專題32 中考命題核心元素有關(guān)角平分線的問題（解析版）

專題32中考命題核心元素有關(guān)角平分線的問題（解析版）

模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練

模型一過角平分線上的點向角角的一邊或兩邊作垂線構(gòu)造全等三角形

【模型解讀】“圖中有角平分線和一邊的垂線，可向另一邊作垂線”．

（2021秋?依安縣期末）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，

BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于（）

A．5B．7C．10D．3

思路引領(lǐng)：作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到EF＝DE＝2，根據(jù)三角形面積公式計算即可．

解：作EF⊥BC于F，

∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，

∴EF＝DE＝2，

∴△BCE的面積BC×EF＝5．

1

故選：A．=2×

總結(jié)提升：本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．

針對訓(xùn)練

1．（2022?蘇州模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點D，DE⊥AB

于點E，且AB＝6cm，則△DEB的周長為（）

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A．4cmB．6cmC．10cmD．不能確定

思路引領(lǐng)：根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CD＝DE，利用“HL”證明△ACD和△AED

全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC＝AE，然后求出△DEB的周長．

解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴CD＝DE，

在△ACD和△AED中，

，

??=??

∴?△?=AC?D?≌△AED（HL），

∴AC＝AE，

∴△DEB的周長＝BD+DE+BE，

＝BD+CD+BE，

＝BC+BE，

＝AC+BE，

＝AE+BE，

＝AB，

∵AB＝6cm，

∴△DEB的周長為6cm．

故選：B．

總結(jié)提升：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記性

質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．

2．（2022秋?廣州校級月考）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分線，DE

⊥AB于點E．

（1）求∠EDA的度數(shù)；

（2）若AB＝10，AC＝8，DE，求點D到AC的距離．

40

=93

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思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)∠B＝50°，∠C＝70°，求出∠BAC＝60°，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠EDA

即可；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．

解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，

∴∠BAC＝60°，

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAD∠BAC＝30°，

1

∵DE⊥AB=，2

∴∠DEA＝90°

∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°；

（2）過點D作DF⊥AC于點F．

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，

∴DF＝DE．

40

=93

∴點D到AC的距離為．

40

3

9

總結(jié)提升：此題考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

模型二角平分線遇平行線找等腰三角形或作平行線構(gòu)造等腰三角形

【模型解讀】如圖，點P在∠AOB的平分線上，若過點P作PQ∥OB，交OA于點Q，則△POQ是

等腰三角形．

典例2如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，過點I作DE∥BC交AB于點D，交AC

于點E．

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（1）你能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？把它們一一列出來，并加以證明；

（2）若AB＝7，AC＝5，求△ADE周長；

（3）如圖，作∠ABC與∠ACB的外角平分線，它們交于點O，過點O作BC的平行線，分別交AB、AC

的延長線于點F、G，你還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？（至少寫三個），并加以證明．

思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明△BDI和△CEI是等腰三角形，再由等腰三

角形的性質(zhì)得BD＝DI，CE＝EI．

（2）根據(jù)△ADE的周長＝AD+AE+ED＝AD+AE+DI+IE＝AB+AC即可求得．

（3）先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明△BFO和△CGO是等腰三角形，再由等腰三角形的性

質(zhì)得BF＝OF，CG＝OG，根據(jù)平行線的判定方法即可得出

DE∥FG．

解：（1）BD＝DI，CE＝EI，

∵BI平分∠ABC，

∴∠DBI＝∠CBI，

∵DE∥BC，

∴∠CBI＝∠DIB，

∴∠DBI＝∠DIB，

∴BD＝DI，

同理IE＝EC，

（2）∵AB＝7，AC＝5，

∴△AED的周長＝AD+AE+ED＝AB+AC＝7+5＝12．

（3）BF＝OF，CG＝OG，DE∥FG，

∵BO平分∠FBC，

∴∠FBO＝∠CBO，

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∵FG∥BC，

∴∠CBO＝∠FOB，

∴∠FBO＝∠FOB，

∴BF＝OF，

同理CG＝OG，

∵DE∥BC，F(xiàn)G∥BC，

∴DE∥FG，

總結(jié)提升：本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)．有效的進行線段的等量代換

是正確解答本題的關(guān)鍵．

針對訓(xùn)練

1．（2020?恩施州模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，連接AD，BE平分∠ABC交

AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F．

（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)．

（2）求證：FB＝FE．

思路引領(lǐng)：（1）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠

ABC即可解決問題．

（2）只要證明∠FBE＝∠FEB即可解決問題．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC，

∵∠C＝36°，

∴∠ABC＝36°，

∵D為BC的中點，

∴AD⊥BC，

∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．

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（2）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠EBC，

