專題31中考命題核心元素有關(guān)中點(diǎn)問(wèn)題（解析版）

專題31中考命題核心元素有關(guān)中點(diǎn)問(wèn)題（解析版）

模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練

模型一倍長(zhǎng)中線

【模型解讀】當(dāng)已知條件中出現(xiàn)三角形中線時(shí)，常常將此中線倍長(zhǎng)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．解題時(shí)，

條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證

的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．

基本圖形：

典例1（（2022?南寧模擬）【閱讀理解】倍長(zhǎng)中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想，如圖①，在△ABC中，

AD是BC邊上的中線，若延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接CE，可根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，則

AB＝EC．

【類比探究】如圖②，在△DEF中，DE＝3，DF＝7，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，求中線DG的取值范圍；

【拓展應(yīng)用】如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．若AE是∠BAD的平分線．試

探究AB，AD，DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

思路引領(lǐng)：【類比探究】結(jié)論：2＜DG＜5．延長(zhǎng)DG至H，使GH＝DG，連接FH，證明△DGE≌△HGF

（SAS），再依據(jù)DF﹣FH＜DH＜DF+FH，即可得出結(jié)論．

【拓展應(yīng)用】結(jié)論：AD＝AB+DC．證明△CEF≌△BEA（AAS），推出AB＝CF，再證明DA＝DF即可解

決問(wèn)題．

【類比探究】解：如圖②，延長(zhǎng)DG至H，使GH＝DG，連接FH，

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∵點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，

∴EG＝FG，

在△DGE和△HGF中，

，

??=??

∠???=∠???

∴?△?D=G?E?≌△HGF（SAS），

∴FH＝DE＝3，

在△DFH中，DF﹣FH＜DH＜DF+FH，

∴7﹣3＜DH＜7+3，

∵DH＝2DG，

∴4＜2DG＜10，

∴2＜DG＜5；

【拓展應(yīng)用】解：結(jié)論：AD＝AB+DC．

理由：如圖③中，延長(zhǎng)AE、DC交于F，

∵AB∥CD，

∴∠CFE＝∠EAB，

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

∴CE＝EB，

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∵∠CEF＝∠AEB，

∴△CEF≌△BEA（AAS），

∴AB＝CF．

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠EAB，

∵∠EAB＝∠CFE，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴AD＝DF，

∵DF＝DC+CF＝DC+AB，

∴AD＝AB+DC．

總結(jié)提升：本題屬于四邊形綜合題，主要考查了是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中線和角平分線，

三角形三邊關(guān)系等，合理添加輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2020?貴陽(yáng)模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，則△ABC

的面積是（）

A．16B．16C．8D．8

思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)CD到H，使3DH＝CD，由線段中點(diǎn)的定義得到AD＝BD3，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到結(jié)論．

解：∵DC⊥BC，

∴∠BCD＝90°，

∵∠ACB＝120°，

∴∠ACD＝30°，

延長(zhǎng)CD到H，使DH＝CD，連接AH，

∵D為AB的中點(diǎn)，

∴AD＝BD，

在△ADH與△BCD中，

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，

??=??

∠???=∠???

∴?△?A=D?H?≌△BCD（SAS），

∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，

∵∠ACH＝30°，

∴CHAH＝4，

=33

∴△ABC的面積＝△ACH的面積4×48，

1

故選：D．=2×3=3

總結(jié)提升：本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、三角形的面積的計(jì)算，正確的作出

輔助線是解題的關(guān)鍵．

模型二中位線

【模型解讀】當(dāng)已知條件中同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)及兩個(gè)以上中點(diǎn)時(shí)，常考慮構(gòu)造中位線；或出現(xiàn)一個(gè)中點(diǎn)，

要求證明平行線段或線段倍分關(guān)系時(shí)，也?？紤]構(gòu)造中位線．

基本圖形：

典例2如圖，在△ABC的兩邊AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中點(diǎn)M、Q、

N．求證：MQ＝QN．

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思路引領(lǐng)：根據(jù)正方形性質(zhì)AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，求出∠GAB＝∠EAC，證出△BAG≌

△EAC，再根據(jù)三角形中位線求出即可．

證明：連接BG和CE交于O，

∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形，

∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，

∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，

∴∠GAB＝∠EAC，

在△BAG和△EAC中，

，

??=??

