專題29 中考命題題核心元素反比例函數(shù)常見模型的應(yīng)用（解析版）

專題29中考出題核心元素反比例函數(shù)常見模型的應(yīng)用（解析版）

模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練

模型一k的幾何意義

k

【模型解讀】如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)y＝圖像上的任意一點(diǎn)，過A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，作AF⊥x

x

1

軸于點(diǎn)F，則S矩形AEOF＝|k|,S△AOF＝|k|.

2

典例1（2022?豐南區(qū)二模）如圖，直線l⊥x軸于點(diǎn)P，且與反比例函數(shù)（x＞0）及（x＞0）

12

1?2?

的圖象分別交于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，?=??=?

（1）若B為AP中點(diǎn)，則k1，k2滿足關(guān)系k1＝2k2；

（2）若△OAB的面積為4，則k1，k2滿足關(guān)系k1﹣k2＝8．

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)OP＝a（a＞0），則P（a，0），所以得到A（a，），B（a，），有AP，BP，

?1?2?1?2

==

若B為AP中點(diǎn)，根據(jù)AP＝2BP得，即可求解；????

?12?2

=

（2）根據(jù)△OAB的面積為4，所以得?到AB?＝AP﹣BP，利用三角形的面積公式得到

?1?2?1??21

=?=×

，整理后即可求解．???2

解??：（×1?）?設(shè)=O4P＝a（a＞0），則P（a，0），

∵直線l⊥x軸于點(diǎn)P，

∴A、B的橫坐標(biāo)為a，

∵反比例函數(shù)（x＞0）及（x＞0）的圖象分別交于A、B兩點(diǎn)，且A在B的上方；

?1?2

?1=?2=

所以A（a，），B（?a，），?

?1?2

??

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所以AP，BP，

?1?2

若B為A=P?中點(diǎn)，=?

所以AP＝2BP，

得，

?12?2

=

所以?k1＝?2k2；

故答案為：k1＝2k2；

（2）∵△OAB的面積為4，A在B的上方，

∴AB＝AP﹣BP，

?1?2?1??2

=?=

∵S△ABO＝4，???

∴，

1

×??×??=4

即2，

1?1??2

×?×=4

∴2k1﹣k2＝8．?

故答案為：k1﹣k2＝8．

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積公式的應(yīng)用，熟悉掌握反比例函數(shù)的

圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

針對訓(xùn)練

1．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、B落在第二象限內(nèi)雙曲線y（k≠0）上，過A、B兩點(diǎn)分別作x

?

=

軸的垂線段，垂足為C，D，連接OA、OB，若S1+S2＝2且S陰影＝1?，則k的值為（）

A．4B．﹣4C．2D．﹣2

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意得出相關(guān)三角形面積之間的關(guān)系：S1+S陰影＝S△BOD，S2+S陰影＝S△AOC，再根據(jù)反比

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例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義推出|k|＝S△BOD+S△AOC，從而推出|k|＝4，結(jié)合圖象可得k＝﹣4．

解：由題意可知S1+S陰影＝S△BOD，S2+S陰影＝S△AOC，

∵S△BOD＝S△AOC，

|?|

=

∴|k|＝S△BOD+S△AOC2＝S1+S陰影+S2+S陰影＝S1+S2+2S陰影＝2+2＝4，

∵函數(shù)圖象經(jīng)過第二象限，

∴k＜0，

∴k＝﹣4，

故選：B．

總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，應(yīng)數(shù)形結(jié)合，將

圖形的性質(zhì)與反比例函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)聯(lián)系起來進(jìn)行求解．

2．（2020秋?揭西縣期末）如圖，邊長為4的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)的圖象與

8

?=

正方形兩邊相交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，交OE于點(diǎn)G，?則S△ODG

＝（）

A．3B．2C．4D．8

思路引領(lǐng)：根據(jù)正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出D（2，4），E（4，2），再根據(jù)三角

形中位線的性質(zhì)得出GFAE＝1，那么DG＝DF﹣GF＝3，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可

1

求解．=2

解：∵邊長為4的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)的圖象與正方形兩邊相交于點(diǎn)D、

8

E，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，?=?

