）證即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，即：，∵，，∴∵，，故答案為：（2）解：，理由如下：，，又，，即：，在和中，，；（3）解：（2）中的結論不成立，當點在的延長線上時，．理由如下：如圖所示：，，即：，在和中，，又，．十五、倍長中線模型（共3小題）69．如圖，在中，為的中點．(1)求證：；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的三邊關系．（1）延長到，使，連接，再由為中點得到，夾角為對頂角相等，利用得到三角形與三角形全等，利用全等三角形對應邊相等得到，在三角形中，利用三角形三邊關系即可得證；（2）根據(jù)與的長，利用由三角形的三邊關系，求出的范圍即可．【詳解】（1）證明：如圖，延長至點，使，連接．為的中點，，又，，，，；（2）解：，，，，即．70．如圖，已知，，是的中線．(1)若，，的取值范圍為______；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊之間的關系，三角形外角的性質(zhì)；（1）延長至，使，連接，于是證得得，再根據(jù)三角形三邊之間的關系得，由此可得AE的取值范圍；（2）根據(jù)（1）證明，由此可證明和全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出結論．【詳解】（1）延長至，使，連接．則是的中線，，在與中，，，，在中，，，，故答案為：，（2）∵，，，，．在與中，，，．，．71．在通過構造全等三角形解決問題的過程中，有一種方法叫做倍長中線法．(1)如圖（1），是的中線．且．延長至點．使．連接．求證：．(2)如圖（2），是的中線，點在的延長線上，，，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中線的定義．（1）由證明三角形全等可得出答案；（2）延長至M，使，先證明，進而得出，，即可得出，再證明，即可得出答案．【詳解】（1）證明：是的中線，在和中，，；（2）證明：延長至，使，是的中線，，且，，，，，，，，即，且，，.，，．十六、垂直模型（共6小題）72．如圖，三點在同一條直線上，，，．(1)求證：；(2)當滿足__________時，？【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．（1）根據(jù)證明，得出