吉林省吉化第一中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析

吉林省吉化第一中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)必刷試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，，則=（）A． B． C． D．2．已知P是雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，，記，PO，的斜率為，k，，若，-2k，成等差數(shù)列，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．3．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．4．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}時(shí)，A∩B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x≤2}D．?5．已知直線(xiàn)：與橢圓交于、兩點(diǎn)，與圓：交于、兩點(diǎn).若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．6．復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，則等于（）A． B． C． D．7．在中，，，，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，且，，則（）．A． B． C．4 D．98．設(shè)，，則的值為（）A． B．C． D．9．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．10．展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．128011．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．12．已知為圓：上任意一點(diǎn)，，若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為()A． B．C．（） D．（）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，則球O的體積為_(kāi)_____.14．若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后所得的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為_(kāi)_______________.15．已知，復(fù)數(shù)且（為虛數(shù)單位），則__________，_________．16．若曲線(xiàn)（其中常數(shù)）在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為1，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)C的方程為（），直線(xiàn)l的方程為.設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且，求r的值.18．（12分）（某工廠(chǎng)生產(chǎn)零件A，工人甲生產(chǎn)一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為，工人乙生產(chǎn)一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為．己知生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品零件A給工廠(chǎng)帶來(lái)的效益分別為10元、5元、2元.（1）試根據(jù)生產(chǎn)一件零件A給工廠(chǎng)帶來(lái)的效益的期望值判斷甲乙技術(shù)的好壞；（2）為鼓勵(lì)工人提高技術(shù)，工廠(chǎng)進(jìn)行技術(shù)大賽，最后甲乙兩人進(jìn)入了決賽．決賽規(guī)則是：每一輪比賽，甲乙各生產(chǎn)一件零件A，如果一方生產(chǎn)的零件A品級(jí)優(yōu)干另一方生產(chǎn)的零件，則該方得分1分，另一方得分-1分，如果兩人生產(chǎn)的零件A品級(jí)一樣，則兩方都不得分，當(dāng)一方總分為4分時(shí)，比賽結(jié)束，該方獲勝．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲總分為i時(shí)，最終甲獲勝的概率．①寫(xiě)出P0，P8的值；②求決賽甲獲勝的概率．19．（12分）已知圓O經(jīng)過(guò)橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)以及兩個(gè)頂點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓C上．求橢圓C的方程；若直線(xiàn)l與圓O相切，與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)l的傾斜角．20．（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點(diǎn)，與平面所成的角的正弦值為，求的長(zhǎng).21．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，，證明：.22．（10分）已知函數(shù)（1）已知直線(xiàn)：，：.若直線(xiàn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)在處的切線(xiàn)與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)，則當(dāng)，時(shí)，求證：①；②.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：化簡(jiǎn)集合故選C．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．2、B【解析】

求得雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程，設(shè)出的坐標(biāo)，由題意求得，運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式可得，，，再由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和離心率公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，且，由，可得以為圓心，為半徑的圓與漸近線(xiàn)交于，可得，可取，則，設(shè)，，則，，，由，，成等差數(shù)列，可得，化為，即，可得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要是漸近線(xiàn)方程和離心率，考查方程思想和運(yùn)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．3、C【解析】試題分析：設(shè)的交點(diǎn)為，連接，則為所成的角或其補(bǔ)角；設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則，所以，故C為正確答案．考點(diǎn)：異面直線(xiàn)所成的角．4、B【解析】試題分析：由集合A中的函數(shù)y=lg(4-x2)，得到4-x2>0，解得：-2<x<2，∴集合A={x|-2<x<2}，由集合B中的函數(shù)考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．5、A【解析】

由題意可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)即為圓心，由此得到坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線(xiàn)的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系，由此化簡(jiǎn)并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，且線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)即為的圓心，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用，難度一般.通過(guò)運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.6、A【解析】

先通過(guò)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，得到，再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，且復(fù)數(shù)，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)題意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，則在中，又,則則則則故選：B【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡(jiǎn)單題目.8、D【解析】