∴D（2，4），E（4，2）．

又∵過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，交OE于點(diǎn)G，

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∴DF＝OC＝4，GFAE2＝1，

11

∴DG＝DF﹣GF＝4=﹣21＝3=，2×

∴S△ODG?DG?OF3×2＝3．

11

故選：A．=2=2×

總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的中位線，三角形的面

積，求出E點(diǎn)坐標(biāo)與DG的長是解題的關(guān)鍵．

模型二一個轉(zhuǎn)化面積的結(jié)論

k

【模型解讀】如圖，點(diǎn)A，B是雙曲線y＝(k>0)上的兩點(diǎn)，AE⊥x軸于點(diǎn)E，BF⊥x軸于點(diǎn)F，則S△

x

AOB＝S梯形AEFB.

典例2（2022?遼寧）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，點(diǎn)A在x軸的正半

?

軸上，AB＝3BC，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，AD＝AB，連接BD=，?過點(diǎn)A作AE∥BD交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F

在AE上，連接FD，F(xiàn)B．若△BDF的面積為9，則k的值是6．

思路引領(lǐng)：根據(jù)同底等高把面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)k的幾何意義，從而求出k的值．

解：因為AE∥BD，依據(jù)同底等高的原理，△BDF的面積等于△ABD的面積，

設(shè)B（a，3a）（a＞0），則0.5×3a?3a＝9，

解得a，

所以3a=2＝26．

故k＝6．

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故答案為：6．

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，關(guān)鍵是根據(jù)同底等高把面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

針對訓(xùn)練

1．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，

C分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，

?

N，連接OM，ON，MN，若∠MON＝=45?°，MN＝2，則k的值為．

1+2

思路引領(lǐng)：延長BA到G，使得AG＝CN，連接OG，易證△OCN≌△OAG（SAS），根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)，進(jìn)一步證明△MON≌△MOG（SAS），根據(jù)全等三角形性質(zhì)，求出AM的值，再設(shè)正方形邊長為a，

在△BMN中根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長，進(jìn)一步可知M點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出k的值．

解：延長BA到G，使得AG＝CN，連接OG，如圖所示：

在正方形OABC中，OA＝OC，∠OCB＝∠OAB＝∠COA＝90°，

∴∠OAG＝∠OCN，

∴△OCN≌△OAG（SAS），

∴∠CON＝∠GOA，OG＝ON，

∵∵∠MON＝45°，

∴∠CON+∠AOM＝45°，

∴∠AOM+∠GOA＝45°，

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∵OM＝OM，

∴△MON≌△MOG（SAS），

∴MN＝MG，

即MN＝MA+CN，

設(shè)AM＝x，

∵M(jìn)N＝2，

∴CN＝2﹣x，

∵M(jìn)，N在反比例函數(shù)上，

∴CN?OC＝AM?OA，

∵OC＝OA，

∴2﹣x＝x，

解得x＝1，

設(shè)正方形邊長為a，則BM＝a﹣1，BN＝a﹣1，

在△BMN中，根據(jù)勾股定理，得2（a﹣1）2＝4，

解得a或1（舍），

∴M點(diǎn)=坐1標(biāo)+為（2?，21），

將M點(diǎn)坐標(biāo)代入1反+比例2函數(shù)解析式，

得k．

故答=案1為+：2．

總結(jié)提升：1本+題考2查了反比例函數(shù)與正方形的綜合，涉及三角形全等，正方形的性質(zhì)，勾股定理等，構(gòu)

造全等三角形求出AM的長再根據(jù)勾股定理求出正方形的邊長是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)．

2．（2021?山西模擬）已知直線y＝﹣x+6與雙曲線y相交于點(diǎn)A及B（5，n），連接AO，BO，并延長

?

=

AO交雙曲線于點(diǎn)C，連接BC，則△BOC的面積為（?）

A．10B．11C．12D．14

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思路引領(lǐng)：解：由直線y＝﹣x+6與雙曲線y相交于點(diǎn)A及B（5，n），求出n＝﹣5+6＝1，m＝5×1

?

=?

＝5，得點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，1），根據(jù)方程組的解為；，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，5），

5

?1=5?2=1

?=?

?1=1?2=5

由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對稱性可知，?求=點(diǎn)??C+坐6標(biāo)為（﹣1，﹣5），由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線BC

的函數(shù)關(guān)系式為y＝x﹣4，當(dāng)y＝0時，x＝4，得OD＝4，作△OBD的高BE，作△OCD的高CF，S△BOC

＝S△OBD+S△OCD4×5＝12．

11

=×4×1+×

解：∵直線y＝﹣x2+6與雙曲線2y相交于點(diǎn)A及B（5，n），

?

=

∴n＝﹣5+6＝1，m＝5×1＝5，?

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，1），

方程組的解為；，

5

?1=5?2=1

?=?

