高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：極限的運(yùn)算法則

極限的運(yùn)算法則證設(shè)且于是

定理2.6兩個(gè)無(wú)窮小之和為無(wú)窮小.即有

定理2.7

無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積為無(wú)窮小.定理2.7其實(shí)是比較法的直接推論.都是無(wú)窮小.例如,當(dāng)例2.13求解由有界,有練習(xí)計(jì)算解由有界,有幾個(gè)極限不存在的例子:因因定理2.8(極限四則運(yùn)算法則)

則有

證(2)設(shè)

故由

再由定理2.6

是無(wú)窮小.

所以是無(wú)窮小.

特別地

即:常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.有,都是無(wú)窮小,且在附近有界.有利用極限的運(yùn)算法則及我們可以求解一些簡(jiǎn)單的極限問(wèn)題:

例如,對(duì)任意的多項(xiàng)式函數(shù)注意:(1)和(2)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù).

例2.14

求

解由函數(shù)商的極限法則,有一般地,設(shè)

則商的法則不能使用.則當(dāng)時(shí),有解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得

練習(xí)求

解消去零因子法時(shí),分子、分母的極限都是零.例2.15

求

解時(shí),分子、分母的極限都是無(wú)窮大,例2.16

求

分子、分母同時(shí)除以

x的最高次冪.一般地,當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí),有解根式有理化

原式例2.17

求

解原式練習(xí)求

解先作恒等變形,使和式的項(xiàng)數(shù)固定,再求極限.和式的項(xiàng)數(shù)隨著n在變化,原式不能用運(yùn)算法則.方法:練習(xí)求

定理2.9(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限法則,為了求

如果

設(shè)復(fù)合函數(shù)在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義.

再求令(稱為變量代換),先求得

例2.18

求解由有如果定理2.10(函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系)則

且

例2.19證明不存在.

證令則

令由定理2.10,有則

如果

存在,設(shè)

矛盾。

由于數(shù)列可以看作特殊的函數(shù),因此復(fù)合函數(shù)的極限法則對(duì)數(shù)列同樣適用.抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后次序,

在數(shù)列中任意得到的數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列(簡(jiǎn)稱子列).

設(shè)在數(shù)列中,第一次抽取

第二次在后抽取抽取下去得到子數(shù)列

第三次在后抽取注意:

嚴(yán)格單調(diào)遞增，顯然有

無(wú)休止地如果數(shù)列收斂于A,

則它的任意子數(shù)列定理2.11(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)也收斂于A.有因例2.11考察數(shù)列的斂散性.

解由所以數(shù)列