專(zhuān)題28以圓為載體的幾何綜合問(wèn)題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）

專(zhuān)題28以圓為載體的幾何綜合問(wèn)題

【例1】（2022·河北·育華中學(xué)三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝，以

4

AB為直徑作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x個(gè)單位，得到⊙O′，A'B'為直徑AB平移后的對(duì)應(yīng)線段．5

(1)當(dāng)x＝0，且M為⊙O上一點(diǎn)時(shí)，求DM的最大值；

(2)當(dāng)B′與C重合時(shí)，設(shè)⊙O′與CD相交于點(diǎn)N，求點(diǎn)N到AB的距離；

(3)當(dāng)⊙O′與CD相切時(shí)，直接寫(xiě)出x的值．

【例2】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知是的直徑，點(diǎn)A，點(diǎn)B是上的兩個(gè)點(diǎn)，連接，點(diǎn)

D，點(diǎn)E分別是半徑的中點(diǎn)，連接??⊙，?且．⊙???,??

??,????,??,??∠???=2∠???

(1)如圖1，求證：；

(2)如圖2，延長(zhǎng)∠交???于=點(diǎn)∠?F?，?若，求證：；

(3)如圖3，在（?2）?的?條?件下，點(diǎn)G?是?⊥?上?一點(diǎn)，連接??=??，若，，求的長(zhǎng)．

????,??,??,????:??=5:3??=2??

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【例3】（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖所示，在的內(nèi)接中，，，作

于點(diǎn)P，交于另一點(diǎn)B，C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)⊙（不?與A，△M?重?合?），射∠?線??交=線90段°??的=延2長(zhǎng)??線于點(diǎn)??D⊥，?分?

別連接和⊙?，交于點(diǎn)E．??????

????????

(1)求證：．

(2)若△??，?∽△???，求的長(zhǎng)．

(3)在?點(diǎn)?C=運(yùn)1動(dòng)0過(guò)?程?中=，?當(dāng)???時(shí)，求的值．

3??

tan∠???=4??

【例4】（2022·湖北荊州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)O是邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不

與點(diǎn)A重合），連接OD，將△OAD沿OD折疊，得到△OED；再以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作半圓，交射線

AB于G，連接AE并延長(zhǎng)交射線BC于F，連接EG，設(shè)OA＝x．

(1)求證：DE是半圓O的切線；

(2)當(dāng)點(diǎn)E落在BD上時(shí)，求x的值；

(3)當(dāng)點(diǎn)E落在BD下方時(shí)，設(shè)△AGE與△AFB面積的比值為y，確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(4)直．接．寫(xiě)．出．：當(dāng)半圓O與△BCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x的取值范圍．

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25．（2022·浙江溫州·中考真題）如圖1，為半圓O的直徑，C為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)D，，

交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交半圓于點(diǎn)F，已知??．點(diǎn)P，Q??分別在線段??上（不與端點(diǎn)重合??），⊥且??滿

足??．設(shè)．??=5,??=3??,??

??5

??=4??=?,??=?

(1)求半圓O的半徑．

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．

(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)R，連結(jié)．

①當(dāng)為直角三角??形⊥時(shí)?，?求x的值．??,??

②作點(diǎn)△??關(guān)?于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求的值．

F′

′′??

′

????????

一、解答題【共20題】

1．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，AD、BC是弦，＋．

⊙?∠???∠????∠???=180°

(1)如圖1，求證：；

(2)如圖2，如果??∥?，?求證：AC是直徑；

(3)如圖3，在（2?）?=的?條?件下，點(diǎn)F在A⊙C?上，點(diǎn)E在AB上，，，連接CE、BF交于點(diǎn)G，作

于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，，求OF的長(zhǎng)．??=????=??=4

??⊥???△???=5

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2．（2022·安徽·合肥市五十中學(xué)新校二模）如圖，為的內(nèi)接三角形，且為的直徑，與

相切于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于△點(diǎn)??，?連⊙接?、，??．⊙???⊙?

?????????????∠?=∠???

(1)求證：平分；

(2)若??，∠???，求的半徑．

??=2????=6⊙??