?1=1?2=5

∴點(diǎn)A坐?標(biāo)=?為?（+1，65），

由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對稱性可知，

A、C關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1，﹣5），

設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，

，

5?+?=1

解?得?k+＝?1，=?b＝5﹣4，

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y＝x﹣4，

當(dāng)y＝0時，x＝4，

∴OD＝4，

作△OBD的高BE，作△OCD的高CF，

S△BOC＝S△OBD+S△OCD4×5＝12．

11

故選：C．=2×4×1+2×

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總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式的求法，交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形面積的求法，解題關(guān)鍵

是求出該三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)．

模型三一個平行模型

k

【模型解讀】如圖，直線y＝－x＋b與反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖像相交于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B

x

作AE⊥y軸、BF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，則①AC＝BD，AE＝DF；②AB∥EF；③△ACE≌△DBF.

典例3（2021?平山縣校級模擬）已知反比例函數(shù)y1的圖象與一次函數(shù)y2x+n的圖象如圖所示，點(diǎn)A

?3

（a，b），B（c，d）是兩個圖象的交點(diǎn)，下列命題=：?①過點(diǎn)A作AM⊥x=軸?，4M為垂足，連接OA，若△

AMO的面積為3，則k＝6；②若x＞c，則y1＞y2；③若a＝d，則b＝c；④直線AB分別與x軸、y軸

交于點(diǎn)C，D，則BC＝AD．其中真命題的個數(shù)是（）

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A．1B．2C．3D．4

思路引領(lǐng)：利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)的增減性、對稱性分別回答即可．

解：①過點(diǎn)A作AM⊥x軸，M為垂足，連接OA，

∵△AMO的面積為3，

∴|k|＝6，

∵反比例函數(shù)y的圖象分別位于第一象限，

?

∴k＞0，=?

∴k＝6，正確，是真命題；

②根據(jù)圖象，當(dāng)x＞c時，反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)y2x+n的圖象的上方，

3

=?

∴y1＞y2，正確，是真命題；4

③∵點(diǎn)A（a，b），B（c，d）是反比例函數(shù)y1的圖象上的點(diǎn)，

?

∴k＝ab＝cd，=?

∵a＝d，

∴b＝c，正確，是真命題；

④如圖，作AM⊥x軸于M，BN⊥y軸于N，連接MN、AN、BM，

∵S△AMN，S△BMC，

??

==

∴S△AMN＝S2△BMC，2

∴A、B兩點(diǎn)到MN的距離相同，

∴MN∥AB，

∵AM∥OD，

∴四邊形AMND是平行四邊形，

∴AD＝MN，

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同理BC＝MN，

∴AD＝BC，正確，是真命題，

真命題有4個，

故選：D．

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及命題與定理的知識，

解題的關(guān)鍵是了解反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義等知識，難度不大．

針對訓(xùn)練

1．（2020秋?乳山市期末）反比例函數(shù)y和y在第一象限的圖象如圖所示．點(diǎn)A，B分別在y和y

3131

的圖象上，AB∥y軸，點(diǎn)C是y軸上=的?一個=動?點(diǎn)，則△ABC的面積為1．=?=?

思路引領(lǐng)：連接OA、OB，延長AB，交x軸于D，如圖，利用三角形面積公式得到S△OAB＝S△ABC，再根

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據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到S△OAD，S△OBD，即可求得S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝1．

31

解：連接OA、OB，延長AB，交x軸于D，=2=2

∵AB∥y軸，

∴AD⊥x軸，OC∥AB，

∴S△OAB＝S△ABC，

而S△OAD3，S△OBD1，

1311

=×==×=

∴S△OAB＝S2△OAD﹣2S△OBD＝1，22

∴S△ABC＝1，

故答案為：1．

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y圖象中任取一點(diǎn)，過這

?

一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．=?

2．（2021春?秦淮區(qū)期末）反比例函數(shù)，在第一象限的圖象如圖所示，過y2上任意一點(diǎn)A，作

13

?1=?2=

y軸垂線交y1于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，作?x軸垂線?，交y1于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，直線BD分別交x軸，

y軸于點(diǎn)M，N，則．

??3

=

??4

思路引領(lǐng)：設(shè)A（m，），則C（0，），E（m，0），可得CE，表示

4

33232?+9

=(0??)+(?0)=

出B（，），D（m，?），可求出直?線BD解析式為yx，從而N（0?，），M（?，0），得

?313444?

=?2+

3?????3

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MN，即可得?4+9．

4

4?2424?+9???3

=(0?)+(?0)==4=

3?3???4?+94

解：設(shè)A（m，），則C（0，），E（m，0），3?

