專題17二次函數(shù)與公共點及交點綜合問題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題17二次函數(shù)與公共點及交點綜合問題

【例1】．（2022?大慶）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+m圖象的對稱軸為直線x＝2，將二次函

數(shù)y＝x2+bx+m圖象中y軸左側(cè)部分沿x軸翻折，保留其他部分得到新的圖象C．

（1）求b的值；

（2）①當m＜0時，圖C與x軸交于點M，N（M在N的左側(cè)），與y軸交于點P．當

△MNP為直角三角形時，求m的值；

②在①的條件下，當圖象C中﹣4≤y＜0時，結(jié)合圖象求x的取值范圍；

（3）已知兩點A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），當線段AB與圖象C恰有兩個公共點時，

直接寫出m的取值范圍．

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【例2】．（2022?湖北）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點為A，

與y軸交于點C，線段CB∥x軸，交該拋物線于另一點B．

（1）求點B的坐標及直線AC的解析式；

（2）當二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x滿足m≤x≤m+2時，此函數(shù)的最大值為p，

最小值為q，且p﹣q＝2，求m的值；

（3）平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，使其頂點始終在直線AC上移動，當平移后的拋物線與

射線BA只有一個公共點時，設(shè)此時拋物線的頂點的橫坐標為n，請直接寫出n的取值范

圍．

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【例3】．（2022?張家界）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（1，0），B

（4，0）兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式及點D的坐標；

（2）若四邊形BCEF為矩形，CE＝3．點M以每秒1個單位的速度從點C沿CE向點E

運動，同時點N以每秒2個單位的速度從點E沿EF向點F運動，一點到達終點，另一

點隨之停止．當以M、E、N為頂點的三角形與△BOC相似時，求運動時間t的值；

（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點P，點G是點P關(guān)于點D的對稱點，點Q是x軸下

方拋物線上的動點．若過點Q的直線l：y＝kx+m（|k|）與拋物線只有一個公共點，

且分別與線段GA、GB相交于點H、K，求證：GH+GK為定值．

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【例4】．（2022?沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點B（6，0）

和點D（4，﹣3），與x軸的另一個交點為A，與y軸交于點C，作直線AD．

（1）①求拋物線的函數(shù)表達式；

②直接寫出直線AD的函數(shù)表達式；

（2）點E是直線AD下方的拋物線上一點，連接BE交AD于點F，連接BD，DE，△

BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當S1＝2S2時，求點E的坐標；

（3）點G為拋物線的頂點，將拋物線圖象中x軸下方的部分沿x軸向上翻折，與拋物線

剩下的部分組成新的曲線記為C1，點C的對應(yīng)點為C′，點G的對應(yīng)點為G′，將曲線

C1沿y軸向下平移n個單位長度（0＜n＜6）．曲線C1與直線BC的公共點中，選兩個公

共點記作點P和點Q，若四邊形C′G′QP是平行四邊形，直接寫出點P的坐標．

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一．解答題（共20小題）

1．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m+的圖象與x軸交于點A、

B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣），P是拋物線在直線AC上方圖象

上一動點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，

得到圖象G．現(xiàn)將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個公共點，

請直接寫出圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍．

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2．（2022?保定一模）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的圖象記為L，點P是L

上對稱軸右側(cè)的一點，作PQ⊥y軸，與L在對稱軸左側(cè)交于點Q；點A，B的坐標分別

為（1，0），（1，1），連接AB．

（1）若t＝1，設(shè)點P，Q的橫坐標分別為m，n，求n關(guān)于m的關(guān)系式；

（2）若L與線段AB有公共點，求t的取值范圍；

（3）當2t﹣3＜x＜2t﹣1時，y的最小值為﹣，直接寫出t的值．

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3．（2022?廣陵區(qū)校級二模）在平面直角坐標系中，已知函數(shù)y1＝2x和函數(shù)y2＝﹣x+6，不

論x取何值，y0都取y1與y2二者之中的較小值．

（1）求函數(shù)y1和y2圖象的交點坐標，并直接寫出y0關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