又∵EF∥BC，

∴∠EBC＝∠BEF，

∴∠EBF＝∠FEB，

∴BF＝EF．

總結(jié)提升：本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于

中考?？碱}型．

2．（2022春?濱江區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，BF分別平分∠DAB和∠ABC，交邊

CD于點E，F(xiàn)，線段AE，BF相交于點M．

（1）求證：AE⊥BF；

（2）若EF．則AB＝．

1

=4??=3

思路引領(lǐng)：（1）證明∠BAE+∠ABF＝90°，即可推出∠AMB＝90°，即AE⊥BF；

（2）證明DE＝AD，CF＝BC，再利用平行四邊形的性質(zhì)AD＝BC，證出DE＝CF，得出DF＝CE，由已

知得出BC＝AD＝4EF，DE＝4EF，求出DF＝CE＝3EF，得出AB＝CD＝7EF，即可得出結(jié)果．

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，

∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，

∴∠AMB＝90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：∵在平行四邊形ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA＝∠EAB，

又∵AE平分∠DAB，

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∴∠DAE＝∠EAB，

∴∠DEA＝∠DAE，

∴DE＝AD，

同理可得，CF＝BC，

在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，

∴DE＝CF，

∴DF＝CE，

∵EFAD，

1

∴BC=＝4AD＝4EF，

∴DE＝4EF，

∴DF＝CE＝3EF，

∴AB＝CD＝7EF＝21，

故答案為：21．

總結(jié)提升：本題考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．

模型三利用角平分線結(jié)腸或補短構(gòu)造對稱圖形

【模型解讀】如圖，P是∠AOB的平分線上一點，點M是射線OA上任意一點，在OB上截取ON＝OM，

連接PN，則△OPM≌△OPN

典例3（2022秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平

分線．延長BD至E，使DE＝AD，連接EC

（1）直接寫出∠CDE的度數(shù)：∠CDE＝；

（2）猜想線段BC與AB+CE的數(shù)量關(guān)系為，并給出證明．

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思路引領(lǐng)：（1）由角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠CDE的度數(shù)；

（2）在BC上截取BF＝AB，由“SAS”可證△ABD≌△FBD，可得AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°，

可得∴FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，由“SAS”可證△CDF≌△CDE，可得CE＝CF，

則可得結(jié)論．

解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝20°

∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE，

故答案為：60°

（2）BC＝AB+CE

理由如下：如圖，在BC上截取BF＝AB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝BF，

∴△ABD≌△FBD（SAS）

∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°

∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD

∴△CDF≌△CDE（SAS）

∴CE＝CF，

∴BC＝BF+CF＝AB+CE

故答案為：BC＝AB+CE

總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是

本題的關(guān)鍵．

針對訓(xùn)練

1．（2019秋?新?lián)釁^(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CD是△ABC的角平分線，BE與CD

相交于點P．

（1）求∠BPC的度數(shù)；

（2）求證：BC＝BD+CE．

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思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠PBC+∠PCB＝60°，則可求出答案；

（2）在CB上取點G使得CG＝CE，證明△CPE≌△CPG（SAS），得出∠CPG＝∠CPE＝60°，證明△

BPD≌△BPG（ASA），得出BD＝BG，可以求得BD+CE＝BC．

解：（1）∵BE，CD是△ABC的角平分線，

∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，

11

∵∠A＝6=0°2，=2

∴∠BPC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣60°）＝120°；

11

（2）證明：在BC?上2取點G使得CG＝CE，?2

∵∠BPC＝120°，

∴∠BPD＝∠CPE＝60°，

在△CPE和△CPG中，

，

??=??

∠???=∠???

