河北省石家莊市第八十九中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024年度第一學(xué)期八年級期末考試數(shù)學(xué)試卷（冀教版）本試卷共6頁，考試時間120分鐘，滿分120分．注意事項：1．答卷前將密封線左側(cè)的項目填寫清楚．2．答案須用藍色、黑色鋼筆或圓珠筆書寫．一、選擇題（本大題共16個小題，共38分，1～6題，每小題3分；7～16小題，每小題2分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1.下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念是解決問題得關(guān)鍵．【詳解】解：圖案A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；圖案B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；圖案C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合題意；圖案D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；則既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有2個，故選：B．2.若最簡二次根式可以與合并，則的值可以是（）A.5 B.4 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】本題考查合并同類二次根式，涉及同類二次根式、最簡二次根式、合并同類二次根式等知識，由題意，將化為最簡二次根式，從而得到，解方程即可得到答案，熟記最簡二次根式及同類二次根式的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，是最簡二次根式，且可以與合并，，解得，故選：C．3.取下列各數(shù)時，使代數(shù)式有意義的是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】本題考查二次根式有意義的條件，涉及解不等式，掌握二次根式有意義的條件是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：代數(shù)式有意義，，解得，故選：D．4.下列分式中，最簡分式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了最簡分式的定義，根據(jù)最簡分式的定義逐個判斷即可，能熟記最簡分式的定義是解此題的關(guān)鍵，分式的分子和分母除了公因式1，再沒有其它的公因式，這樣的分式叫最簡分式．【詳解】解：A、，原分式不是最簡分式，故A不符合題意；B、是最簡分式，故B符合題意；C、，原分式不是最簡分式，故C不符合題意；D、，原分式不是最簡分式，故D不符合題意．故選：．5.用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，首先應(yīng)假設(shè)這個直角三角形中（）A.兩個銳角都大于45° B.兩個銳角都小于45C.兩個銳角都不大于45° D.兩個銳角都等于45°【答案】A【解析】【分析】用反證法證明命題的真假，應(yīng)先按符合題設(shè)的條件，假設(shè)題設(shè)成立，再判斷得出的結(jié)論是否成立即可．【詳解】用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應(yīng)先假設(shè)兩個銳角都大于45°．故選A．【點睛】本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．6.已知，則的平方根為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次根式的加減運算，平方根等知識．先根據(jù)題意得到，再根據(jù)一個數(shù)的平方根與算術(shù)平方根的關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴平方根為．故選：D7.如圖，已知，．要使，添加的條件可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定、平行的性質(zhì)；先利用題目已知條件推導(dǎo)出、，再根據(jù)選項一一判斷即可．【詳解】解：，，，，，可知B、C選項可由題目條件推導(dǎo)出，不可作為添加條件，故B、C選項不符合題意；若，則，故A選項符合題意；若，結(jié)合、得到“邊邊角”，不可判定三角形全等，故D選項不符合題意；故選：A．8.如圖所示，，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求得數(shù)軸上表示的點B與點A的距離，再利用實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系即可求得答案．【詳解】解：，，，故選：B．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系及勾股定理，利用勾股定理求得數(shù)軸上表示的點B與點A的距離是解題的關(guān)鍵．9.如圖所示，在等邊三角形中，，為上一點，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形，，得到，直線是線段的垂直平分線，繼而得到，結(jié)合計算即可．【詳解】∵等邊三角形，，∴，∴直線是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，故選B．10.如圖，△ABC在中，∠B＝45°，AC的垂直平分線交AC于點D．交BC于點E，且∠BAE與∠EAC的比為4：1，則∠C的度數(shù)為（）A.20° B.22.5° C.25° D.30°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線得出，推出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出．即可求出答案．【詳解】解：是的垂直平分線，，，，，與的比為，，，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．11.