利用倍角公式求得的值，利用誘導(dǎo)公式求得的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，進(jìn)而求得的值，最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，，，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有誘導(dǎo)公式，正切倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，正切差角公式，屬于基礎(chǔ)題目.9、D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡(jiǎn)，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，，而，因?yàn)樵谏线f減，，即．故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式得到具體為：化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，或者第一個(gè)括號(hào)里出，第二個(gè)括號(hào)里出，具體為：化簡(jiǎn)得到-1280x2故得到答案為：A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).11、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，排除C和D.當(dāng)時(shí)，，，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.12、B【解析】

如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線(xiàn)知，，故軌跡為雙曲線(xiàn)，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線(xiàn)知，故，故軌跡為雙曲線(xiàn)，，，，故，故軌跡方程為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的外心，因?yàn)?，所以點(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)性，求得的最小值.【詳解】解：將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象.根據(jù)圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得，，，即時(shí)，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】∵復(fù)數(shù)且∴∴∴∴，故答案為，16、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由解方程即可.【詳解】由已知，，所以，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】

先將曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心到直線(xiàn)的距離，再由勾股定理，計(jì)算即得.【詳解】以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得曲線(xiàn)C：（）的直角坐標(biāo)方程為，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓.由直線(xiàn)l的方程，化簡(jiǎn)得，則直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線(xiàn)l的距離為d，則，又，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)和直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題.18、（1）乙的技術(shù)更好，見(jiàn)解析（2）①，；②【解析】

（1）列出分布列，求出期望，比較大小即可；（2）①直接根據(jù)概率的意義可得P0，P8；②設(shè)每輪比賽甲得分為，求出每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差數(shù)列，根據(jù)可得答案.【詳解】（1）記甲乙各生產(chǎn)一件零件給工廠(chǎng)帶來(lái)的效益分別為元、元，隨機(jī)變量，的分布列分別為10521052所以，，所以，即乙的技術(shù)更好（2）①表示的是甲得分時(shí)，甲最終獲勝的概率，所以，表示的是甲得4分時(shí)，甲最終獲勝的概率，所以；②設(shè)每輪比賽甲得分為，則每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，所以甲得時(shí)，最終獲勝有以下三種情況：（1）下一輪得1分并最終獲勝，概率為；（2）下一輪得0分并最終獲勝，概率為；（3）下一輪得分并最終獲勝，概率為；所以，所以是等差數(shù)列，則，即決賽甲獲勝的概率是.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，是一道難度較大的題目.19、（1）；（2）或【解析】

(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可求出與的值，從而得出橢圓的方程；(2)對(duì)直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，可求出，然后進(jìn)行檢驗(yàn)；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為,設(shè)點(diǎn)，先由直線(xiàn)與圓相切得出與之間的關(guān)系，再將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式并結(jié)合條件得出的值，從而求出直線(xiàn)的傾斜角.【詳解】（1）由題可知圓只能經(jīng)過(guò)橢圓的上下頂點(diǎn)，所以橢圓焦距等于短軸長(zhǎng)，可得，又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，即橢圓的方程為.（2）圓的方程為，當(dāng)直線(xiàn)不存在斜率時(shí)，解得，不符合題意；當(dāng)直線(xiàn)存在斜率時(shí)，設(shè)其方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，即.將直線(xiàn)與橢圓的方程聯(lián)立，得：，判別式，即，設(shè)，則，所以，解得，所以直線(xiàn)的傾斜角為或.【點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出，從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解決直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題．涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.20、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線(xiàn)，且，又，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）設(shè)，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過(guò)作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，由是中點(diǎn)，得到到平面的距離，然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線(xiàn)，且，又，，所以平面，所以.（Ⅱ）設(shè)，，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以，，過(guò)作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以為到平面的距離，因?yàn)榕c平面所成的角的正弦值為，即，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面垂直的判定定理，線(xiàn)面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法討論去掉絕對(duì)值求解；（2）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，不等式可化為.當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，.所以不等式的解集是.（2）證明：由，，得，，，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值不等式問(wèn)題的求解，含有絕對(duì)值不等式的解法一般是使用零點(diǎn)分段討論法.22、（1）（2）①證明見(jiàn)解析②證明見(jiàn)解析【解析】

（1）首先根據(jù)直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的求法，求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線(xiàn)與垂直列方程，解方程求得的值.（2）①構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時(shí)，，由此證得.②由①知成立，整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得，由此得到，即，化簡(jiǎn)后得到.【詳解】（1）由解得