∴??△=CP?E?≌△CPG（SAS），

∴∠CPG＝∠CPE＝60°，

∴∠BPG＝120°﹣60°＝60°＝∠BPD，

在△BPD和△BPG中，

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，

∠???=∠???

??=??

∴∠△??B?PD=≌∠△??B?PG（ASA），

∴BD＝BG，

∴BD+CE＝BG+CG＝BC．

總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵．

2．（2020秋?海曙區(qū)期中）如圖，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點D作直線分別交AB、AC于點E、

F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列問題：

（1）證明：ED＝FD；

（2）試找出∠BDC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）求EF的長．

思路引領(lǐng)：（1）過D點分別作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分別為G，K，H，結(jié)合角平分線的

性質(zhì)，利用AAS證明△EKD≌△FHD可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理可得∠BDC（180°﹣∠A）＝180°，進而可求解；

1

（3）先證明∠5＝∠3，∠1＝∠6，則可判斷△BED∽△CED，+利2用相似比可計算出ED，從而EF的長．

（1）證明：過D點分別作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分別為G，K，H，如圖，

∴∠EKD＝∠FHD＝90°，

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴DK＝DG＝DH，

在△EKD和△FHD中，

，

∠???=∠???

∠???=∠???

∵?A?E=＝?A?F

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∴∠AEF＝∠AFE，

∴△EKD≌△FHD（AAS），

∴ED＝FD；

（2）解：∠BDC＝90°∠A．

1

理由如下：+2

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB，

11

==

∴∠DBC+∠2DCB（∠ABC+2∠ACB），

1

∵∠BDC+∠DBC+=∠2DCB＝180°，

∴∠BDC（∠ABC+∠ACB）＝180°，

1

∵∠A+∠+AB2C+∠ACB＝180°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∴∠BDC（180°﹣∠A）＝180°，

1

+

∴∠BDC＝290°∠A；

1

（3）解：如圖，+2

∵BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，

∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，

∵∠AEF＝∠AFE，

∴∠1+∠5＝∠3+∠6，

∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，

∴△BED∽△CED，

∴ED：CF＝BE：DF，

∵DE＝DF，

則2＝＝×＝，

EDCF?BE248

則ED，

=22

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∴EF＝2ED．

=42

總結(jié)提升：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)

角和定理等知識的綜合運用，靈活運用角平分線的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．也考查了相似三角形的判

定與性質(zhì)．

模型四延長垂直于角平分線的垂線段構(gòu)造等腰三角形

【模型解讀】角平分線上遇垂直，延長下去構(gòu)等腰

典例4（2020秋?饒平縣校級期末）如圖，已知AD∥BC，點E為CD上一點，AE、BE分別平分∠DAB、

∠CBA、BE交AD的延長線于點F．

（1）求證：△ABF是等腰三角形；

（2）求證：AD+BC＝AB．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定解答即可；

（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．

證明：（1）∵BE平分∠CBA，

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∴∠ABF＝∠CBF．

∵AD∥BC，

∴∠CBF＝∠F．

∴∠ABF＝∠F．

∴AB＝AF，

∴△ABF是等腰三角形．

（2）∵AB＝AF，AE平分∠BAF，

∴BE＝FE．

∵AD∥BC，

∴∠CBE＝∠F，∠C＝∠CDF．

在△BCE和△FDE中，

∠???=∠?

∠?=∠???

∴?△?=BC?E?≌△FDE（AAS），

∴BC＝DF．

∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB．

總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解

題的關(guān)鍵．

針對訓(xùn)練

1．（2019秋?溧水區(qū)期中）如圖，已知點D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若

AC＝9，BC＝5，則CD的長為．

思路引領(lǐng)：延長BD與AC交于點E，由題意可推出BE＝AE，依據(jù)等角的余角相等，即可得等腰三角形

BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根據(jù)AC＝9，BC＝5，即可推出BD的長度，再利用勾股定理即

可解決問題．

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解：延長BD與AC交于點E，

∵∠A＝∠ABD，

∴BE＝AE，

∵BD⊥CD

∴BE⊥CD，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ECD，

∵∠BCD+∠CBD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，

∴∠EBC＝∠BEC，

∴△BEC為等腰三角形，

∴BC＝CE，

∵BE⊥CD，

∴2BD＝BE，

∵AC＝9，BC＝5，

∴CE＝BC＝5，

∴AE＝AC﹣EC＝9﹣5＝4，

∴BE＝AE＝4，

∴BD＝2．

∴CD，

2222

故答案=為??．???=5?2=21

總結(jié)提升：2本1題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，比較簡單，關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，構(gòu)建等腰

