第18講 向量的數(shù)量積問題（原卷版）

一．解答題（共16小題）1．已知圓O:x2+y2=2交拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在上方（1）求拋物線C的方程；（2）過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若MA丄MB，求直線l的斜率.2．已知拋物線C的焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)在原點(diǎn)且過點(diǎn)p(2,1)，過點(diǎn)(2,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的垂線交C于點(diǎn)N.（1）求拋物線C的方程；（2）是否存在直線l，使得以AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求其準(zhǔn)線方程；（2）是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線l，使得直線OA與l的距離等于若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由.（3）過拋物線C的焦點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與拋物線C相交于點(diǎn)M，N，l2與拋物線C相交于點(diǎn)D，E，求M--.-的最小值.4．已知E(2,2)是拋物線C:y2=2px上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)D(2,0)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)E)，直線EA，EB分別交直線x=—2于點(diǎn)M，N（1）求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程；（2）已知O為原點(diǎn)，求證：上MON為定值.5．已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F(0,1)，過點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F是它的一個頂點(diǎn)，且其離心率（1）分別求拋物線C和橢圓E的方程；（3）橢圓E上是否存在一點(diǎn)M/，經(jīng)過點(diǎn)M/作拋物線C的兩條切線M/A/，M/B/(A/，B/為切點(diǎn)使得直線A/B/過點(diǎn)F？若存在，求出點(diǎn)M/及兩切線方程，若不存在，試說明理由.6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(2,)在橢圓C上，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且OM丄ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn)證明：總存在一個確定的圓與直線l相切，并求該圓的方程.7．設(shè)A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時，ΔAMN為等腰直角三角形.（1）求雙曲線C的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F點(diǎn)距離的最小值為3，(ⅱ)已知直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的傾斜角變化時，以PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.橢圓有且僅有兩個公共點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，已知M，若為定值，則直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)和定值；若不經(jīng)過，請說明理由.9．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線C的左、右準(zhǔn)線與其一條漸近線y=2x的交點(diǎn)分別為A，B，四邊形AF1BF2的面積為4.（1）求雙曲線C的方程；10．已知橢圓的離心率為，以E的四個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為43.(Ⅱ)設(shè)A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，P是直線x=4上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，試探究，點(diǎn)B是否在以MN為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論. 11．已知橢圓過點(diǎn)且離心率e為.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線x=my1(m∈R)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.12．已知圓G:x2+y2xy=0，經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B，過圓外一點(diǎn)(m，0)(m>a)傾斜角為3的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部，求m的取值范圍.在該橢圓上.(Ⅱ)設(shè)P為直線x=4上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn)，若直線AP與橢圓相交于異于A的點(diǎn)M，證明：ΔMBP為鈍角三角形.14．設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線.(Ⅱ)設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).15．設(shè)A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且直線x=4是它的右準(zhǔn)線.(Ⅱ)設(shè)P為橢圓右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn)，若直線BP于橢圓相交于兩點(diǎn)B，N，求證：