33

∴CE??，

4

232?+9

=(0??)+(?0)=

在中，令y得?x，?

113?

?=?=?=3

∴B（，），

?3

在3中?，令x＝m得y，

111

?=?=?

∴D（m，），

1

設(shè)直線BD?解析式為y＝kx+b，將B（，），D（m，）代入得：

?31

3??

，解得，

3?3

?=?2

?=3??+??

14

=???+??=

∴?直線BD解析式為y?x，

34

2

=?+?

令x＝0得y，令y＝0?得x，

44?

=?=3

∴N（0，），M（，0），

44?

∴MN?3，

4

4?2424?+9

=(0?3)+(??0)=3?

∴?4+9．

???3

=4=

??4?+94

故答案為：3．?

3

總結(jié)提升：4本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示CE和MN

的長度．

模型四一個等腰三角形

kk

【模型解讀】如圖，函數(shù)y＝和y＝mx的圖像交于A，B兩點(diǎn)，在函數(shù)y＝的圖像上任取一點(diǎn)C(不與

xx

點(diǎn)A，B重合)，作直線AC，BC，則AC，BC與x軸或y軸圍成的三角形是等腰三角形．如圖，△CDE為

等腰三角形．

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典例4過點(diǎn)A（1，2）的直線與雙曲線y在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，直線AO交雙曲線的另一分支于點(diǎn)B，

2

且點(diǎn)C（2，1）．=?

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時，PA、PB分別交y軸于點(diǎn)E、F．求證：CE＝CF；

（2）當(dāng)點(diǎn)P異于A、C時，探究∠PAC與∠PBC的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論不必證明．

思路引領(lǐng)：（1）由點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)C（2，1），直接利用待定系數(shù)法，即可求得直線AC的解析式，繼而

求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后由過點(diǎn)A（1，2）的直線與雙曲線y在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，求得直線BC的

2

解析式，繼而求得答案；=?

（2）首先設(shè)P（m，），且m≠1，2，即可求得直線AP與直線BP的解析式，然后進(jìn)行角關(guān)系的轉(zhuǎn)化

2

即可得出結(jié)論．?

（1）證明：設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+b，

∵點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)C（2，1），

∴，

?+?=2

解得2?：+?=1，

?=?1

∴直線A?C=的3解析式為：y＝﹣x+3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，3）；

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直線BC的解析式為：y＝mx+n，

∵過點(diǎn)A（1，2）的直線與雙曲線y在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，

2

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2），=?

∴，

2?+?=1

解得?：?+?=?2，

?=1

∴直線B?C=的?解1析式為：y＝x﹣1，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（0，﹣1）；

∴CE2，CF2，

2222

∴CE=＝CF2；+(3?1)=2=2+[1?(?1)]=2

（2）解：∵P在雙曲線上，且不同于A，C兩點(diǎn)，

設(shè)P（m，），且m≠1，2，

2

∴直線AP?可表示為：y2，

2?2

=?++

直線BP可表示為：y??2，

2?2

①當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)上方=時?，+??

連接AP并延長交y軸于M點(diǎn)，連接PB交y軸于N點(diǎn)，

根據(jù)直線AP和直線BP的方程可知，M（0，2），N（0，2），

22

+?

則根據(jù)勾股定理可得PM?，?

22222

同理可得PN，=(?+2??)+?=4+?

2

∴PM＝PN，=4+?

∴∠PMN＝∠PNM，

∵∠MAE+∠PMN＝∠CEF，∠PBC+∠BNF＝∠CFE，

∠MAE＝∠PBC，∠CEF＝∠CFE，

∴∠PAE＝∠PBC，

∵∠PAE+∠PAC＝180°，

∴∠PAC+∠PBC＝180°．

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②當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)下方時，

連接PA并延長交y軸于M點(diǎn)，連接PB交y軸于N點(diǎn)，

同上述方法可得PM＝PN，

∴∠PMN＝∠PNM，

∵∠MAE+∠CEF＝∠PMN，∠PBC+∠BFN＝∠PNM，

∠MAE＝∠PAC，∠BFN＝∠CFE，

∴∠PAC＝∠PBC．

總結(jié)提升：此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識以及全等三角形的判定與

性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．

針對訓(xùn)練

1．（2021春?鼓樓區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx（k＞0）與雙曲線y（m＞0）相

?