已知實數(shù)、滿足，且、恰好是等腰的兩條邊的邊長，則的周長是（）A.10 B.8 C.10或8 D.6【答案】A【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的非負(fù)性，等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系定理，先計算m，n的值，再根據(jù)分類思想計算即可．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)三角形的三邊為時，此時，三角形不存在；當(dāng)三角形的三邊為時，此時三角形存在，且周長為；故選：A．12.如圖，已知，點P在邊OA上，，點M，N在邊OB上，，若，則OM的長為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】過P作，根據(jù)等腰三角形形三線合一及直角三角形角所對直角邊等于斜邊一半即可得到答案．【詳解】解：過P作，∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，故選：C．．【點睛】本題考查等腰三角形形三線合一及直角三角形角所對直角邊等于斜邊一半，解題關(guān)鍵是作出輔助線．13.已知，，則與的關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次根式混合運算，涉及分母有理化、二次根式加減乘除混合運算等知識，熟練掌握分母有理化，根據(jù)選項運用二次根式加減乘除混合運算逐個驗證是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，A、，該選項錯誤，不符合題意；B、，該選項錯誤，不符合題意；C、，該選項錯誤，不符合題意；D、，該選項正確，符合題意；故選：D．14.對于，，有以下兩個結(jié)論：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，．對于這兩個結(jié)論，說法正確的是（）A.①對②不對 B.①不對②對 C.①②均對 D.①②均不對【答案】B【解析】【分析】先運用作差法得到，然后再根據(jù)x的取值分類討論即可解答．【詳解】解：∵∴當(dāng)時，，則，即①不正確；當(dāng)，即時，，則，即②正確．故選B．【點睛】本題主要考查了分式的加減、分式的大小比較等知識點，靈活運用分式的加減運算法則是解答本題的關(guān)鍵．15.如圖，點A、B在直線l的同側(cè)，點C在直線l上，且是等腰三角形．符合條件的點C有（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點；再以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點，然后作的垂直平分線，交直線于點，由此即可得．【詳解】解：如圖，以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點；再以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點，然后作的垂直平分線，交直線于點．則符合條件的點共有5個，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．16.如圖，在銳角三角形中，，的面積為8，平分．若、分別是、上的動點，則的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】本題考查了最短路線問題，角平分線的性質(zhì)，垂線段最短定理．過點作，垂足為點，交于點，過點作，垂足為點，根據(jù)“垂線段最短”，即可得為的值最小，再利用面積公式求出的值，即可得出答案，解題關(guān)鍵是利用垂線段最短解決最值問題．【詳解】解：如圖，過點作，垂足為點，交于點，過點作，垂足為點，平分，，，當(dāng)點與點重合時，的值最小，等于的值，，的面積為8，，，的最小值為4，故選：B．二、填空題（本大題共3個小題；共10分．17小題2分，18～19小題各4分，每空2分）17.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查平方差公式的逆用，先利用平方差公式得到，再代入求值即可．【詳解】解：，故答案為：．18.如圖，在四邊形中，，，連接，，，若為邊上一個動點，則長的最小值為______，若點為邊中點，則長為______.【答案】①.3②.【解析】【分析】由，，，，得∠ABD=∠DBC=30°，進而得到：BD=6，CD=2，BC=4，根據(jù)面積法和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求解.【詳解】∵，，，，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴BD=2AD=6，CD=BD÷=6÷=2，BC=2CD=4，當(dāng)DP⊥BC時，DP的值最小，此時，DP===3，當(dāng)點為邊中點，DP=BC=×4=2.故答案是：3，.【點睛】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握面積法求直角三角形斜邊上的高，是解題的關(guān)鍵.19.如圖，在中，，點為的中點，邊的垂直平分線交、、于點、、，連接、．（1）若，則的度數(shù)為______；（2）若，，則線段的長為______．【答案】①.##21度②.13【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)等知識；掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得，垂直平分，利用垂直平分線的性質(zhì)即可證明得，可知，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得，三角形外角的性質(zhì)得，即可解答；（2）根據(jù)，即有，，在（1）中已證明，，在中，有，則有，解之即可求解．【詳解】解：（1）∵，點為的中點，，∴平分，，則，垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∵，∴，∵在（1）中已證明，，∴，∵在中，有，∴，解得：．故答案為：13．三、解答題（本大題共7個小題；共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20.