∠???=∠???

∴?△?=BA?G?≌△EAC（SAS），

∴BG＝CE．

∵BE、BC、CG的中點(diǎn)M、Q、N，

∴MQCE，QNBG，

11

∵BG＝=C2E，=2

∴QN＝MQ．

總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)正方形性質(zhì)

AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC．

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2022春?鳳翔縣期末）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是BC

的中點(diǎn)，若BD＝10，則EF的長(zhǎng)為（）

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A．8B．10C．5D．4

思路引領(lǐng)：根據(jù)等腰三角形的三線合一得到CE＝ED，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可．

解：∵AD＝AC，AE⊥CD，

∴CE＝ED，

∵CE＝ED，CF＝FB，

∴EFBD10＝5，

11

故選：=C2．=2×

總結(jié)提升：本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，

且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．

2．如圖，在△ACE中，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是CE的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，四邊形BCGF和四邊

形CDHN都是正方形．求證：△FMH是等腰直角三角形．

思路引領(lǐng)：首先要連接MB、MD，然后證明△FBM≌△MDH，從而求出兩邊相等，且有一角為90°．

證明：連接MB、MD，設(shè)FM與AC交于點(diǎn)P，

∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點(diǎn)，四邊形BCGF和四邊形CDHN都是正方形，

∴MD∥AC，且MDAC＝BC＝BF；

1

=2

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MB∥CE，且MBCE＝CD＝DH，

1

∴四邊形BCDM是=平2行四邊形，

∴∠CBM＝∠CDM，

又∵∠FBP＝∠HDC，

∴∠FBM＝∠MDH，

在△FBM和△MDH中，

??=??

∠???=∠???

∴?△?F=BM??≌△MDH（SAS），

∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH．

∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM，

∵BM∥CE，

∴∠AMB＝∠E，

同理：∠DME＝∠A．

∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM，

∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD）

＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM）

＝∠FBC＝90°，

∴△FMH是等腰直角三角形．

總結(jié)提升：此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，平行四邊形的性質(zhì)和判定應(yīng)用，

關(guān)鍵是找出能使三角形全等的條件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角

形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，本題綜合考查了等腰三角形的判定，偏難，學(xué)生要綜合運(yùn)用學(xué)過(guò)的幾何

知識(shí)來(lái)證明．

模型三等腰三角形“三線合一”

【模型解讀】當(dāng)出現(xiàn)等腰三角形時(shí)，常作底邊的中線，可利用“三線合一”的性質(zhì)解題．

基本圖形：

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典例3（2018秋?高平市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，

垂足為點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)．

思路引領(lǐng)：首先連接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D為BC中點(diǎn)，利用等腰三角形的三線

合一的性質(zhì)，即可證得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的長(zhǎng)，然后利用面積法來(lái)求DE的

長(zhǎng)．

解：連接AD，

∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D為BC中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，BDBC＝5，

1

=

∴AD212，

22

又∵D=E⊥?A?B，???=

∴BD?ADAB?ED，

11

=

∴E2D2，

?????5×12

===

解得：DE??．13

60

=13

總結(jié)提升：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，

注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2021秋?下城區(qū)期中）如圖，在鈍角△ABC中，AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，

則∠BAC＝35°，若將題目改為在銳角△ABC中，其它條件不變，則∠BAC＝75°．

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思路引領(lǐng)：當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，由AB+BH＝CH可得出AB＝BC，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角

的性質(zhì)即可求出∠BAC的度數(shù)；當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD＝AB，交BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)可得出∠ADB＝∠ABH＝70°、BH＝DH，結(jié)合AB+BH＝CH、CH＝CD+DH可得出CD＝AB＝

AD，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角為180°即可求

出∠BAC的度數(shù)．

解：當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，如圖：

∵AB+BH＝CH，

∴AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA∠ABH＝35°；

1

當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)=，2過(guò)點(diǎn)A作AD＝AB，交BC于點(diǎn)D，如圖所示：

