集合間的基本關(guān)系（學案）-2021-2022學年高一數(shù)學教材配套學案（人教A版2019必修第一冊）含答案及解析

1.2集合間的基本關(guān)系【學習目標】素養(yǎng)目標學科素養(yǎng)1.理解子集、真子集、空集的概念；(重點)2.能用符號和Venn圖表示集合間的關(guān)系；(難點)3.掌握列舉有限集的所有子集的方法。1、邏輯推理2、直觀想象3、數(shù)形結(jié)合【自主學習】一.子集的相關(guān)概念1．Venn圖A表示：在數(shù)學中，經(jīng)常用平面上______的_____代表集合，這種圖稱為Venn圖，這種表示集合的方法叫做圖示法．A優(yōu)點：形象直觀。2.子集、真子集、集合相等

定義符號表示圖形表示子集如果集合A中的

元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集A

B(或B

A)

真子集如果集合A?B，但存在元素_________

，就稱集合A是集合B的真子集A

B(或B

A)

集合相等如果集合A的

元素都是集合B的元素，同時集合B的

元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等A

B

3.子集的性質(zhì)(1)任何一個集合是它本身的，即A?A.(2)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么.二.空集定義

的集合叫做空集符號用符號表示為___規(guī)定空集是任何集合的

，是任何非空集合的________【小試牛刀】1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)空集中只有元素0，而無其余元素．()(2)任何一個集合都有子集．()(3)若A＝B，則A?B.()(4)空集是任何集合的真子集．()2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，則下列各式正確的是()A．0?AB．{0}∈AC．?∈AD．{0}?A【經(jīng)典例題】題型一集合間關(guān)系的判斷點撥：判斷集合間關(guān)系的常用方法(1)列舉觀察法：當集合中元素較少時，可列出集合中的全部元素，通過定義得出集合之間的關(guān)系．(2)集合元素特征法：首先確定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系．(3)數(shù)形結(jié)合法：利用Venn圖、數(shù)軸等直觀地判斷集合間的關(guān)系．一般地，判斷不等式的解集之間的關(guān)系，適合畫出數(shù)軸．例1下列各式中，正確的個數(shù)是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4【跟蹤訓練】1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，則M與T的關(guān)系是()A．MTB．M?TC．M＝TD．M∈T(2)用Venn圖表示下列集合之間的關(guān)系：A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．題型二子集、真子集的個數(shù)問題點撥：公式法求有限集合的子集個數(shù)(1)含n個元素的集合有2n個子集.(2)含n個元素的集合有(2n－1)個真子集.(3)含n個元素的集合有(2n－1)個非空子集.(4)含n個元素的集合有(2n－2)個非空真子集.例2寫出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2-變式寫出集合{a,b,c}的所有子集?寫出集合{a,b,c,d}的所有子集?【跟蹤訓練】2滿足{a，b}?A{a，b，c，d，e}的集合A的個數(shù)是()A．2B．6C．7 D．8題型三根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)點撥：1.分析集合間的關(guān)系時，首先要分析、簡化每個集合．2.借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端點值，做到準確無誤，一般含“＝”用實心點表示，不含“＝”用空心點表示．3.此類問題要注意對空集的討論．例3已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B?A．求實數(shù)m的取值范圍．【跟蹤訓練】3設(shè)集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝eq\f(1,5)，試判定集合A與B的關(guān)系；(2)若B?A，求實數(shù)a的取值集合．【當堂達標】1.下列說法：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，則A≠?.其中正確的有()A．0個B．1個C．2個 D．3個2.已知集合A＝{－1,0,1}，則含有元素0的A的子集的個數(shù)為()A．2B．4C．6D．83.設(shè)A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A?B，則m的取值范圍是()A．m>3B．m≥3C．m<3D．m≤34.已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，則這兩個集合的關(guān)系是________．5.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B?A，求由實數(shù)a的值組成的集合C.6.已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．【課堂小結(jié)】1.知識點：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合間關(guān)系的判斷.(2)求子集、真子集的個數(shù)問題.(3)由集合間的關(guān)系求參數(shù)的值或范圍.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、分類討論.3.常見誤區(qū)：忽略對集合是否為空集的討論，忽視是否能夠取到端點.【參考答案】【自主學習】一．1.封閉曲線內(nèi)部2.任意一個??x∈B，且x?A任何一個任何一個＝3.子集A?C二．不含任何元素?子集真子集【小試牛刀】1．(1)×(2)√(3)√(4)×2.D解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}?A，D正確．【經(jīng)典例題】例1B解析：(1)對于①，是集合與集合的關(guān)系，應為{0}{0,1,2}；對于②，實際為同一集合，任何一個集合是它本身的子集；對于③，空集是任何集合的子集；對于④，{0}是含有單元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以?{0}；對于⑤，{0,1}是含有兩個元素0與1的集合，而{(0,1)}是以有序數(shù)組(0,1)為元素的單元素集合，所以{0,1}與{(0,1)}不相等；對于⑥，0與{0}是“屬于與否”的關(guān)系，所以0∈{0}．故②③是正確的，應選B.【跟蹤訓練】1(1)A解析：因為M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以MT.(2)根據(jù)幾何圖形的相關(guān)知識明確各元素所在集合之間的關(guān)系，再畫Venn圖．如圖例2解：集合{a,b}的所有子集為?，{a}，，{a,b}.真子集為?，{a}，.例2-變式：集合{a,b,c}的所有子集為?，{a}，，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}.集合{a,b,c,d}的所有子集為?，{a}，，{c}，7phbf9d，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}，{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}，{a,b,c,d}.【跟蹤訓練】2C解析：由題意知，集合A可以為{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．例3解：(1)因為B?A，當B＝?時，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)當B≠?時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，))解得－1≤m<2，綜上得m≥－1.【跟蹤訓練】3解：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，當a＝eq\f(1,5)時，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.(2)當B＝?時，滿足B?A，此時a＝0；當B≠?，a≠0時，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，由B?A得eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝5，所以a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5).綜上所述，實數(shù)a的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5)))【當堂達標】1.B解析：①空集是它本身的子集；②空集只有一個子集；③空集不是它本身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③錯誤，④正確．2.B解析：根據(jù)題意，含有元素0的A的子集為{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4個．3.B解析：因為A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A?B，將集合A，B表示在數(shù)軸上，如圖所示，所以m≥3.4.AB解析：A＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}，B＝{x|2x－5≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(5,2))))).結(jié)合數(shù)軸知AB.5.解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.所以A＝{1,2}．因為B?A，所以對B分類討論如下：①若B＝?，即方程ax－2＝0無解，此時a＝0；②若B≠?，則B＝{1}或B＝{2}．當B＝{1}時，有a－2＝0，即a＝2；當B＝{2}時，有2a－2＝0，即a＝1.綜上可知，符合題意的實數(shù)a所組成的集合C＝{0,1,2}．6.解：(1)因為B?A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以