=

交于A（2，3）、B兩點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)的雙曲線上任意一點(diǎn)，直線PA交x軸于點(diǎn)M，連?接PB交x軸

于點(diǎn)N．若∠MPN＝90°，則PM的長是2．

2

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思路引領(lǐng)：先求出兩個函數(shù)解析式，求出點(diǎn)B坐標(biāo)，然后構(gòu)造一線三直角模型，通過相似求出點(diǎn)P坐標(biāo)，

再求AP所在直線解析式，進(jìn)而求解．

解：將A（2，3）代入y＝kx與雙曲線y得：

?

=?

k，m＝6，

3

=

∴y2x，y．

36

由反=比2例函=數(shù)?與正比例函數(shù)圖象的對稱性可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，），過點(diǎn)P作直線CD，AC⊥CD于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，

6

則AC＝a﹣2，PC＝?3，BD＝a+2，PD3．

66

??=?+

∵∠BPA＝90°，

∴∠BPD+∠APC＝90°，

又∵∠PAC+∠APC＝90°，

∴∠BPD＝∠PAC，

∴△ACP∽△PDB，

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∴，

????

=

????

即6，

??23??

6=

?+2

解得?+3a＝2（舍）或a＝3，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，2），

設(shè)直線AP解析式為y＝nx+b，

將A（2，3），P（3，2）代入解析式得：

，

3=2?+?

解2得=3?+?，

?=?1

∴y＝?﹣=x+55，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（5，0），

∴PM2，

22

故答案=為：(52?3．)+2=2

總結(jié)提升：本題2考查反比例函數(shù)的綜合問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形求解．

模塊二2023中考押題預(yù)測

1．（2022?祿勸縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO的邊OB與x軸重合，AB⊥x軸，反比例函數(shù)

y經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)C．若△ABO的面積為6，則k的值為（）

?

=?

A．6B．﹣6C．3D．﹣3

思路引領(lǐng)：連接OC，根據(jù)C是線段AB的中點(diǎn)，得S△CBOS△ABO＝3，從而求出k的值．

1

解：連接OC，=2

∵C是線段AB的中點(diǎn)，

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∴S△CBOS△ABO＝3，

1

=

∵反比例函2數(shù)y經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)C，

?

∴|k|＝6，=?

∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，

∴k＝﹣6，

故選：B．

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握這兩

個知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)C是線段AB的中點(diǎn)，得S△CBOS△ABO＝3是解題關(guān)鍵．

1

=

2．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，直線x＝2與反比例函數(shù)和2的圖象分別交于A、B兩點(diǎn)，若

64

點(diǎn)P是y軸上任意一點(diǎn)，連接PA、PB，則△PAB的面積是?=?5?．=??

思路引領(lǐng)：先分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到AB的長度，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出△PAB的

面積．

解：∵把x＝2分別代入y、y，得y＝3、y＝﹣2．

64

∴A（2，3），B（2，﹣2）=，?=??

∴AB＝3﹣（﹣2）＝5．

∵P為y軸上的任意一點(diǎn)，

∴點(diǎn)P到直線x＝2的距離為2，

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∴△PAB的面積AB×2＝AB＝5．

1

故答案是：5．=2

總結(jié)提升：此題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及三角形的面積，求出AB的長度是解答本題的

關(guān)鍵，難度一般．

3．如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，AB∥x軸，AD∥y軸，頂點(diǎn)A在雙曲線y上，邊CD，BC分

1

別交雙曲線于E，F(xiàn)，線段AB，CD分別交y軸于G，H，且線段AE恰好經(jīng)過原=點(diǎn)2，?下列結(jié)論：

①E是CD中點(diǎn)：②點(diǎn)F坐標(biāo)為（，）；③△AEF是直角三角形；④S△AEF，其中正確結(jié)論的個

314

=

數(shù)是（）233

A．1個B．2個C．3個D．4個

思路引領(lǐng)：①根據(jù)正、反比例的對稱性即可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，結(jié)合正方形的邊長為2以及反比例函

數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得EC＝DE；

②根據(jù)CH確定F的橫坐標(biāo)，代入解析式可得F的坐標(biāo)；

3

③利用兩點(diǎn)=的2距離公式分別計算△AEF三邊的平方，由勾股定理的逆定理可得結(jié)論；

④利用面積差可得結(jié)論．

解：①∵線段AE過原點(diǎn)，且點(diǎn)A、E均在雙曲線y上，

1

∴點(diǎn)A、E關(guān)于原點(diǎn)對稱，=2?

∵正方形ABCD邊長為2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，﹣1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，1），

11

?