∵AB＝AD，

∴∠ADB＝∠ABH＝70°，BH＝DH．

∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，

∴CD＝AB＝AD，

∴∠C∠ADB＝35°，

1

∴∠BA=C2＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝75°．

故答案為：35°，75°．

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總結(jié)提升：本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，做出等腰三

角形是解題的關(guān)鍵．

2．（2022秋?揚(yáng)州期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D為BC的中點(diǎn)，

（1）求AD長(zhǎng)；

（2）若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E、F，求證：DE＝DF．

思路引領(lǐng)：（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，再利用勾股定理即可；

（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得AD是等腰△BAC的角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證明結(jié)論．

（1）解：如圖，連接AD，

∵D為BC的中點(diǎn)，BC＝10，

∴BD＝5，

又∵AB＝AC，

∴AD⊥BC，

在Rt△ABD中，由勾股定理得，

AD12；

2222

（2=）證?明?：?∵?A?B＝=AC1，3A?D⊥5B=C，

∴AD是等腰△BAC的角平分線，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF．

總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理以及角平分

線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

3．（2011春?內(nèi)江期末）如圖1所示，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的“三線合

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一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，則有∠BAD＝30°，．于是可得出結(jié)論“直角

1

三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”．??=??=2??

請(qǐng)根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問(wèn)題：

（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝a，則BC＝；

?

（2）如圖2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線交2AB于點(diǎn)D，垂足為E，當(dāng)BD＝5cm，

∠B＝30°時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)＝15cm．

（3）如圖3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，那么

BE：EA＝3：1．

（4）如圖4所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且∠CAD＝∠ABE，AD、BE交于

點(diǎn)P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB與PQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推知∠A＝30，∠C＝90°．

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知CD＝BD，則△ACD的周長(zhǎng)等于AC+AB；

（3）如圖3，連接AD．利用等腰三角形的性質(zhì)、垂直的定義推知∠B＝∠ADE＝30°，然后由”30度角

所對(duì)的直角邊是斜邊的一半“分別求得BE、AE的值；

（4）如圖4，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以得到∠PBQ＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到．

解：

（1）∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠A＝30，∠C＝90°，

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∴BCAB．

1?

==

故填：2；2

?

2

（2）如圖2，∵DE是線段BC的垂直平分線，∠ACB＝90°，

∴CD＝BD，AD＝BD．

又∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴ACAB，

1

∴△A=CD2的周長(zhǎng)＝AC+AB＝3BD＝15cm．

故填：15cm；

（3）如圖3，連接AD．

∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中點(diǎn)，

∴∠BAD＝60°．

又∵DE⊥AB，

∴∠B＝∠ADE＝30°，

∴BEBD，AEAD，

31

==

∴BE：E2ABD：2AD，

31

=

又∵BDA2D，2

∴BE：A=E＝33：1．

故填：3：1．

（4）BP＝2PQ．理由如下

∵△ABC為等邊三角形．

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵∠ABE＝∠CAD，∠BPQ為△ABP外角，

∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD．

∴∠BPQ＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°

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∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ＝30°，

∴BP＝2PQ．

總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及含30度角直角三角形的性質(zhì)．直角三

角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．

模型四直角三角形斜邊中線

【模型解讀】當(dāng)已知條件中同時(shí)出現(xiàn)直角三角形和中點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造直角三角形斜邊中線，然后利用直

角三角形斜邊的中線性質(zhì)解決問(wèn)題．

基本圖形：

典例4（2018秋?射陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分別是BC、DE的中點(diǎn)，連

接GF、EG、DG．求證：（1）EG＝DG；

（2）GF⊥DE．

思路引領(lǐng)：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)行證明；

（2）由（1）知DG＝EG，再根據(jù)等腰三角形三線合一的證明即可．

證明：（1）∵BD、CE是高，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，

∴GEBC，GDBC，

11

∴GE＝=G2D；=2

（2）證明：由（1）知DG＝EG，

∴△GED是等腰三角形，

∵F是DE的中點(diǎn)，

∴GF⊥DE．

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總結(jié)提升：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，

熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2022秋?上城區(qū)期中）已知：如圖∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC、BD的中點(diǎn)．

（1）求證：MN⊥BD．

（2）若∠BAD＝45°，連接MB、MD，判斷△MBD的形狀，并說(shuō)明理由．

思路引領(lǐng)：（1）依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到BM＝DM，再根據(jù)等腰三角形三線合一的

