專(zhuān)題05 二次函數(shù)-線段最大值問(wèn)題（原卷版）

第五講二次函數(shù)--線段最大值問(wèn)題

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一單個(gè)線段的最大值.............................................................................................................................1

考點(diǎn)二線段之和的最大值.............................................................................................................................3

考點(diǎn)三線段之差的最大值.............................................................................................................................8

考點(diǎn)四線段之比的最大值.............................................................................................................................9

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

考點(diǎn)一單個(gè)線段的最大值

1．如圖1，拋物線y＝﹣+bx+c過(guò)點(diǎn)A（3，2），且與直線y＝﹣x+交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C在

y軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為

對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PA的最小值；

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2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．

（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)D到直線AC的距離的最大值

及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

2

3．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax+bx+3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左

側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．

（1）求拋物線C1的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸交BC于點(diǎn)E，求PE的最大值及此

時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

第2頁(yè)共10頁(yè).

考點(diǎn)二線段之和的最大值

4．如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與

y軸交于點(diǎn)C（0，3），tan∠CBO＝．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，PD∥y軸交BC于D，PE∥BC交x軸于點(diǎn)E，

求PD+BE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在

點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連接AC，點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上（不與A、C重合）的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC

交AC于點(diǎn)D，PE⊥x軸交AC于點(diǎn)E，求PD+DE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

第3頁(yè)共10頁(yè).

6．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C

（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P為直線AC上方且拋物線對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線

交拋物線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，求PD+PH的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

7．已知，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣8.0）、B（2，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），

與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)E、G是直線AC上方拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)E位于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)G的

橫坐標(biāo)為g，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)比點(diǎn)G的橫坐標(biāo)g小2．過(guò)E作EF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，過(guò)G

作GH∥x軸，交直線AC于點(diǎn)H，當(dāng)EF+2GH的值最大時(shí)，求EF+2GH的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的

坐標(biāo)；

第4頁(yè)共10頁(yè).

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（，0），直線y＝x+

與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CD，

垂足為G，PQ∥y軸，交x軸于點(diǎn)Q．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)PG+PQ取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PG+PQ的最大值；

9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于

點(diǎn)A（1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線BC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，交直線BC于

點(diǎn)D；是否存在點(diǎn)M，使得MD+DC取得最大值，若存在請(qǐng)求出它的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

第5頁(yè)共10頁(yè).

10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交

于點(diǎn)A（1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線BC下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，交直線BC于

點(diǎn)N，求PN+CN的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B

兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為，直線BC的解析式為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為線段BC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作

DE∥AC交x軸于點(diǎn)E．求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

第6頁(yè)共10頁(yè).

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點(diǎn)A（﹣6，0），B（4，0），與y

軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連接BD交y軸于點(diǎn)G，作直線OD，點(diǎn)P

為線段BD上方的拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥直線OD

于點(diǎn)F．當(dāng)PE+PF為最大時(shí)，求這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

13．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與

y軸交于點(diǎn)C，連接AC

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，連接BC，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥x軸交直線BC于點(diǎn)M，

過(guò)點(diǎn)P作PN∥AC交x軸于點(diǎn)N，求PN+PM的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

第7頁(yè)共10頁(yè).

14．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y

軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AC交BC于E，交x軸于點(diǎn)D，

求PE+BE的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

考點(diǎn)三線段之差的最大值

15．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與

y軸交于點(diǎn)C（0，6），其中AB＝8，tan∠CAB＝3．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AC交x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，求

BE的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，

已知A（﹣1，0），直線BC的解析式為y＝x﹣3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交拋物線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交

BC于點(diǎn)F．求EF﹣DE的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)