高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：定積分在物理中的應(yīng)用

定積分在物理中的應(yīng)用

6.6.1變力沿直線所做的功由物理學(xué)知道,如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的且這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致.那么,在如果物體在運(yùn)動(dòng)的過程中所受的力是變化的,過程中有一個(gè)不變的力F作用在這物體上,物體移動(dòng)了距離

s時(shí),力F對(duì)物體所做的功為就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想.例1已知距離為r的兩個(gè)電荷間的作用力的大小為放在

r

軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處,它產(chǎn)生一個(gè)電場．把一個(gè)帶+q電量的點(diǎn)電荷場力將單位正電荷從

r=a移動(dòng)到r=b處時(shí),電場力對(duì)它所做的功．求電解功元素所求功為取

r

為積分變量，任取解建立坐標(biāo)系如圖例2一圓柱形蓄水池高為5米,底半徑3米,池內(nèi)盛滿了水.問要把池內(nèi)的水全部吸出,需做多少功?取

x為積分變量,這一薄層水的重力為功的元素為所求功為6.6.2液體的靜壓力由物理學(xué)知道,在水深為h處的壓強(qiáng)為

如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)

p不相等,平板一側(cè)所受的水壓力就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想．這里

是水的比重.如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處,那么,平板一側(cè)所受的水壓力為解建立坐標(biāo)系.oxyC(0,5)D(20,3)直線CD的方程為壓力元素例3某水庫的閘門是等腰梯形,上底長為10m,好位于水平面上,求閘門所受的水壓力.下底長為6m,高為20m,閘門與水面垂直,上底恰閘門所受的壓力為

解取液面上的某點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),

建立坐標(biāo)系.取

x為積分變量,例4邊長為a和b的矩形薄板對(duì)應(yīng)薄板上的小矩形的長為a,的密度為求薄板的一側(cè)所受的壓力.置于液體中,長邊平行于液面位于深h處,設(shè)液體與液面成角yOx寬為

小矩形的面積為小矩形一側(cè)所受壓力的元素為薄板所受壓力為相距為r的引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)間的連線方向.兩質(zhì)點(diǎn)間的引力大小為

但是若要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力,由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)間的距離是變化的,

簡單的情況下,可以用定積分來計(jì)算.

且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的,6.6.3引力由物理學(xué)可知,質(zhì)量分別為

用上述公式來計(jì)算.因此不能解建立坐標(biāo)系如圖將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn),小段的質(zhì)量為例5有一長度為l,線密度為r的均勻細(xì)棒,在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M,計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引