2

（2）現(xiàn)有二次函數(shù)y＝x﹣8x+c，若函數(shù)y0和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的

取值范圍；

（3）在（2）的結(jié)論下，若函數(shù)y0和y的圖象有且只有一個公共點，求c的取值范圍．

4．（2022?金華模擬）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m為常數(shù)）

的圖象記作G，圖象G上點A的橫坐標為2m．

（1）當m＝1，求圖象G的最低點坐標；

（2）平面內(nèi)有點C（﹣2，2）．當AC不與坐標軸平行時，以AC為對角線構(gòu)造矩形ABCD，

AB與x軸平行，BC與y軸平行．

①若矩形ABCD為正方形時，求點A坐標；

②圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點時，求m的取值范圍．

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5．（2022?清鎮(zhèn)市模擬）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）與y軸交于

點A，過點A作x軸的平行線與拋物線交于點B．

（1）拋物線的對稱軸為直線x＝；（用含字母a的代數(shù)式表示）

（2）若AB＝2，求二次函數(shù)的表達式；

（3）已知點P（a+4，1），Q（0，2），如果拋物線與線段PQ恰有一個公共點，求a的

取值范圍．

6．（2022?五華區(qū)三模）已知拋物線y＝ax2﹣mx+2m﹣3經(jīng)過點A（2，﹣4）．

（1）求a的值；

（2）若拋物線與y軸的公共點為（0，﹣1），拋物線與x軸是否有公共點，若有，求出

公共點的坐標；若沒有，請說明理由；

（3）當2≤x≤4時，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值為M，最小值為N，若＝

，求m的值．

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7．（2022?秦淮區(qū)二模）在平面直角坐標系中，一個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（2，1），

與y軸的交點坐標是（0，5）．

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）在同一平面直角坐標系中，若該二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝x+n（n為常數(shù)）的

圖象有2個公共點，求n的取值范圍．

8．（2022?鹽城二模）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+a+2的圖象經(jīng)過點A（1，0），其中a、b為常

數(shù)．

（1）用含有字母a的代數(shù)式表示拋物線頂點的橫坐標；

（2）點B（﹣，1）、C（2，1）為坐標平面內(nèi)的兩點，連接B、C兩點．

①若拋物線的頂點在線段BC上，求a的值；

②若拋物線與線段BC有且只有一個公共點，求a的取值范圍．

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9．（2022?滑縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+2x+c與x軸正半軸交于點B（另一個交點

為A），與y軸負半軸交于點C，且OC＝3OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，求點A的坐標，并結(jié)合圖象寫出不等式x2+2x+c

≥kx+b的解集；

（3）已知點P（﹣3，1），Q（2，2t+1），且線段PQ與拋物線y＝x2+2x+c有且只有一個

公共點，直接寫出t的取值范圍．

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10．（2022春?龍鳳區(qū)期中）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的圖象與一次函數(shù)y＝﹣2x

的圖象交于點A、B（點B在右側(cè)），與y軸交于點C，點A的橫坐標恰好為a，動點P、

Q同時從原點O出發(fā)，沿射線OB分別以每秒和2個單位長度運動，經(jīng)過t秒后，

以PQ為對角線作矩形PMQN，且矩形四邊與坐標軸平行．

（1）求a的值及t＝1秒時點P的坐標；

（2）當矩形PMQN與拋物線有公共點時，求時間t的取值范圍；

（3）在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點R，作關(guān)于原點（0，0）的對稱點為R′，

當點M恰在拋物線上時，求R′M長度的最小值，并求此時點R的坐標．

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11．（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2（a+1）

x+a+2（a≠0）．

（1）當a＝﹣時，求拋物線的對稱軸及頂點坐標；

（2）請直接寫出二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線（用含a的代數(shù)式表示）及二次函數(shù)圖象

經(jīng)過的定點坐標是．

（3）若當1≤x≤5時，函數(shù)值有最大值為8，求二次函數(shù)的解析式；

（4）已知點A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若拋物線與線段AB只有一個公共點，請直接寫