三角形，通過等量代換，即可推出結(jié)論．

2．（2013秋?南崗區(qū)校級期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分線AD交BC于D，BE

⊥AD于E．

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（1）如圖1，求證：AC﹣AB＝2BE．

（2）如圖2，將∠DCA沿直線AC翻折，交BA的延長線于點M，連接MD交AC于點N；MA＝BA，BE

＝1，AB，求AN的長．

=2

思路引領(lǐng)：（1）延長BE交AC于F，由條件可以得出△AEB≌△AEF就可以得出BF＝2BE，進而求得

CF＝BF就可以得出結(jié)論；

（2）由軸對稱的性質(zhì)可以得出△BCA≌△MCA，可以得出△DBM是直角三角形，進而可以得出△DCM

是等腰直角三角形，就可以得出△MBD≌△CND就可以得出結(jié)論．

解：（1）如圖1，延長BE交AC于F．

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2．

∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝AEF＝90°．

在△AEB和△AEF中，

，

∠1=∠2

??=??

∴∠△??A?EB=≌∠△??A?EF（ASA）

∴AB＝AF，∠3＝∠4，BE＝FE，

∴BF＝2BE．

∵∠4＝∠5+∠C，

∴∠3＝∠5+∠C，

∵∠ABC＝∠3+∠5，

∴∠ABC＝∠5+∠C+∠5＝2∠5+∠C＝3∠C，

∴∠5＝∠C，

∴CF＝BF＝2BE．

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∵AC﹣AF＝FC，

∴AC﹣AB＝2BE；

（2）如圖2，作AH⊥BC于H，AK⊥CM于K，

∵∠ACH＝∠ACK，

∴AH＝AK，

∵AB＝AM，

∴△AHB≌△AKM，

∴∠ABH＝∠AMK，

∴CB＝CM，

∵AC＝AC，CB＝CM，AB＝AM，

∴△BCA≌△MCA，

∴AB＝AM，∠ACM＝∠ACB∠BCM，

1

∵AM＝AB，=2

∴AD＝AB＝AM，

∴△DBM是直角三角形，

∴∠BDM＝∠CDM＝90°．

∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝90°．

∵BE＝1，AB，由勾股定理，得

∴AE＝1，=2

∴AE＝BE，

∴∠BAE＝∠ABE＝45°．

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，

∴∠ABC+∠ACB＝90°．

∵∠ABC＝3∠ACB，

∴∠ACB＝22.5°，

∴∠BCM＝45°，

∴∠DMC＝45°，

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∴∠BCM＝∠DMC，

∴DM＝DC．

∵AM＝AB，∠ACM＝∠ACB，

∴∠CAM＝∠CAB＝90°，

∴∠ABC+∠ACB＝90°．

∵∠ABC+∠BMD＝90°，

∴∠ACB＝∠BMD．

在△MBD和△CND中

，

∠???=∠???

??=??

∴∠△??M?BD=≌∠△??C?ND（ASA），

∴CN＝BM＝2AB＝2，

∴AC＝2BE+AB＝22，

∴AN＝AC﹣CN＝2+2．

?2

總結(jié)提升：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系的運用，全等三角形的判定與性

質(zhì)的運用，勾股定理的性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用．解答時運用全

等三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．

模塊二2023中考押題預(yù)測

2

1．（2019秋?中山市期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm，

則AC的長為（）

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A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm

思路引領(lǐng)：過點D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面積公式列式計算即可得解．

解：過點D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，

∴DE＝DF＝4，

∵AB＝6，

∴S△ABC6×4AC×4＝30，

11

解得AC=＝29；×+2

故選：B．

總結(jié)提升：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并利用三

角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵．

2．（2020秋?蘭山區(qū)期末）如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，

BC＝20cm，則AM的長度為（）

A．20cmB．10cmC．5cmD．15cm

思路引領(lǐng)：延長DM交AB于點G構(gòu)造全等三角形，然后得出△ADG是等邊三角形即可求解．

解：延長DM交AB于點G，

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∵∠B＝∠C＝90°，

∴∠C＝∠MBG＝90°，

∵∠DMC＝∠BMG，MC＝MB，

∴△DMC≌△GMB（ASA），

∴DM＝GM，∠ADM＝∠CDM＝∠G∠ADC＝60°，

1

∴△ADG是等邊三角形，=2

∴AM⊥DG，

∴AM，

=3??