復(fù)習(xí)備考時，王老師在黑板上寫了一道分式化簡題的正確計算結(jié)果，隨后用字母A代替了原題目的一部分：（1）求代數(shù)式A，并將其化簡；（2）當(dāng)時，求x的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)被除式=商×除式，被減式=差+減式，然后根據(jù)分式的乘法和加法運算法則進行計算，即可解答；(2)利用(1)的結(jié)論可得，然后按照解分式方程的步驟進行計算即可解答．【小問1詳解】．解：由題意得：【小問2詳解】解：當(dāng)時，，去分母，得，解這個整式方程，得經(jīng)檢驗，是原分式方程解，故當(dāng)時，．【點睛】本題考查了解分式方程，分式的混合運算，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在中，是的垂直平分線，，D為的中點．（1）求證：（2）若，則【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，靈活運用垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由題意可判定垂直平分，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，即可證明結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求，由直角三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)，即可求得，的度數(shù)，進而可求解．小問1詳解】證明：連接，如圖所示：∵于點D，且D為線段的中點，∴垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．22.琪琪在解題“計算：”時，發(fā)現(xiàn)“▲”處的數(shù)字印刷不清楚．（1）若“▲”處的數(shù)字是，請計算結(jié)果；（2）若該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是．通過計算說明原題中“▲”是幾？【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查二次根式混合運算，涉及完全平方差公式、二次根式加減乘除運算、解方程等知識，熟練掌握二次根式混合運算法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)“▲”處的數(shù)字是時，代入式子，利用完全平方差公式及二次根式加減乘除混合運算法則求解即可得到答案；（2）設(shè)，則列出方程，利用完全平方差公式及二次根式加減乘除混合運算法則化簡得到，解方程即可得到答案．【小問1詳解】解：當(dāng)“▲”處的數(shù)字是時，；【小問2詳解】解：設(shè)，則，∴，∴，解得．23.如圖，中，，，是邊上的中線，過作，垂足為，過作交的延長線于．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握三角形全等的判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）證兩條線段相等，通常用全等，已經(jīng)有一組邊相等，一組角相等了，因此只需再找一組角即可利用角角邊進行解答；（2）得到即可求解．【小問1詳解】證明：∵，∴，∴，∴，在和中，∵，，，∴，∴．【小問2詳解】解：∵，∴，∵是邊上的中線，∴，在中，∵，且，∴，解得，∴．24.如圖，在中，，，，若點從點出發(fā)以的速度向點運動，點從點出發(fā)以的速度向點運動，設(shè)、分別從點、同時出發(fā)，運動的時間為．（1）線段______，______；（用含的式子表示）（2）當(dāng)為何值時，是以為底邊的等腰三角形？（3）當(dāng)為何值時，為直角三角形？【答案】（1）；（2）（3）3或【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，等腰三角形的定義，特殊直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確列出，關(guān)于的表示式，并根據(jù)等腰三角形的定義及含角直角三角形的性質(zhì)，列出一元一次方程．（1）根據(jù)路程時間速度，即可得出，關(guān)于的表示式；（2）根據(jù)等腰三角形的定義，得當(dāng)時是以為底的等腰三角形，列出方程，求解即可；（3）分情況討論：當(dāng)時，得，根據(jù)“直角三角形中，的角所對的邊等于斜邊的一半”，得，列出方程，求解即可；當(dāng)時，，得，列出方程求解即可．【小問1詳解】解：由題意得，，，故答案為：；．【小問2詳解】解：∵是以為底的等腰三角形，∴，即，解得，∴當(dāng)時，是以為底邊的等腰三角形．【小問3詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)時，∵，，∴，∴，∴，解得；②當(dāng)時，則，∵，∴，∴，即，解得，綜上所述，為3或時，為直角三角形．25.為了加快推進環(huán)境建設(shè)，構(gòu)建生態(tài)宜居城市，實現(xiàn)“河暢、水清、岸綠、景美”的目標(biāo)，九龍坡區(qū)計劃安排甲、乙兩個施工隊對一條全長為4100米的河道進行清淤施工．經(jīng)調(diào)查知：甲隊每天清淤的河道長度是乙隊每天清淤的河道長度的倍，甲隊清淤1200米的河道比乙隊清淤同樣長的河道少用2天．（1）甲、乙兩隊每天清淤的河道長度分別是多少米？（2）若該條河道先由甲隊單獨清淤2天，余下的河道由甲乙兩隊合作清淤．已知甲隊施工一天的費用為萬元，乙隊施工一天的費用為萬元，求完成該條河道清淤施工的總費用．【答案】（1）甲隊每天清淤的河道長度是300米，乙隊每天清淤的河道長度分別是200米；（2）完成該條河道清淤施工的總費用是萬元．【解析】【分析】（1）設(shè)乙隊每天清淤的河道長度是x米，則甲隊每天清淤的河道長度是米，利用工作時間=工作總量：工作效率，結(jié)合甲隊清淤1200米的河道比乙隊清淤同樣長的河道少用2天，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出乙隊每天清淤的河道長度，再將其代入中，即可得出甲隊每天清淤的河道長度；（2）設(shè)乙隊施工y天，則甲隊