性質(zhì)，即可得到MN⊥BD．

（2）依據(jù)等腰三角形外角的性質(zhì)，即可得到∠BMC＝2∠BAM，∠DMC＝2∠DAM，再根據(jù)∠BAD＝45°，

可得∠BMC+∠DMC＝2∠BAD＝90°，依據(jù)BM＝DM，即可得到△BDM是等腰直角三角形．

解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC、BD的中點(diǎn)，

∴Rt△ABC中，BMAC，

1

=

Rt△ACD中，DMA2C，

1

∴BM＝DM，=2

又∵N是BD的中點(diǎn)，

∴MN⊥BD．

（2）等腰直角三角形，理由：

∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，

∴AMAC＝BM，

1

=2

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∴∠BAM＝∠ABM，

∴∠BMC＝2∠BAM，

同理可得∠DMC＝2∠DAM，

又∵∠BAD＝45°，

∴∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD＝90°，

又∵BM＝DM，

∴△BDM是等腰直角三角形．

總結(jié)提升：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)以

及等腰直角三角形的判定的運(yùn)用，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

2．（2018秋?閔行區(qū)期末）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)E在AC上，ABDE，AD∥BC．

1

求證：∠CBA＝3∠CBE．=2

思路引領(lǐng)：取DE的中點(diǎn)F，連接AF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AF＝DF＝FEDE，推出DF＝AF

1

＝AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，求出∠ABF＝2=∠2D，∠CBE＝∠D，

即可得出答案．

證明：

取DE的中點(diǎn)F，連接AF，

∵AD∥BC，∠ACB＝90°，

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∴∠DAE＝∠ACB＝90°，

∴AF＝DF＝EFDE，

1

=

∵ABDE，2

1

∴DF=＝2AF＝AB，

∴∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，

∴∠AFB＝∠D+∠DAF＝2∠D，

∴∠ABF＝2∠D，

∵AD∥BC，

∴∠CBE＝∠D，

∴∠CBA＝∠CBE+∠ABF＝3∠CBE．

總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)

用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，難度適中．

模型五三角形邊的垂直平分線

【模型解讀】當(dāng)三角形某一邊的垂線過(guò)該邊的中點(diǎn)時(shí)，可以考慮用垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝CE，

進(jìn)而證明線段間的數(shù)量關(guān)系．

基本圖形：

典例5（2019秋?姜堰區(qū)期中）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交

邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．

（1）若AB＝10，求△CDE的周長(zhǎng)；

（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，EC＝EB，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得

到答案；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠A+∠B＝55°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形計(jì)算即可．

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解：（1）∵直線l是AC的垂直平分線，

∴DA＝DC，

同理，EC＝EB，

∴△CDE的周長(zhǎng)＝CD+DE+CE＝DA+DE+EB＝AB＝10；

（2）∵∠ACB＝125°，

∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，

∵DA＝DC，EC＝EB，

∴∠ACD＝∠A，∠ECB＝∠B，

∴∠DCE＝∠ACB﹣∠DCA﹣∠ECB＝∠ACB﹣∠A﹣∠B＝70°．

總結(jié)提升：本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的

距離相等是解題的關(guān)鍵．

針對(duì)訓(xùn)練

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，若CD＝5，

則AE＝．

25

4

思路引領(lǐng)：依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到AC的長(zhǎng)，設(shè)AE＝BE＝x，則CE

＝8﹣x，再根據(jù)勾股定理列方程，即可得出AE的長(zhǎng)．

解：如圖，連接BE，

∵AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，

∴AE＝BE，

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，

∴AB＝2CD＝10，

又∵BC＝6，

∴AC＝8，

設(shè)AE＝BE＝x，則CE＝8﹣x，

∵∠BCE＝90°，

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∴Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，

即（8﹣x）2+62＝x2，

解得x，

25

=

∴AE4，

25

=

故答案為4：．

25

4

總結(jié)提升：本題主要考查了勾股定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：線段垂直平分線

上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．

2．（2022秋?無(wú)棣縣期中）如圖，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝2，F(xiàn)G＝4，GC＝