∵DM＝CM÷sin∠CDMcm，

203

∴AM＝20cm，=3

解法二：過點M作ME⊥AD．∵M是BC的中點，BC＝20cm，

∴CM＝BM＝10cm，

.∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，

∴ME＝CM＝10cm＝BM，

又∵∠B＝90°，ME⊥AD，

∴AM平分∠DAB，

∵∠B＝∠C＝90°，

∴DC∥AB，

∵∠ADC＝120°，

∴∠DAB＝60°，

∴∠EAM＝30°，

∴AM＝2ME＝20cm．

故選：A．

總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是利用中點構(gòu)造全等

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三角形．

3．（2019秋?溧水區(qū)期中）如圖，已知點D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若

AC＝9，BC＝5，則CD的長為．

思路引領(lǐng)：延長BD與AC交于點E，由題意可推出BE＝AE，依據(jù)等角的余角相等，即可得等腰三角形

BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根據(jù)AC＝9，BC＝5，即可推出BD的長度，再利用勾股定理即

可解決問題．

解：延長BD與AC交于點E，

∵∠A＝∠ABD，

∴BE＝AE，

∵BD⊥CD

∴BE⊥CD，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ECD，

∵∠BCD+∠CBD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，

∴∠EBC＝∠BEC，

∴△BEC為等腰三角形，

∴BC＝CE，

∵BE⊥CD，

∴2BD＝BE，

∵AC＝9，BC＝5，

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∴CE＝BC＝5，

∴AE＝AC﹣EC＝9﹣5＝4，

∴BE＝AE＝4，

∴BD＝2．

∴CD，

2222

故答案=為??．???=5?2=21

總結(jié)提升：2本1題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，比較簡單，關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，構(gòu)建等腰

三角形，通過等量代換，即可推出結(jié)論．

4．（2020秋?惠城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點，BE平分∠ABC交AC于點E，過

點E作EF∥BC交AB于點F．

（1）若∠C＝52°，求∠BAD的度數(shù)；

（2）求證：FB＝EF．

思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)等邊對等角求出∠ABC，再利用三角形內(nèi)角和求出∠BAC，最后利用等腰三角形

的“三線合一”求∠BAD；

（2）根據(jù)BE平分∠ABC，EF∥BC即可證明．

（1）解：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝52°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝76°，

∵AB＝AC，D為BC中點，

∴∠BAD∠BAC＝38°；

1

（2）證明=：2∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠EBC，

∵EF∥BC，

∴∠FEB＝∠EBC，

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∴∠ABE＝∠FEB，

∴FB＝FE．

總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵．

5．（2022春?濱江區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，BF分別平分∠DAB和∠ABC，交邊

CD于點E，F(xiàn)，線段AE，BF相交于點M．

（1）求證：AE⊥BF；

（2）若EF．則AB＝．

1

=4??=3

思路引領(lǐng)：（1）證明∠BAE+∠ABF＝90°，即可推出∠AMB＝90°，即AE⊥BF；

（2）證明DE＝AD，CF＝BC，再利用平行四邊形的性質(zhì)AD＝BC，證出DE＝CF，得出DF＝CE，由已

知得出BC＝AD＝4EF，DE＝4EF，求出DF＝CE＝3EF，得出AB＝CD＝7EF，即可得出結(jié)果．

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，

∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，

∴∠AMB＝90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：∵在平行四邊形ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA＝∠EAB，

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB，

∴∠DEA＝∠DAE，

∴DE＝AD，

同理可得，CF＝BC，

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在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，

∴DE＝CF，

∴DF＝CE，

∵EFAD，

1

∴BC=＝4AD＝4EF，

∴DE＝4EF，

∴DF＝CE＝3EF，

∴AB＝CD＝7EF＝21，

故答案為：21．

總結(jié)提升：本題考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．

6．（2021秋?正陽縣期末）如圖，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若BD＝CD、BE＝CF．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）已知AC＝18，BE＝4，求AB的長．

思路引領(lǐng)：（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出

DE＝DF，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝AF，由線段的和差關(guān)系求出答案．

（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E＝∠DFC＝90°，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

，

??=??