3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第八十四中學(xué)校一模）如圖，內(nèi)接于⊙為⊙O的直徑，AD交BC于點(diǎn)E，

且．△????,??

??=??

(1)如圖1，求證：AD平分；

(2)如圖2，點(diǎn)P為弧CD上∠一??點(diǎn)?，連接AP交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，點(diǎn)H

是PF的中點(diǎn)，求證：；

(3)如圖3，在（2）的條件?下?，連⊥?接?DF，且，點(diǎn)R在CG上，連接，交CH于點(diǎn)N，

，求DE的長(zhǎng)．∠???=3∠?????????=??,??=

2,??=10

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4．（2022·北京市第十九中學(xué)三模）如圖，中，平分交于，以為直徑的交

于點(diǎn)，交于點(diǎn)．△?????=????∠????????⊙???

????

(1)求證：是切線；

(2)連接?交?⊙與?、連接交于，連接，若的半徑為，，求和的長(zhǎng)．

????????????⊙?5??=3????

5．（2022·上海·華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）如圖，在梯形中，

°

動(dòng)點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作，與邊交1于點(diǎn)，過(guò)?點(diǎn)??作?∠??，?與=邊90,?交?于∥點(diǎn)??,，??設(shè)=線4段,??=

5，,??=2.．??????∥????????∥???????=

???=?

(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；

(2)當(dāng)??是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值；

(3)如△圖??，?作??的外接圓，當(dāng)點(diǎn)在?運(yùn)?動(dòng)過(guò)程中，外接圓的圓心落在的內(nèi)部不包括邊上時(shí)，

求出的2取值△范?圍?．?⊙??⊙??△???

??

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6．（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）如圖：在矩形中，，，點(diǎn)在線段上，其

中，；以為半徑作圓交線段于點(diǎn)，?并?將??線段??繞=點(diǎn)22逆時(shí)??針=旋1轉(zhuǎn)6得?線段?（?備注：

若圓??=與26有?兩?個(gè)=交6點(diǎn)，?規(guī)?定位于點(diǎn)上?方的交點(diǎn)??為點(diǎn)?）???90°??

?????

（1）特例探究：如圖，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，______，點(diǎn)到直線的距離是______；

變式研究：當(dāng)點(diǎn)在1上方時(shí)，?????=???

（2）如圖，當(dāng)?點(diǎn)?落?在線段上時(shí)，求點(diǎn)、到直線的距離之比；

（3）當(dāng)圓2與邊?相切時(shí)，求?線?段的長(zhǎng)；????

（4）若點(diǎn)?到??的距離為，直接寫(xiě)??出點(diǎn)到的距離．

???3???

7．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市華益中學(xué)三模）如圖，以為直徑作⊙O，點(diǎn)是直徑上方半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，

過(guò)點(diǎn)C作的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)?作?的平行線交的?延長(zhǎng)線?于?點(diǎn)．????

∠?????????

(1)當(dāng)時(shí)，求的大??；

(2)若?⊙?O=的?半?徑為5，∠?，求CD的長(zhǎng)；

(3)如圖2，當(dāng)不過(guò)點(diǎn)?O?時(shí)=，8過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)M，試判斷是否為定值，若是，求出該值；若

?????

不是，請(qǐng)說(shuō)明?理?由．??⊥??????

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8．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高

為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫(huà)出了它的主視圖，是由上、3下0c底m面圓

的直42徑.9cm、以及、組成的軸對(duì)稱(chēng)圖形，直線為對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，如圖2，他又

畫(huà)出了??所在??的扇形??并度?量?出扇形的圓心角?，發(fā)現(xiàn)并證?明了?點(diǎn)在??上．?請(qǐng)?你繼續(xù)完成長(zhǎng)的計(jì)

算．??∠???=66°?????

參考數(shù)據(jù)：，，，，，．

929111113

sin66°≈10cos66°≈5tan66°≈4sin33°≈20cos33°≈13tan33°≈20

9．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）平行四邊形，若為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

??????????????

(1)若，

①證明??=??為菱形；

②若????，，求的長(zhǎng)．

(2)以??為=圓5心，??=為3半徑，??為圓心，為半徑作圓，兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn)，且．若在直線上，

求的?值．????????=2?????

??