∴AG＝DH＝EH，22

1

∵CD＝2，=2

∴CE＝DE＝1，

∴E是CD中點(diǎn)；

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故①正確；

②∵CH，

3

=2

∴F（，），

31

故②正2確3；

③∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，﹣1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，1），F(xiàn)（，），

1131

?

∴AE225，AF2223，EF21，

11223121252312124

2=(2+)2+(1+1)==(+)+(?1?)==(?)+(1?)=

∴AE+EF2≠A2F，22392239

∴△AEF不是直角三角形；

故③不正確；

④∵S△AEF＝2×2，

112144

故④正確；?2×1×2?2×1×3?2×2×3=3

故選：C．

總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形面積、勾股定理的逆定理以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)

特征，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

4．（2020?南昌模擬）如圖，已知雙曲線y（x＞0）經(jīng)過矩形OABC的邊AB、BC上的點(diǎn)F、E，其中CECB，

?1

==

AFAB，且四邊形OEBF的面積為6?，則k的值為3．3

1

=3

思路引領(lǐng)：根據(jù)反比例函數(shù)的k幾何意義，得出S△COE＝S△OAF|k|，再根據(jù)矩形的性質(zhì)及CECB，

11

=2=3

AFAB，可求出S△COE，進(jìn)而求出k的值．

1

解：=連3接OB，

∵OABC是矩形，

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∴S△OAB＝S△OBCS矩形OABC，

1

∵E、F在反比例=函2數(shù)的圖象上，

∴S△COE＝S△OAF|k|，

1

=2

∵∴S△OBE＝S△OBFS四邊形OEBF＝3，

1

=

∵CECB，即，BE2＝2CE，

1

=3

∴S△OCES△OBE3|k|，

111

∴k＝3（=k＞20）=2×=2

故答案為：3．

總結(jié)提升：考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義以及矩形的性質(zhì)，掌握三角形面積之

間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

5．（2019春?東陽市期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（2，0），B（0，1），以AB為頂點(diǎn)在第一象限

內(nèi)作正方形ABCD．反比例函數(shù)y1（x＞0）、y2（x＞0）分別經(jīng)過C、D兩點(diǎn)（1）如圖2，過C、

?1?2

=?=?

D兩點(diǎn)分別作x、y軸的平行線得矩形CEDF，現(xiàn)將點(diǎn)D沿y2（x＞0）的圖象向右運(yùn)動，矩形CEDF

?2

隨之平移；=?

①試求當(dāng)點(diǎn)E落在y1（x＞0）的圖象上時點(diǎn)D的坐標(biāo)（4，）．

?13

=?

②設(shè)平移后點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a，矩形的邊CE與y1（x＞0），y22（x＞0）的圖象均無公共點(diǎn)，請

?1?2

直接寫出a的取值范圍4＜a＜1．=?=?

13+

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思路引領(lǐng)：①根據(jù)A（2，0），B（0，1），可得OA＝2，OB＝1，由ABCD是正方形，通過證明三角形

全等，可求出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定兩個反比例函數(shù)的關(guān)系式，平移的過程中D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)之間

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)差2，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)，表示點(diǎn)D坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)關(guān)系式，可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，

②由①得，當(dāng)點(diǎn)E在落在y1（x＞0）的圖象上時，此時a＝4，因此a＞4；向右移動到點(diǎn)C落在y2

?1?2

（x＞0）時，求出此時a的值=，?進(jìn)而確定a的取值范圍．=?

解：①如圖，過點(diǎn)C、D分別作CM⊥y軸，DN⊥x軸，垂足為M、N，

由于ABCD是正方形，易證△AOB≌△BMC≌△DNA（AAS）

∴OA＝BM＝DN＝2，OB＝AN＝CM＝1，

∴C（1，3），D（3，2）

∵反比例函數(shù)y1（x＞0）、y2（x＞0）分別經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，

?1?2

==

∴k1＝1×3＝3，k2＝?3×2＝6，?

∴反比例函數(shù)y1（x＞0）、y2（x＞0），

36

=?=?

當(dāng)點(diǎn)D沿y2（x＞0）的圖象向右運(yùn)動時，設(shè)點(diǎn)E（x，y），則點(diǎn)D（x+2，y）

?2

由題意得：x=y＝?3且（x+2）y＝6，

解得：x＝2，y，

3

=2

∴點(diǎn)D（4，），

3

故答案為：（24，）．

3

②由①得，當(dāng)a2＞4時，點(diǎn)E離開y1（x＞0）、