3，則△ABC的周長(zhǎng)為22．

思路引領(lǐng)：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．

解：∵BD垂直平分AG，

∴BA＝BG＝BF+FG＝2+4＝6，

∵CE垂直平分AF，

∴CA＝CF＝CG+FG＝3+4＝7，

∴BC＝BF+CF＝2+7＝9，

∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝6+7+9＝22．

故答案為：22．

總結(jié)提升：本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型

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模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)

一．選擇題（共2小題）

1．（2022秋?新吳區(qū)期中）如圖，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．過(guò)C作∠BAC的角平分線的垂線，垂

足為D，點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)連結(jié)BD，CD，則S△BEC的最大值為（）

A．10B．9.2C．8D．7.5

思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)AB，CD交點(diǎn)于F，可證△ADF≌△ADC（ASA），得出AC＝AF，DF＝CD，則S△BECS

1

=

△BCF，當(dāng)BF⊥BC時(shí)，S△BFC最大面積為30，即S△BEC最大面積為7.5．4

解：如圖：延長(zhǎng)AB，CD交點(diǎn)于F，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠EAD，

∵CD⊥AD，

∴∠ADC＝∠ADE＝90°，

在△ADF和△ADC中，

，

∠???=∠???

??=??

∴∠△??A?D=E≌∠△??A?DC（ASA），

∴AC＝AF，DF＝CD；

∵AC﹣AB＝6，

∴AF﹣AB＝6，即BF＝6；

∵DF＝DC，

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∵E是CD的中點(diǎn)，

∴S△BECS△BFC，

1

=

∴當(dāng)BF⊥B4C時(shí)，S△BFC面積最大，

即S△BEC最大面積10×6＝7.5．

11

故選：D．=4×2×

總結(jié)提升：本題考查了角平分線定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；利用三角

形中線的性質(zhì)得到S△BECS△BFC是解題的關(guān)鍵．

1

2．（2021春?青龍縣期末）在=△4ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則DE的

長(zhǎng)為（）

A．4B．3.5C．3D．2.5

思路引領(lǐng)：證DE是△ABC的中位線，再由三角形中位線定理求解即可．

解：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DEBC＝2.5，

1

故選：=D2．

總結(jié)提升：本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．

二．填空題（共2小題）

3．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE與BC的垂直平分線DF交于點(diǎn)D，連接AD，CD，則∠ABC

與∠ADC之間的數(shù)量關(guān)系為∠ADC＝2∠ABC．

思路引領(lǐng)：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝BD，BD＝CD，BG＝CG，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠

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ABD＝∠BAD，∠CBD＝∠BCD，∠CBG＝∠BCG，進(jìn)而得到∠DCG＝∠BAD，由三角形外角定理得到

∠HGC＝2∠CBG，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ADC＝∠HGC，即可得到∠ADC＝2∠ABC．

解：設(shè)AB，DF相交于G，AB，CD相交于H，

連接BD，CG，

∵DE是線段AB的垂直平分線，

∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠BAD，

∵DF是線段BC的垂直平分線，

∴BD＝CD，BG＝CG，

∴∠CBD＝∠BCD，∠CBG＝∠BCG，

∴∠CBD﹣∠CBG＝∠BCD﹣∠BCG，∠HGC＝2∠CBG，

∴∠HBD＝∠DCG＝∠BAD，

在△ADH和△CGH中，

∵∠DCG＝∠BAD，∠AHD＝∠CHG，

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ADC＝∠HGC，

∴∠ADC＝2∠ABC，

故答案為：∠ADC＝2∠ABC．

總結(jié)提升：本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，三角形內(nèi)角

和定理，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

4．（2020春?市南區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，若∠A＝63°，則∠D＝

126°．

思路引領(lǐng)：連接AD，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等看得到AD＝BD＝CD，根據(jù)

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等邊對(duì)等角可得∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，然后求出∠ABD+∠ACD+∠BAC，再根據(jù)三角形的

內(nèi)角和等于180°求出∠DBC+∠DCB，再次利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．

