2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：方程與不等式（10題）

第1頁（共1頁）2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：方程與不等式（10題）一．填空題（共10小題）1．（2024?蒸湘區(qū)校級模擬）若點(diǎn)P（3x﹣6，1﹣2x）在第二象限，則x的取值范圍是．2．（2024?哈爾濱）不等式組x+2＞33x-8＜1的解集是3．（2024?濱州模擬）甲、乙兩同學(xué)同時從家出發(fā)，分別到距離家6千米和10千米的實踐基地參加勞動，若甲、乙的速度比是3：4，結(jié)果甲比乙提前20分鐘到達(dá)基地，求甲、乙的速度．若設(shè)甲的速度為3x千米/小時，則依據(jù)題意可列方程為．4．（2024?巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一個根為﹣2，則方程的另一個根為．5．（2024?徐匯區(qū)校級三模）分式方程x-ax+1=a有增根，則a的值是6．（2024?湖南）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為．7．（2024?墾利區(qū)模擬）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一個根為x1＝1，則另一個根x2＝．8．（2024?泰安二模）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一個根是x＝1，則a＝．9．（2024?邗江區(qū)校級三模）為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，提高學(xué)生籃球運(yùn)動競技水平，我市開展“市長杯”籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間賽一場）．現(xiàn)計劃賽程3天，每天安排5場比賽，則應(yīng)邀請個球隊參賽．10．（2024?吳忠一模）《代數(shù)學(xué)》中記載，形如x2+8x＝33的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個面積為x2的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個面積為2x的矩形，得到大正方形的面積為33+16＝49，則該方程的正數(shù)解為7﹣4＝3．”小唐按此方法解關(guān)于x的方程x2+12x＝m時，構(gòu)造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為64，則該方程的正數(shù)解為．

2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：方程與不等式（10題）參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．（2024?蒸湘區(qū)校級模擬）若點(diǎn)P（3x﹣6，1﹣2x）在第二象限，則x的取值范圍是x＜1【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；點(diǎn)的坐標(biāo)．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】x＜【分析】根據(jù)第二象限內(nèi)橫坐標(biāo)小于零，縱坐標(biāo)大于零，建立一元一次不等式組求解，即可解題．【解答】解：∵點(diǎn)P（3x﹣6，1﹣2x）在第二象限，∴3x-解①得：x＜2，解②得：x＜則x的取值范圍是x＜故答案為：x＜【點(diǎn)評】本題考查象限內(nèi)的坐標(biāo)特征，以及求一元一次不等式組的解集，熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．2．（2024?哈爾濱）不等式組x+2＞33x-8＜1的解集是1＜【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】1＜x＜3．【分析】依據(jù)題意，根據(jù)解不等式組的一般方法，先分別解出不等式的解集再找出公共部分，從而可以判斷得解．【解答】解：x+2＞由①得，x＞1，由②得，x＜3，∴原不等式組的解集為：1＜x＜3．故答案為：1＜x＜3．【點(diǎn)評】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題時要熟練掌握并能準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵．3．（2024?濱州模擬）甲、乙兩同學(xué)同時從家出發(fā)，分別到距離家6千米和10千米的實踐基地參加勞動，若甲、乙的速度比是3：4，結(jié)果甲比乙提前20分鐘到達(dá)基地，求甲、乙的速度．若設(shè)甲的速度為3x千米/小時，則依據(jù)題意可列方程為63x=【考點(diǎn)】由實際問題抽象出分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】63x【分析】由甲、乙兩人速度之間的關(guān)系可得出乙的速度為每小時4xkm，利用時間＝路程÷速度，結(jié)合甲比乙提前20min到達(dá)目的地，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解答】解：∵甲、乙的速度比是3：4，甲的速度為3x千米/小時，∴乙的速度為4x千米/小時，根據(jù)題意，得63x故答案為63x【點(diǎn)評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．4．（2024?巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一個根為﹣2，則方程的另一個根為4．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題．【解答】解：令方程的另一個根為m，因為方程的一個根為﹣2，所以﹣2+m＝2，解得m＝4，所以方程的另一個根為4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2024?徐匯區(qū)校級三模）分式方程x-ax+1=a有增根，則a的值是﹣1【考點(diǎn)】分式方程的增根．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母x+1＝0，得到x＝﹣1，然后代入整式方程算出a的值即可．【解答】解：方程兩邊同時乘以x+1得，x﹣a＝a（x+1），∵方程有增根，∴x+1＝0，解得x＝﹣1．∴﹣1﹣a＝0，解得a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的增根，先根據(jù)增根的定義得出x的值是解答此題的關(guān)鍵．6．（2024?湖南）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為2．【考點(diǎn)】根的判別式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣8k＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8k＝0，解得：k＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握Δ＝0有兩個相等的實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．7．（2024?墾利區(qū)模擬）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一個根為x1＝1，則另一個根x2＝2．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x2+1＝3，求出即可．【解答】解：則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝1+x2=-＝3，解得：x2＝2，即方程的另一個根為2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：當(dāng)x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩個根時，那么x1+x8．（2024?泰安二模）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一個根是x＝1，則a＝﹣1．【考點(diǎn)】一元二次方程的解；一元二次方程的定義．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣1．【分析】把x＝1代入一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0得a﹣1+a2﹣a＝0，再解方程，然后利用一元二次方程的定義得到滿足條件的a的值．【解答】解：把x＝1代入方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0得a﹣1+a2﹣a＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，因為a﹣1≠0，所以a的值為﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．9．（2024?邗江區(qū)校級三模）為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，提高學(xué)生籃球運(yùn)動競技水平，我市開展“市長杯”籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間賽一場）．現(xiàn)計劃賽程3天，每天安排5場比賽，則應(yīng)邀請6個球隊參賽．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】6．【分析】設(shè)應(yīng)邀請x個球隊參賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間賽一場），x個球隊比賽總場數(shù)為12【解答】解：設(shè)應(yīng)邀請x個球隊參賽，由題意得：12解得：x＝6或x＝﹣5（不符合題意，舍去），即應(yīng)邀請6個球隊參賽，故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2024?吳忠一模）《代數(shù)學(xué)》中記載，形如x2+8x＝33的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個面積為x2的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個面積為2x的矩形，得到大正方形的面積為33+16＝49，則該方程的正數(shù)解為7﹣4＝3．”小唐按此方法解關(guān)于x的方程x2+12x＝m時，構(gòu)造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為64，則該方程的正數(shù)解為4．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；模型思想．【答案】4．【分析】根據(jù)已知的數(shù)學(xué)模型，同理可得空白小正方形的邊長為3，先計算出大正方形的面積＝陰影部分的面積+4個小正方形的面積，可得大正方形的邊長，從而得結(jié)論．【解答】解：x2+12x＝m，∵陰影部分的面積為64，∴x2+12x＝64，設(shè)4a＝12，則a＝3，同理：先構(gòu)造一個面積為x2的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個面積為3x的矩形，得到大正方形的面積為64+32×4＝64+36＝100，則該方程的正數(shù)解為10﹣6＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．2．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．3．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．4．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反過來也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．5．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運(yùn)動點(diǎn)問題：物體運(yùn)動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．6．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分