∴?R?t△=B?E?D≌Rt△CFD（HL），

∴DE＝DF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD平分∠BAC；

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（2）解：∵DE＝DF，AD＝AD，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF，

∵AB＝AE﹣BE＝AF﹣BE＝AC﹣CF﹣BE，

∴AB＝18﹣4﹣4＝10．

總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，

AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．

7．（2019春?驛城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于

點F．

（1）求證：AB＝AC；

（2）若∠BAC＝60°，BC＝6，求△ABC的面積．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出DE＝DF，根據(jù)題意還知道∠DEB＝∠DFC，

BD＝CD，從而得出△DEB≌△DFC，進而得出∠B＝∠C，即可得出結(jié)論AB＝AC；

（2）得出△ABC是等邊三角形，求出AD長，則答案可求出．

證明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，

∴DE＝DF，且BD＝CD，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC．

（2）解：∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，

∴∠BAC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC＝BC＝6，

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∴CD＝3，

在Rt△ACD中，AD3，

22

=6?3=3

∴△ABC的面積為9．

1

×6×33=3

總結(jié)提升：本題主要2考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，等腰三角

形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

8．（2020秋?北侖區(qū)期中）如圖，在△ABC中，已知點D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點F作線

段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．

（1）求證：△ABC是等腰三角形；

（2）若AE＝10，GC＝2BG，求BG的長．

思路引領(lǐng)：（1）首先依據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，然后結(jié)合角平分線的定義可證

明∠B＝∠C，故此可證明△ABC為等腰三角形；

（2）首先證明△AEF≌△CFG，從而得到CG的長，然后可求得BG的長．

（1）證明：∵AE∥BC，

∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAE＝∠CAE，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：∵F是AC的中點，

∴AF＝CF．

∵AE∥BC，

∴∠C＝∠CAE．

由對頂角相等可知：∠AFE＝∠GFC．

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在△AFE和△CFG中，

，

∠?=∠???

??=??

∴∠△??A?F=E≌∠△??C?FG（ASA）．

∴AE＝GC＝10．

∵GC＝2BG，

∴BG＝5．

總結(jié)提升：本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定定理是解題

的關(guān)鍵．

9．（2020秋?溫州月考）如圖所示：∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨堑钠椒志€CF相交于

點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．

問：（1）圖中有幾個等腰三角形？為什么？

（2）BD，CE，DE之間存在著什么關(guān)系？請證明．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)已知條件，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∴∠DBF

＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，因此可判斷出△BDF和△CEF為等腰三角形；

（2）由（1）可得出DF＝BD，CE＝EF，所以得BD﹣CE＝DE．

（1）解：圖中有2個等腰三角形即△BDF和△CEF，

理由：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，

∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，

∵DE∥BC，

∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，

∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，

∴BD＝FD，EF＝CE，

∴△BDF和△CEF為等腰三角形；

（2）存在：BD﹣CE＝DE，

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證明：∵DF＝BD，CE＝EF，

∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE．

總結(jié)提升：本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明等腰三角形，

屬于基礎(chǔ)題．

10．（2022?義烏市模擬）如圖，BE是△ABC的角平分線，延長BE至D，使得BC＝CD．

（1）若∠ABD＝20°，求∠BCD的度數(shù)；

（2）若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE長．

思路引領(lǐng)：（1）先利用BE是△ABC的角平分線得到∠CBD＝∠ABD＝20°，再利用等腰三角形的性質(zhì)

得到∠D＝∠CBD＝20°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算∠BCD的度數(shù)；

（2）先利用∠D＝∠ABE＝∠CBD得到AB∥CD，則可證明△CED∽△AEB，再利用相似比得到2，

??

=

設(shè)AE＝x，則CE＝2x，則利用AC＝3得到x+2x＝3，然后解方程得到