解：如圖，連接AD，

∵點(diǎn)D是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

∴AD＝BD＝CD，

∴∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，

∴∠ABD+∠ACD+∠BAC＝2∠BAC＝2×63°＝126°，

在△ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠DBC+∠DCB＝180°﹣126°＝54°，

在△DBC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣54°＝126°．

故答案為：126°．

總結(jié)提升：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和是360度，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出

四邊形是解題的關(guān)鍵．

三．解答題（共7小題）

5．如圖，AD是△ABC的中線，AB＝AC＝13，BC＝10，求AD長(zhǎng)．

思路引領(lǐng)：利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求得AD的長(zhǎng)度即可．

解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是中線，

∴AD⊥BC，BD＝5，

∴∠ADB＝90°，

∴AD2＝AB2﹣BD2＝144，

∴AD＝12．

總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，由勾股定理求出AD

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是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

6．（2021秋?東陽(yáng)市校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，

以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）求AC的長(zhǎng)及斜邊AB邊上的高；

（2）若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB時(shí)，求出此時(shí)t的值；

（3）若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值．

思路引領(lǐng)：（1）利用勾股定理可求得AC，根據(jù)三角形的面積公式可求得斜邊AB邊上的高；

（2）設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA＝PB，此時(shí)PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在∠CAB的平分線上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，此時(shí)BP＝7﹣2t，PE＝PC＝

2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，

∴AC4，

2222

設(shè)斜邊=AB??邊上?的??高為=h，5?3=

根據(jù)三角形的面積公式得AC?BCAB?h，

11

=

∴h；22

?????3×412

（2）=設(shè)?存?在=點(diǎn)P5，使=得5PA＝PB，

此時(shí)PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，

在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，

即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，

解得：t，

25

=

∴當(dāng)t1時(shí)6，PA＝PB；

25

（3）當(dāng)=點(diǎn)16P在∠BAC的平分線上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，

在△APC和△APE中，

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，

∠?=∠???=90°

∠???=∠???

∴?△?=AP?C?≌APE（AAS），

∴AE＝AC＝4，PC＝PE，

∵AC+CP＝2t，

∴BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，

在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，

即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，

解得：t，

8

=3

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A時(shí)，t6，

4+3+5

==

綜上所述，當(dāng)t或6時(shí)2，P在△ABC的角平分線上．

8

總結(jié)提升：本題=屬3于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，角平分線的性質(zhì)

定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題．

7．如圖所示，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AC的中點(diǎn)為M，BD的中點(diǎn)為N，判斷MN與BD之

間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

思路引領(lǐng)：連接MB、MD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BMAC，DMAC，根據(jù)等腰三角形的三線

11

合一證明．=2=2

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解：MN⊥BD，

理由如下：連接MB、MD，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，AC的中點(diǎn)為M，

∴BMAC，DMAC，

11

∴BM＝=D2M，又N=是2BD的中點(diǎn)，

∴MN⊥BD．

總結(jié)提升：本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線

等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．

8．（2022?茂南區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，BE∥CD，CE∥AB．試判斷

四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．

思路引領(lǐng)：根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明．

解：四邊形CEBD為菱形，

證明如下：

∵BE∥CD，CE∥AB，

∴四邊形CEBD是平行四邊形，

在Rt△ACB中，D為AB中點(diǎn)，

∴CD為Rt△ACB斜邊上的中線，

∴CD＝BD，

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∴四邊形CEBD為菱形．

總結(jié)提升：本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中考?？碱}

型．

9．（2019秋?洛陽(yáng)期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，

分別交BC于點(diǎn)D、E，已知△ADE的周長(zhǎng)5cm．

（1）求BC的長(zhǎng)；

（2）分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為13cm，求OA的長(zhǎng)．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB、EA＝EC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得

到答案；

（2）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求出OB+OC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OB＝OC，計(jì)算即可．

解：（1）∵DM是線段AB的垂直平分線，

∴DA＝DB，

同理，EA＝EC，

∵△ADE的周長(zhǎng)5cm，

∴AD+DE+EA＝5cm，

∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；

（2）∵△OBC的周長(zhǎng)為13cm，

∴OB+OC+BC＝13cm，

∵BC＝5cm，

∴OB+OC＝8cm，

∵OM垂直平分AB，

∴OA＝OB，

同理，OA＝OC，

∴OA＝