??

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10．（2022·廣東深圳·中考真題）一個(gè)玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點(diǎn)處有個(gè)吊燈

的中點(diǎn)為?,??????,??//??,??⊥

??,???,??=4.

(1)如圖①，為一條拉線，在上，求的長(zhǎng)度．

(2)如圖②，一?個(gè)?玻璃鏡與圓相?切，??為切點(diǎn)??，=為1.6,?上?一=點(diǎn)0.，8,?為?入射光線，為反射光線，

求的長(zhǎng)?度．????????∠???=∠???=

3

(435)°如,t圖an③∠?，??是=線4,段??上的動(dòng)點(diǎn)，為入射光線，為反射光線交圓于點(diǎn)在從運(yùn)動(dòng)到

的過(guò)程中，求?點(diǎn)的運(yùn)??動(dòng)路徑長(zhǎng)．??∠???=50°,????,???

?

11．（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)?單?位??長(zhǎng)?度的速??度=向4終點(diǎn)??B=運(yùn)?動(dòng)?，=連結(jié)13．作點(diǎn)A關(guān)??于直線的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)，連結(jié)、?．?設(shè)?點(diǎn)??P的運(yùn)動(dòng)時(shí)13間為t秒．????

?′?′??′?

(1)點(diǎn)D到邊的距離為_(kāi)_________；

(2)用含t的代?數(shù)?式表示線段的長(zhǎng)；

(3)連結(jié)，當(dāng)線段最短?時(shí)?，求的面積；

(4)當(dāng)M?、′?、C三點(diǎn)?共′?線時(shí)，直接寫(xiě)△出??t?的′值．

?′

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12．（2022·江蘇常州·中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)是圓心，直徑的長(zhǎng)是，是半圓弧

上的一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接、．???12cm?

???????

(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；

(2)分?別?取半??圓弧上△的?點(diǎn)??、和△直?徑??上的點(diǎn)、．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為

的菱形．請(qǐng)用直尺和?圓?規(guī)在圖中??作出一個(gè)?符?合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；

6(3c)m經(jīng)過(guò)數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)，一定存在線段上的點(diǎn)、線段上的點(diǎn)和直徑

上的點(diǎn)、，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是?一個(gè)邊長(zhǎng)為?的?菱形．小?明的猜?想?是否正?確？請(qǐng)說(shuō)?明?

理由．??4cm

13．（2022·湖北恩施·中考真題）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線PO交

⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)C．

(1)求證：∠ADE=∠PAE．

(2)若∠ADE=30°，求證：AE=PE．

(3)若PE=4，CD=6，求CE的長(zhǎng)．

第9頁(yè)共13頁(yè).

14．（2022·浙江舟山·中考真題）如圖1．在正方形中，點(diǎn)F，H分別在邊，上，連結(jié)，交于點(diǎn)

E，已知．????????????

??=??

(1)線段與垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)如圖?2?，過(guò)?點(diǎn)?A，H，F(xiàn)的圓交于點(diǎn)P，連結(jié)交于點(diǎn)K．求證：．

????

(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)?點(diǎn)?K是線段的?中?點(diǎn)?時(shí)?，求的值．??=??

??

????

15．（2022·四川涼山·中考真題）如圖，已知半徑為5的⊙M經(jīng)過(guò)x軸上一點(diǎn)C，與y軸交于A、B兩點(diǎn)，連接

AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6

(1)判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求AB的長(zhǎng)；

(3)連接BM并延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)D，連接CD，求直線CD的解析式．

第10頁(yè)共13頁(yè).

16．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，⊙O經(jīng)過(guò)A，B，P三點(diǎn)．

（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．

17．（2022·湖南·炎陵縣教研室一模）如圖1，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)E，連接BE，BD平

分∠ABE交AC于F，交⊙O于點(diǎn)D，且．

∠???=∠???

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)如圖2，延長(zhǎng)ED交直線AB于點(diǎn)P，若．

①求的值；??=??

??

②若??，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

??=2

第11頁(yè)共13頁(yè).

18．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市北雅中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，過(guò)O作的垂線，垂足為E，交于F，

△???⊙???⊙?

(1)求證：；

(2)連交??=