出a的取值范圍．

12．（2022?綏江縣二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的圖象經(jīng)過（3，0）．

（1）求二次函數(shù)的對稱軸；

（2）點A的坐標為（1，0），將點A向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度

后得到點B，若二次函數(shù)的圖象與線段AB有公共點，求a的取值范圍．

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13．（2022?南京一模）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a為常數(shù)，且a≠0）．

（1）求證：該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點；

（2）若點（0，y1），（3，y2）在函數(shù)圖象上，比較y1與y2的大?。?/p>

（3）當0＜x＜3時，y＜2，直接寫出a的取值范圍．

2

14．（2022?余姚市一模）已知：一次函數(shù)y1＝2x﹣2，二次函數(shù)y2＝﹣x+bx+c（b，c為常

數(shù)），

（1）如圖，兩函數(shù)圖象交于點（3，m），（n，﹣6）．求二次函數(shù)的表達式，并寫出當y1

＜y2時x的取值范圍．

（2）請寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個公共點，并說明理由．

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15．（2022?花溪區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣2，1），B（2，

﹣3）兩點

（1）求分別以A（﹣2，1），B（2，﹣3）兩點為頂點的二次函數(shù)表達式；

（2）求b的值，判斷此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況，并說明理由；

（3）設(shè)（m，0）是該函數(shù)圖象與x軸的一個公共點．當﹣3＜m＜﹣1時，結(jié)合函數(shù)圖象，

寫出a的取值范圍．

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16．（2022?無錫模擬）在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別是（0，﹣3），（0，4），

點P（m，0）（m≠0）是x軸上一個動點，過點A作直線AC⊥BP于點D，直線AC與x

軸交于點C，過點P作PE∥y軸，交AC于點E．

（1）當點P在x軸的正半軸上運動時，是否存在點P，使△OCD與△OBD相似？若存

在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

（2）小明通過研究發(fā)現(xiàn)：當點P在x軸上運動時，點E（x，y）也相應(yīng)的在二次函數(shù)y

＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上運動，為了確定函數(shù)解析式小明選取了一些點P的特殊的

位置，計算了點E（x，y）的坐標，列表如下：

x

y

請?zhí)顚懕碇锌崭瘢⒏鶕?jù)表中數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的函數(shù)解析式；

（3）把（2）中所求的拋物線向左平移n個單位長度，把直線y＝﹣2x﹣4向下平移n個

單位長度，如果平移后的拋物線對稱軸右邊部分與平移后的直線有公共點，那么請直接

寫出n的取值范圍．

17．（2022?朝陽區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx﹣6m（x≤2m，

m為常數(shù)）的圖象記作G，圖象G上點A的橫坐標為2m．平面內(nèi)有點C（﹣2，﹣2）．當

AC不與坐標軸平行時，以AC為對角線構(gòu)造矩形ABCD，AB與x軸平行，BC與y軸平

行．

（1）當m＝﹣2，求圖象G的最高點坐標；

（2）若圖象G過點（3，﹣9），求出m的取值范圍；

（3）若矩形ABCD為正方形時，求點A坐標；

（4）圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．

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18．（2022?如東縣一模）定義：若兩個函數(shù)的圖象關(guān)于某一點P中心對稱，則稱這兩個函

數(shù)關(guān)于點P互為“伴隨函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y＝﹣x2關(guān)于原點O互為“伴隨函數(shù)”．

（1）函數(shù)y＝x+1關(guān)于原點O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為，函數(shù)y＝（x﹣

2）2+1關(guān)于原點O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為；

（2）已知函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G關(guān)于點P（m，3）互為“伴隨函數(shù)”．若當m＜x＜7

時，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，求m的取值范圍；

（3）已知點A（0，1），點B（4，1），點C（2，0），二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）

與函數(shù)N關(guān)于點C互為“伴隨函數(shù)”，將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N的

圖象組成的圖形記為W，若