專題09 二次函數(shù)-將軍飲馬求最小值（對稱）（原卷版）

第九講二次函數(shù)--將軍飲馬求最值（對稱）

目錄

必備知識點.......................................................................................................................................................1

考點一兩定點一動點.....................................................................................................................................2

考點二一定點兩動點.....................................................................................................................................4

考點三兩定點兩動點.....................................................................................................................................5

知識導航

必備知識點

1、在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；

（1）點A、B在直線m兩側：

（2）點A、B在直線同側：

A、A’是關于直線m的對稱點。

2、在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）兩個點都在直線外側：

（2）一個點在內側，一個點在外側：

第1頁共6頁.

（3）兩個點都在內側：

（4）、臺球兩次碰壁模型

變式一：已知點A、B位于直線m,n的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形

ADEB周長最短.

變式二：已知點A位于直線m,n的內側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.

考點一兩定點一動點

1．如圖，拋物線y＝﹣+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y＝﹣x+1過B、C兩

點，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M（3，1）是拋物線上的一點，點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x

軸交直線BC于點E，點P為拋物線對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求PD+PM的最小值．

第2頁共6頁.

2．在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）

經過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．

（1）求a，b滿足的關系式及c的值；

（2）當a＝時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△ABP周長的最小值；

2

3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝﹣x+bx+c與坐標軸交于A，B，C三點，其中點A的坐

標為（0，8），點B的坐標為（﹣4，0），點D的坐標為（0，4）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，若點E為該拋物線在第一象限內的一動點，點F在該拋物線的對稱軸上，求使得△ECD

面積取最大值時點E的坐標，并求出此時EF+CF的最小值；

第3頁共6頁.

考點二一定點兩動點

4．如圖，直線y＝﹣x+5與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+5交于B，

C兩點，已知點D的坐標為（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M，N分別是直線BC和x軸上的動點，則當△DMN的周長最小時，求點M，N的坐標，并寫

出△DMN周長的最小值；

5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A

的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，E為△ABC邊AB上的一動點，F(xiàn)為BC邊上的一動點，D點坐標為（0，﹣2），求△DEF

周長的最小值；

第4頁共6頁.

6．如圖，在平面直角坐標系中，直線與坐標軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為

．點C為線段AO上一動點，過點C作直線CD⊥x軸交AB于點D，交拋物線于點E．

（1）當DE＝2時，求四邊形CAEB的面積；

（2）若直線CE移動到拋物線的對稱軸位置，點P、Q分別為直線CE和x軸上的一動點，求△BPQ周

長的最小值；

考點三兩定點兩動點

7．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為（1，4），交x軸于A，B兩點，交y軸于點D，其中點

B的坐標為（3，0）

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為2，若直線PQ為

拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H，使D，G，H，F(xiàn)四點所圍

成的四邊形周長最??？若存在，求出這個最小值及點G，H的坐標；若不存在，請說明理由．

第5頁共6頁.

8．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為D（1，4），交x軸于A、B兩點，且經過點C（2，3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，M為線段O、B之間一動點，N為y軸正半軸上一動點，是否存在使M、C、D、N四點圍

成的四邊形周長最小？若存在，求出這個最小值及M、N的坐標；若不存在，請說明理由；

9．如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸

平行的直線與BC、CE分別交于點F、G．試探究當點H運動到何處時，線段HF的最長，求點H的坐